В математике метрика Вейля – Петерссона - это кэлерова метрика на пространстве Тейхмюллера T g , n римановых поверхностей рода g с n отмеченными точками. Он был введен Андре Вейлем ( 1958 , 1979 ) с использованием внутреннего произведения Петерсона для форм на римановой поверхности (введено Гансом Петерсоном ).
Определение
Если точка пространства Тейхмюллера представлена риманова поверхность R , то кокасательное пространство в этой точке может быть идентифицировано с пространством квадратичных дифференциалов на R . Поскольку риманова поверхность имеет естественную гиперболическую метрику , по крайней мере, если она имеет отрицательную эйлерову характеристику , можно определить эрмитово скалярное произведение на пространстве квадратичных дифференциалов путем интегрирования по римановой поверхности. Это индуцирует эрмитово скалярное произведение на касательном пространстве к каждой точке пространства Тейхмюллера и, следовательно, риманову метрику.
Характеристики
Вейль (1958) заявил, а Альфорс (1961) доказал, что метрика Вейля – Петерсона является кэлеровой метрикой . Альфорс (1961b) доказал, что он имеет отрицательную голоморфную секционную , скалярную и кривизну Риччи . Метрика Вейля – Петерсона обычно не является полной.
Обобщения
Аналогичным образом можно определить метрику Вейля – Петерссона для некоторых пространств модулей многомерных многообразий.
Рекомендации
- Ahlfors, Ларс В. (1961), "Некоторые замечания о пространстве Тейхмюллера римановых поверхностей", Анналы математики , второй серии 74 (1): 171-191, DOI : 10,2307 / 1970309 , ЛВП : 2027 / mdp.39015095258003 , JSTOR 1970309 , Руководство по ремонту 0204641
- Ahlfors, Ларс В. (1961б), "Кривизна свойства пространства Тейхмюллера", Journal d'Анализировать Mathematique , 9 : 161-176, DOI : 10.1007 / BF02795342 , ЛВП : 2027 / mdp.39015095248350 , MR 0136730 , S2CID 124921349
- Вейль, Андре (1958), «Модули поверхностей Римана», Séminaire Bourbaki; 10 лет: 1957/1958. Тексты конференций; Exposés 152à 168; 2e éd.corrigée, Exposé 168 (на французском языке), Париж: Secrétariat Mathématique, стр. 413–419, MR 0124485 , Zbl 0084.28102
- Вейль, Андре (1979) [1958], "О модулях римановых поверхностей", Научные труды. Сборник статей. Vol. II (1951-1964) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 381–389, ISBN 978-0-387-90330-9, MR 0537935
- Вольперт, Скотт А. (2001) [1994], "Weil – Petersson_metric" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вольперт, Скотт А. (2009), «Метрическая геометрия Вейля-Петерссона», в Пападопулос, Атаназ (ред.), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II , IRMA Lect. Математика. Теор. Phys., 13 , Eur. Математика. Soc., Zürich, стр. 47–64, arXiv : 0801.0175 , doi : 10.4171 / 055-1 / 2 , ISBN 978-3-03719-055-5, Руководство по ремонту 2497791
- Вольперт, Скотт А. (2010), Семейства римановых поверхностей и геометрия Вейля-Петерсона , CBMS Reg. Конф. Ряды по математике, 113 , амер. Математика. Soc, Providence, Rhode Island,. Arxiv : 1202.4078 , DOI : 10,1090 / МД / 113 , ISBN 978-0-8218-4986-6, Руководство по ремонту 2641916 , S2CID 7880175