Метод конечных элементов

Визуализация того, как автомобиль деформируется при асимметричной аварии, с использованием анализа методом конечных элементов

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Метод конечных элементов ( МКЭ ) - широко используемый метод численного решения дифференциальных уравнений, возникающих в инженерно- математическом моделировании . Типичные проблемные области, представляющие интерес, включают традиционные области структурного анализа , теплопередачи , потока жидкости , массопереноса и электромагнитного потенциала . FEM - это общий численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. Е. Некоторых краевых задач). Чтобы решить проблему, FEM подразделяет большую систему на более мелкие и простые части, которые называются конечными элементами . Это достигается определенной пространственной дискретизацией по пространственным измерениям, которая реализуется путем построения сетки объекта: числовой области для решения, имеющей конечное число точек. Постановка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию по области. ^[1] Простые уравнения, моделирующие эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, которая моделирует всю проблему. Затем в МКЭ используются вариационные методы.из вариационного исчисления для аппроксимации решения путем минимизации связанной функции ошибок.

Изучение или анализ явления с помощью FEM часто называют анализом конечных элементов ( FEA ).

Основные понятия [ править ]

Разделение всего домена на более простые части дает несколько преимуществ: ^[2]

• Точное отображение сложной геометрии
• Включение разнородных свойств материала
• Легкое представление общего решения
• Захват локальных эффектов.

Типичная работа метода включает (1) разделение области проблемы на набор подобластей, каждая подобласть представлена ​​набором элементных уравнений исходной задачи, с последующим (2) систематическим повторным объединением всех наборов элементных уравнений в глобальная система уравнений для окончательного расчета. Глобальная система уравнений имеет известные методы решения и может быть вычислена по начальным значениям исходной задачи, чтобы получить числовой ответ.

На первом шаге, описанном выше, элементные уравнения представляют собой простые уравнения, которые локально аппроксимируют исходные комплексные уравнения, подлежащие изучению, где исходные уравнения часто являются уравнениями в частных производных (УЧП). Чтобы объяснить приближение в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . На математическом языке этот процесс состоит в построении интеграла от внутреннего произведения невязки и весовых функций и обнулении интеграла. Проще говоря, это процедура, которая сводит к минимуму ошибку аппроксимации путем подбора пробных функций в УЧП. Невязка - это ошибка, вызванная пробными функциями, а весовые функции являются полиномиальными.аппроксимационные функции, которые проецируют невязку. Процесс исключает все пространственные производные из PDE, таким образом аппроксимируя PDE локально с помощью

• набор алгебраических уравнений для стационарных задач,
• набор обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач.

Эти наборы уравнений являются уравнениями элементов. Они линейны, если лежащие в основе PDE линейны, и наоборот. Наборы алгебраических уравнений, возникающие в стационарных задачах, решаются с использованием методов численной линейной алгебры , в то время как наборы обыкновенных дифференциальных уравнений , возникающие в нестационарных задачах, решаются путем численного интегрирования с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера или метод Рунге-Кутта .

На шаге (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов посредством преобразования координат из локальных узлов подобластей в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает в себя соответствующие корректировки ориентации , которые применяются в отношении к опорной системе координат . Процесс часто выполняется программным обеспечением FEM с использованием координатных данных, сгенерированных из подобластей.

FEM лучше всего понять из его практического применения, известного как анализ методом конечных элементов (FEA) . FEA, применяемый в инженерии, представляет собой вычислительный инструмент для выполнения инженерного анализа . Он включает в себя использование методов создания сетки для разделения сложной проблемы на мелкие элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA, комплекс проблемы, как правило , физическая система с подстилающей физикой , такими как уравнение Эйлера-Бернулли пучка , в уравнении теплопроводности , или уравнения Навьего-Стокс , выраженных в любом PDE илиинтегральные уравнения , в то время как отдельные мелкие элементы сложной задачи представляют различные области физической системы.

FEA - хороший выбор для анализа проблем в сложных областях (таких как автомобили и нефтепроводы), когда область изменяется (как во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность изменяется во всей области или когда раствору не хватает гладкости. Моделирование методом FEA является ценным ресурсом, поскольку устраняет многочисленные экземпляры создания и тестирования твердых прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. ^{[ необходимая цитата ]} Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и уменьшить ее в ее задней части (таким образом, снижая стоимость моделирования). Другой пример - численный прогноз погоды., где более важно иметь точные прогнозы развития сильно нелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных районов.

История [ править ]

Хотя трудно указать дату изобретения метода конечных элементов, этот метод возник из-за необходимости решать сложные задачи анализа упругости и конструкции в гражданской и авиационной технике . Его развитие восходит к работам А. Хренникова ^[3] и Р. Куранта ^[4] в начале 1940-х годов. Еще одним пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР внедрение метода в практику обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна . ^[5] В Китае в конце 1950-х - начале 1960-х годов на основе расчетов конструкций плотин,К. Фэн предложил систематический численный метод решения уравнений в частных производных . Метод был назван методом конечных разностей, основанным на вариационном принципе , который явился еще одним независимым изобретением метода конечных элементов. Хотя подходы, используемые этими первопроходцами, различны, у них есть одна важная характеристика: сеточная дискретизация непрерывной области на набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Hrennikoff в discretizes домена с помощью решетки аналогии, в то время как подход делит Куранта домена , указанные в конечные треугольных подобласти для решения второго порядка эллиптических дифференциальных уравнений (СИЕ) , которые возникают из - за проблемы кручения о наличии цилиндра . Вклад Куранта носил эволюционный характер, он опирался на большое количество более ранних результатов для PDE, разработанных Рэлеем , Ритцем и Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам Дж. Х. Аргириса с коллегами из Штутгартского университета , Р. В. Клафа с коллегами из Калифорнийского университета в Беркли , О. К. Зенкевича с коллегами Эрнеста Хинтона , Брюса Айронса. ^[6] и другие из Университета Суонси , Филипп Дж. Сиарле из Парижского университета 6 и Ричард Галлахер с коллегами из Корнельского университета.. Дальнейший импульс в эти годы был придан имеющимся программным обеспечением конечных элементов с открытым исходным кодом. НАСА спонсировало оригинальную версию NASTRAN , а Калифорнийский университет в Беркли сделал программу конечных элементов SAP IV ^[7] широко доступной. В Норвегии классификационное общество судов Det Norske Veritas (ныне DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования в анализе судов. ^[8] Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена ​​в 1973 году в публикации Strang and Fix . ^[9] С тех пор этот метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных областях техники.дисциплины, например, электромагнетизм , теплопередача и гидродинамика . ^{[10] [11]}

Техническое обсуждение [ править ]

Структура методов конечных элементов [ править ]

Метод конечных элементов характеризуется вариационной формулировкой , стратегией дискретизации, одним или несколькими алгоритмами решения и процедурами последующей обработки.

Примерами вариационной постановки являются метод Галеркина , разрывный метод Галеркина, смешанные методы и т. Д.

Под стратегией дискретизации понимается четко определенный набор процедур, которые охватывают (а) создание сеток из конечных элементов, (б) определение базовой функции на опорных элементах (также называемых функциями формы) и (в) отображение опорных элементов. элементы на элементы сетки. Примерами стратегий дискретизации являются h-версия, p-версия , hp-версия , x-FEM , изогеометрический анализ и т. Д. Каждая стратегия дискретизации имеет определенные преимущества и недостатки. Разумным критерием при выборе стратегии дискретизации является достижение почти оптимальной производительности для самого широкого набора математических моделей в конкретном классе моделей.

Различные алгоритмы численного решения можно разделить на две большие категории; прямые и итерационные решатели. Эти алгоритмы предназначены для использования разреженности матриц, которая зависит от выбора вариационной формулировки и стратегии дискретизации.

Процедуры постобработки предназначены для извлечения интересующих данных из решения методом конечных элементов. Чтобы соответствовать требованиям проверки решения, постпроцессоры должны обеспечивать апостериорную оценку ошибки с точки зрения представляющих интерес величин. Когда ошибки аппроксимации больше, чем считается приемлемым, дискретизация должна быть изменена либо автоматизированным адаптивным процессом, либо действиями аналитика. Есть несколько очень эффективных постпроцессоров, которые обеспечивают реализацию сверхсходимости .

Примеры задач P1 и P2 [ править ]

Мы продемонстрируем метод конечных элементов на двух примерах задач, из которых можно экстраполировать общий метод. Предполагается, что читатель знаком с исчислением и линейной алгеброй .

P1 - одномерная задача

${\ displaystyle {\ mbox {P1}}: {\ begin {case} u '' (x) = f (x) {\ mbox {in}} (0,1), \\ u (0) = u ( 1) = 0, \ end {case}}}$

где задана, - неизвестная функция от , - вторая производная от по .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u ''}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$

P2 - двумерная задача ( задача Дирихле )

${\ displaystyle {\ mbox {P2}}: {\ begin {cases} u_ {xx} (x, y) + u_ {yy} (x, y) = f (x, y) & {\ mbox {in} } \ Omega, \\ u = 0 & {\ mbox {on}} \ partial \ Omega, \ end {cases}}}$

где - связная открытая область на плоскости с хорошей границей (например, гладкое многообразие или многоугольник ), а и обозначают вторые производные по и соответственно.${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{xx}}$${\displaystyle u_{yy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Проблема P1 может быть решена непосредственно путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (BVP) работает только тогда, когда существует одно пространственное измерение, и не распространяется на проблемы более высокой размерности или подобные проблемы . По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и опишем его обобщение для P2.${\displaystyle u+u''=f}$

Наше объяснение состоит из двух шагов, которые отражают два важных шага, которые необходимо предпринять для решения краевой задачи (BVP) с использованием FEM.

• На первом этапе мы перефразируем исходный BVP в его слабой форме. Для этого шага обычно не требуется никаких вычислений. Преобразование выполняется вручную на бумаге.
• Второй шаг - это дискретизация, когда слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

После этого второго шага у нас есть конкретные формулы для большой, но конечномерной линейной задачи, решение которой приближенно решает исходную BVP. Затем эта конечномерная задача реализуется на компьютере .

Слабая формулировка [ править ]

Первый шаг - преобразовать P1 и P2 в их эквивалентные слабые составы .

Слабая форма P1 [ править ]

Если решает P1, то для любой гладкой функции , удовлетворяющей граничным условиям смещения, т. Е. При и , мы имеем${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$

(1) ${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx.}$

Наоборот, если with удовлетворяет (1) для каждой гладкой функции, то можно показать, что это решит P1. Доказательство проще для дважды непрерывно дифференцируемых ( теорема о среднем значении ), но также может быть доказано в распределительном смысле.${\displaystyle u}$${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

Мы определяем новый оператор или карту , используя интегрирование по частям в правой части (1):${\displaystyle \phi (u,v)}$

(2)${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\equiv -\phi (u,v),\end{aligned}}}$

где мы использовали предположение, что .${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$

Слабая форма P2 [ править ]

Если мы проинтегрируем по частям, используя форму тождеств Грина , мы увидим, что если решает P2, то мы можем определить для любого следующим образом:${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (u,v)}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$

где обозначает градиент и обозначает скалярное произведение в двумерной плоскости. Еще раз может быть превращен во внутренний продукт на подходящем пространстве из когда-то дифференцируемых функций, которые равны нулю . Мы также предположили, что (см. Пространства Соболева ). Также можно показать существование и уникальность решения.${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \,\!\phi }$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

Схема доказательства существования и уникальности решения [ править ]

В общих чертах мы можем представить себе абсолютно непрерывные функции , находящиеся в точках и (см. Пространства Соболева ). Такие функции (слабо) один раз дифференцируемы, и оказывается, что симметричное билинейное отображение затем определяет скалярное произведение, которое превращается в гильбертово пространство (подробное доказательство нетривиально). С другой стороны, левая часть также является внутренним продуктом, на этот раз в пространстве Lp . Применение теоремы Рисса о представлении для гильбертовых пространств показывает, что существует единственная${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \!\,\phi }$${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)dx}$ ${\displaystyle L^{2}(0,1)}$${\displaystyle u}$решение (2) и, следовательно, P1. Это решение является априори только членом , но, используя эллиптическую регулярность, будет гладким, если есть.${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle f}$

Дискретность [ править ]

Функция с нулевыми значениями на концах (синий) и кусочно-линейной аппроксимацией (красный)${\displaystyle H_{0}^{1},}$

P1 и P2 готовы к дискретизации, что приводит к общей подзадаче (3). Основная идея - заменить бесконечномерную линейную задачу:

Найдите такое, что${\displaystyle u\in H_{0}^{1}}$

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv}$

с конечномерной версией:

(3) Найдите такое, что${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle \forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int fv}$

где есть конечномерное подпространство в . Есть много возможных вариантов (одна возможность приводит к спектральному методу ). Однако в качестве метода конечных элементов мы берем пространство кусочно-полиномиальных функций.${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Для проблемы P1 [ править ]

Берем интервал , выбираем значения с и определяем :${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\{v:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \;:v{\mbox{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\mbox{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\mbox{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$

где мы определяем и . Обратите внимание, что функции в не дифференцируемы согласно элементарному определению исчисления. Действительно, если то производная , как правило , не определен в любом , . Однако производная существует при любом другом значении, и эту производную можно использовать для интегрирования по частям .${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{n+1}=1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle x=x_{k}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle x}$

Для проблемы P2 [ править ]

Нам нужен набор функций . На рисунке справа мы проиллюстрировали триангуляцию 15-сторонней многоугольной области на плоскости (внизу) и кусочно-линейную функцию (вверху, по цвету) этого многоугольника, которая является линейной на каждом треугольнике триангуляции; пространство будет состоять из функций, линейных на каждом треугольнике выбранной триангуляции.${\displaystyle V}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V}$

Можно надеяться, что по мере того, как нижележащая треугольная сетка становится все более тонкой, решение дискретной задачи (3) в некотором смысле сходится к решению исходной краевой задачи P2. Чтобы измерить эту мелкость сетки, триангуляция индексируется параметром с действительным знаком, который считается очень маленьким. Этот параметр будет связан с размером самого большого или среднего треугольника в триангуляции. При уточнении триангуляции пространство кусочно-линейных функций также должно измениться с . По этой причине часто читают вместо литературы. Поскольку мы не проводим такой анализ, мы не будем использовать эти обозначения.${\displaystyle h>0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V}$

Выбор основы [ править ]

Для завершения дискретизации, мы должны выбрать базис из . В одномерном случае для каждой контрольной точки выберем кусочно-линейную функцию, в которой значение равно at и равно нулю в каждой , т. Е.${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\mbox{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\mbox{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\mbox{ otherwise}},\end{cases}}}$

для ; эта основа - сдвинутая и масштабируемая функция палатки . Для двумерного случая мы снова выбираем одну базисную функцию на вершину триангуляции плоской области . Функция является единственной функцией , значение которого на и ноль при каждом .${\displaystyle k=1,\dots ,n}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

В зависимости от автора слово «элемент» в «методе конечных элементов» относится либо к треугольникам в области, либо к кусочно-линейной базисной функции, либо к обоим. Так, например, автор, интересующийся изогнутыми доменами, может заменить треугольники изогнутыми примитивами и таким образом описать элементы как криволинейные. С другой стороны, некоторые авторы заменяют «кусочно линейный» на «кусочно-квадратичный» или даже «кусочно-полиномиальный». Тогда автор мог бы сказать «элемент более высокого порядка» вместо «многочлен более высокой степени». Метод конечных элементов не ограничивается треугольниками (или тетраэдрами в трехмерном пространстве, или симплексами более высокого порядка в многомерных пространствах), но может быть определен в четырехугольных подобластях (шестигранники, призмы или пирамиды в трехмерном пространстве и т. Д.) .Формы более высокого порядка (криволинейные элементы) могут быть определены с помощью полиномиальных и даже неполиномиальных форм (например, эллипса или круга).

Примерами методов, использующих кусочно-полиномиальные базисные функции более высокой степени, являются hp-FEM и спектральный FEM .

Более продвинутые реализации (адаптивные методы конечных элементов) используют метод оценки качества результатов (на основе теории оценки ошибок) и модифицируют сетку во время решения с целью достижения приближенного решения в некоторых пределах от точного решения задачи континуума. . Адаптивная сетка может использовать различные методы, наиболее популярными из которых являются:

• движущиеся узлы (r-адаптивность)
• уточняющие (и необработанные) элементы (h-адаптивность)
• изменение порядка базовых функций (p-адаптивность)
• комбинации вышеперечисленного ( hp-адаптивность ).

Небольшая поддержка основы [ править ]

Решение двумерной задачи в круге с центром в начале координат и радиусом 1 с нулевыми граничными условиями. (а) Триангуляция.${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=-4}$

(c) Вычисленное решение, ${\displaystyle u(x,y)=1-x^{2}-y^{2}.}$

Основное преимущество такого выбора основы состоит в том, что внутренние продукты

${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$

и

${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$

будет нулем почти для всех . (Матрица , содержащая в месте известна как Определитель Грама .) В одномерном случае, то поддержка из интервала . Следовательно, подынтегральные выражения от и всегда тождественно равны нулю .${\displaystyle j,k}$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$${\displaystyle (j,k)}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$${\displaystyle |j-k|>1}$

Аналогично, в плоском случае, если и не имеют общего ребра триангуляции, то интегралы${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$

и

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$

оба равны нулю.

Матричная форма задачи [ править ]

Если написать и тогда задача (3), взяв за , примет вид${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=1}^{n}f_{k}\int v_{k}v_{j}dx}$для (4)${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$

Если мы обозначим через и векторы-столбцы и , и если мы положим${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$

${\displaystyle L=(L_{ij})}$

и

${\displaystyle M=(M_{ij})}$

- матрицы, элементы которых

${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$

и

${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$

тогда мы можем перефразировать (4) как

${\displaystyle -L\mathbf {u} =M\mathbf {f} .}$ (5)

Не надо предполагать . Для общей функции задача (3) с for фактически становится проще, поскольку матрица не используется,${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle -L\mathbf {u} =\mathbf {b} }$, (6)

где и для .${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

Как мы обсуждали ранее, большинство записей и равны нулю, потому что базовые функции имеют небольшую поддержку. Итак, теперь нам нужно решить линейную систему в неизвестном, где большинство элементов матрицы , которые нам нужно инвертировать, равны нулю.${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle L}$

Такие матрицы известны как разреженные матрицы , и существуют эффективные решатели таких проблем (гораздо более эффективные, чем фактическое инвертирование матрицы). Кроме того, они симметричны и положительно определены, поэтому предпочтение отдается такому методу, как метод сопряженных градиентов . Для задач, которые не являются слишком большими, разреженные LU-разложения и разложения Холецкого по- прежнему хорошо работают. Например, оператор обратной косой черты в MATLAB (который использует разреженный LU, разреженный метод Холецкого и другие методы факторизации) может быть достаточным для сеток с сотней тысяч вершин.${\displaystyle L}$

Матрица обычно называется матрицей жесткости , а матрица - матрицей масс .${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$

Общий вид метода конечных элементов [ править ]

В целом метод конечных элементов характеризуется следующим процессом.

• Выбирают сетку для . В предыдущем рассмотрении сетка состояла из треугольников, но также можно использовать квадраты или криволинейные многоугольники.${\displaystyle \Omega }$
• Затем выбираются базисные функции. В нашем обсуждении мы использовали кусочно-линейные базисные функции, но также часто используются кусочно-полиномиальные базисные функции.

Отдельное внимание уделяется гладкости базисных функций. Для эллиптических краевых задач второго порядка достаточно кусочно-полиномиальной базисной функции, которая является просто непрерывной (т. Е. Производные разрывны). Для уравнений в частных производных более высокого порядка необходимо использовать более гладкие базисные функции. Например, для задачи четвертого порядка, такой как , можно использовать кусочно-квадратичные базисные функции, которые есть .${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$ C 1 {\displaystyle C^{1}}

Еще одно соображение - это связь конечномерного пространства с его бесконечномерным аналогом в приведенных выше примерах . Соответствующий метод конечных элементов является тот , в котором пространство является подпространством элемента пространства для непрерывной задачи. Пример выше является таким методом. Если это условие не выполняется, мы получаем метод несоответствующих элементов , примером которого является пространство кусочно-линейных функций над сеткой, непрерывных в каждой средней точке ребра. Поскольку эти функции, вообще говоря, разрывны по краям, это конечномерное пространство не является подпространством оригинала .${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$

Как правило, у каждого есть алгоритм для взятия заданной сетки и ее разделения. Если основным методом повышения точности является разделение сетки, используется h -метод ( h обычно является диаметром самого большого элемента в сетке). Таким образом, если кто-то показывает, что ошибка с сеткой ограничена выше by , для некоторых и , то есть метод порядка p . При определенных предположениях (например, если область является выпуклой), метод кусочного полинома порядка будет иметь ошибку порядка .${\displaystyle h}$${\displaystyle Ch^{p}}$${\displaystyle C<\infty }$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p=d+1}$

Если вместо уменьшения h увеличить степень полиномов, используемых в базисной функции, получится p -метод. Если объединить эти два типа уточнения, получится hp- метод ( hp-FEM ). В hp-FEM степени полинома могут варьироваться от элемента к элементу. Методы высокого порядка с большим однородным p называются спектральными методами конечных элементов ( SFEM ). Их не следует путать со спектральными методами .

Для векторных уравнений в частных производных базисные функции могут принимать значения в .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Различные типы методов конечных элементов [ править ]

AEM [ править ]

Метод прикладных элементов или AEM сочетает в себе функции как FEM, так и метода дискретных элементов , или (DEM).

Обобщенный метод конечных элементов [ править ]

Обобщенный метод конечных элементов (GFEM) использует локальные пространства, состоящие из функций, не обязательно полиномов, которые отражают доступную информацию о неизвестном решении и, таким образом, обеспечивают хорошее локальное приближение. Затем разделение единицы используется, чтобы «связать» эти пространства вместе, чтобы сформировать аппроксимирующее подпространство. Эффективность GFEM была показана при применении к задачам с областями со сложными границами, задачам с микромасштабами и задачам с пограничными слоями. ^[12]

Смешанный метод конечных элементов [ править ]

Смешанный метод конечных элементов - это тип метода конечных элементов, в котором дополнительные независимые переменные вводятся как узловые переменные во время дискретизации задачи уравнения в частных производных.

Переменная - полином [ править ]

В HP-FEM комбинаты адаптивно, элементы с переменным размером ч и полиномиальной степени р для того , чтобы достичь исключительно быстро, экспоненциальные скорости сходимости. ^[13]

hpk-FEM [ править ]

В HpK Точна-FEM комбинатах адаптивно, элементы с переменным размером ч , полиномиальной степенью локальных аппроксимаций р и глобальной дифференцируемостью локальных приближений (к-1) для достижения наилучших скорости сходимости.

XFEM [ править ]

Расширенный метод конечных элементов(XFEM) - это численный метод, основанный на обобщенном методе конечных элементов (GFEM) и методе разделения единицы (PUM). Он расширяет классический метод конечных элементов, обогащая пространство решений для решений дифференциальных уравнений с разрывными функциями. Расширенные методы конечных элементов обогащают пространство аппроксимации, так что оно может естественным образом воспроизводить сложные особенности, связанные с интересующей проблемой: разрыв, сингулярность, пограничный слой и т. Д. Было показано, что для некоторых задач такое вложение признака задачи в пространство аппроксимации может значительно улучшить скорость сходимости и точность. Более того, обработка проблем с неоднородностями с помощью XFEM исключает необходимость создания сетки и повторной сетки поверхностей неоднородностей,таким образом уменьшаются вычислительные затраты и ошибки проекции, связанные с традиционными методами конечных элементов, за счет ограничения разрывов до краев сетки.

Несколько исследовательских кодов реализуют эту технику в той или иной степени: 1. GetFEM ++ 2. xfem ++ 3. openxfem ++.

XFEM также был реализован в таких кодах, как Altair Radios, ASTER, Morfeo и Abaqus. Он все чаще внедряется в другое коммерческое программное обеспечение конечных элементов с несколькими доступными плагинами и фактическими реализациями ядра (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE и т. Д.).

Метод конечных элементов с масштабированной границей (SBFEM) [ править ]

Введение метода масштабированных граничных конечных элементов (SBFEM) было предложено Сонг и Вольфом (1997). ^[14] SBFEM был одним из самых прибыльных достижений в области численного анализа проблем механики разрушения. Это полуаналитический метод без фундаментальных решений, который сочетает в себе преимущества формулировок и процедур конечных элементов, а также дискретизации граничных элементов. Однако, в отличие от метода граничных элементов, не требуется фундаментального дифференциального решения.

S-FEM [ править ]

S-FEM, сглаженные методы конечных элементов, представляют собой особый класс алгоритмов численного моделирования для моделирования физических явлений. Он был разработан путем объединения бессеточных методов с методом конечных элементов.

Метод спектрального элемента [ править ]

Методы спектральных элементов сочетают геометрическую гибкость конечных элементов и высокую точность спектральных методов. Спектральные методы представляют собой приближенное решение уравнений в частных слабых формах, которые основаны на лагранжевых интерполянтах высокого порядка и используются только с определенными квадратурными правилами. ^[15]

Meshfree методы [ править ]

Разрывные методы Галеркина [ править ]

Анализ предела конечных элементов [ править ]

Метод растянутой сетки [ править ]

Итерация Лабиньяка [ править ]

Итерация Лубиньяка - это итерационный метод в методах конечных элементов.

Метод конечных элементов пластичности кристаллов (CPFEM) [ править ]

Метод конечных элементов пластичности кристаллов (CPFEM) - это усовершенствованный численный инструмент, разработанный Францем Ротерсом. Металлы можно рассматривать как агрегаты кристаллов, и они проявляют анизотропию при деформации, например, при локализации аномальных напряжений и деформаций. CPFEM, основанный на скольжении (скорости деформации сдвига), может вычислять дислокацию, ориентацию кристаллов и другую информацию о текстуре для учета анизотропии кристаллов во время процедуры. Теперь он применяется для численного исследования деформации материалов, шероховатости поверхности, изломов и т. Д.

Ссылка на метод дискретизации градиента [ править ]

Некоторые типы методов конечных элементов (согласующиеся, несоответствующие, смешанные методы конечных элементов) являются частными случаями метода градиентной дискретизации (GDM). Следовательно, свойства сходимости GDM, которые установлены для ряда задач (линейные и нелинейные эллиптические задачи, линейные, нелинейные и вырожденные параболические задачи), также сохраняются для этих конкретных методов конечных элементов.

Сравнение с методом конечных разностей [ править ]

Метод конечных разностей (FDM) - это альтернативный способ аппроксимации решений уравнений в частных производных. Различия между FEM и FDM:

• Наиболее привлекательной особенностью МКЭ является его способность относительно легко обрабатывать сложные геометрические формы (и границы). В то время как FDM в своей основной форме ограничен обработкой прямоугольных форм и их простых изменений, обработка геометрии в FEM теоретически проста.
• FDM обычно не используется для нестандартных геометрических форм САПР, а чаще используется для прямоугольных или блочных моделей. ^[16]
• Самая привлекательная особенность конечных разностей заключается в том, что их очень легко реализовать.
• Есть несколько способов рассматривать FDM как частный случай подхода FEM. Например, FEM первого порядка идентичен FDM для уравнения Пуассона , если задача дискретизирована с помощью регулярной прямоугольной сетки, в которой каждый прямоугольник разделен на два треугольника.
• Есть причины считать математическую основу аппроксимации методом конечных элементов более надежной, например, потому что качество аппроксимации между точками сетки в FDM оставляет желать лучшего.
• Качество аппроксимации FEM часто выше, чем в соответствующем подходе FDM, но это чрезвычайно проблемно, и можно привести несколько примеров обратного.

Как правило, МКЭ является методом выбора во всех типах анализа в строительной механике (т.е. решение для деформации и напряжений в твердых телах или динамиках структур) в то время как вычислительная гидродинамика (CFD) , как правило, использует FDM или другие методы , такие как метод конечных объемов ( FVM). Задачи CFD обычно требуют дискретизации задачи на большое количество ячеек / точек сетки (миллионы и более), поэтому стоимость решения способствует более простой аппроксимации более низкого порядка в каждой ячейке. Это особенно верно для проблем с «внешним потоком», таких как воздушный поток вокруг автомобиля или самолета или моделирование погоды.

Заявление [ править ]

Различные специализации в рамках дисциплины машиностроения (например, авиационная, биомеханическая и автомобильная промышленность) обычно используют интегрированные FEM при проектировании и разработке своих продуктов. Несколько современных пакетов FEM включают специальные компоненты, такие как тепловые, электромагнитные, жидкостные и структурные рабочие среды. В структурном моделировании FEM очень помогает в визуализации жесткости и прочности, а также в минимизации веса, материалов и затрат. ^[17]

FEM позволяет детально визуализировать изгиб или скручивание конструкций, а также показывает распределение напряжений и смещений. Программное обеспечение FEM предоставляет широкий спектр возможностей моделирования для управления сложностью моделирования и анализа системы. Точно так же можно одновременно управлять желаемым уровнем требуемой точности и соответствующими требованиями к вычислительному времени для решения большинства инженерных приложений. FEM позволяет конструировать, уточнять и оптимизировать целые конструкции до того, как она будет изготовлена. Сетка является неотъемлемой частью модели, и для получения наилучших результатов необходимо тщательно контролировать ее. Как правило, чем больше количество элементов в сетке, тем точнее решение дискретизированной задачи. Тем не мение,существует значение, при котором результаты сходятся, и дальнейшее уточнение сетки не увеличивает точность.^[18]

Этот мощный инструмент проектирования значительно улучшил как стандарты инженерного проектирования, так и методологию процесса проектирования во многих промышленных приложениях. ^[20] Внедрение МКЭ существенно сократило время, необходимое для перехода продуктов от концепции к производственной линии. ^[20] Тестирование и разработка были ускорены в первую очередь за счет улучшенных первоначальных прототипов с использованием МКЭ. ^[21] Таким образом, преимущества FEM включают повышенную точность, улучшенный дизайн и лучшее понимание критических параметров конструкции, виртуальное прототипирование, меньшее количество аппаратных прототипов, более быстрый и менее затратный цикл проектирования, повышенную производительность и увеличение доходов. ^[20]

В 1990-х годах FEA был предложен для использования в стохастическом моделировании для численного решения вероятностных моделей ^[22], а затем и для оценки надежности. ^[23]

См. Также [ править ]

• Метод прикладного элемента
• Метод граничных элементов
• Лемма Сеа
• Компьютерный эксперимент
• Метод прямой жесткости
• Оптимизация компоновки разрывов
• Метод дискретных элементов
• Метод конечных разностей
• Машина конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Метод конечных объемов
• Метод конечных объемов для нестационарного потока
• Метод бесконечных элементов
• Интервальный конечный элемент
• Изогеометрический анализ
• Решеточные методы Больцмана
• Список пакетов программного обеспечения для конечных элементов
• Meshfree методы
• Подвижный клеточный автомат
• Многопрофильная оптимизация дизайна
• Мультифизика
• Патч-тест
• Метод Рэлея – Ритца
• Картографирование космоса
• Тесселяция (компьютерная графика)
• Ослабленная слабая форма

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с конечно-элементным моделированием .

• Г. Аллер и А. Крейг: Численный анализ и оптимизация: Введение в математическое моделирование и численное моделирование .
• KJ Bathe: Численные методы в анализе конечных элементов , Prentice-Hall (1976).
• Томас Дж. Р. Хьюз: Метод конечных элементов: линейный статический и динамический анализ конечных элементов, Прентис-Холл (1987).
• Й. Часкалович: Методы конечных элементов для технических наук , Springer Verlag, (2008).
• Эндре Сули : Методы конечных элементов для уравнений с частными производными .
• OC Zienkiewicz, RL Taylor, JZ Zhu: The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals , Butterworth-Heinemann (2005).