Функция Уиттекера

В математике функция Уиттекера - это специальное решение уравнения Уиттекера , модифицированной формы конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, введенного Уиттакером  ( 1903 ), чтобы сделать формулы, включающие решения, более симметричными. В более общем смысле , Жак  ( +1966 , +1967 ) ввел Whittaker функцию из восстановительных групп над локальными полями , где функция , изучаемое Whittaker по существу случай , когда локальное поле действительных чисел и группа SL ₂ ( R ).

Уравнение Уиттекера:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

Он имеет регулярную особую точку в 0 и нерегулярную особую точку в ∞. Два решения задаются функциями Уиттекера M _{κ, μ} ( z ), W _{κ, μ} ( z ), определенными в терминах вырожденных гипергеометрических функций Куммера M и U формулами

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).}$

Функции Уиттекера и аналогичны функциям с противоположными значениями μ , другими словами, рассматриваемые как функция от μ при фиксированных κ и z, они являются четными функциями . Когда κ и z действительны, функции дают действительные значения для действительных и мнимых значений μ . Эти функции от μ играют роль в так называемых пространствах Куммера . ^[1]${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)}$${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)}$

Функции Уиттекера появляются как коэффициенты некоторых представлений группы SL ₂ ( R ), называемых моделями Уиттекера .

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 504, 537. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 . См. Также главу 14 .
• Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF) , 1 , McGraw-Hill.
• Брычков Ю.А .; Прудников, А.П. (2001) [1994], "Функция Уиттекера" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Функция Уиттекера» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
  • Жаке, Эрве (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943 – A945, ISSN  0151-0509 , MR  0200390
• Жаке, Эрве (1967), "Fonctions де Уиттакер associées Окс Groupes де Шевалье" , Бюллетень де ла Société Mathematique де Франс , 95 : 243-309, DOI : 10,24033 / bsmf.1654 , ISSN  0037-9484 , MR  0271275
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Уравнение Уиттекера" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Слейтер, Люси Джоан (1960), Конфлюэнтные гипергеометрические функции , Cambridge University Press , MR  0107026.
• Уиттакер, Эдмунд Т. (1903), "Выражение некоторых известных функций как обобщенные гипергеометрические функции", Бюллетень AMS , Providence, RI: Американское математическое общество , 10 (3): 125-134, DOI : 10,1090 / S0002- 9904-1903-01077-5

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хатамзаде-Вармазьяр, Саид; Масури, Захра (01.11.2012). «Быстрый численный метод анализа одномерного и двумерного электромагнитного рассеяния с использованием набора кардинальных функций» . Инженерный анализ с граничными элементами . 36 (11): 1631–1639. DOI : 10.1016 / j.enganabound.2012.04.014 . ISSN  0955-7997 .
• Герасимов, АА; Лебедев, Дмитрий Р .; Облезин, Сергей В. (2012). «Новые интегральные представления функций Уиттекера для классических групп Ли» . Российские математические обзоры . 67 (1): 1–92. arXiv : 0705.2886 . Bibcode : 2012RuMaS..67 .... 1G . DOI : 10.1070 / RM2012v067n01ABEH004776 . ISSN  0036-0279 .
• Бодуан, Фабрис; О'Коннелл, Нил (2011). «Экспоненциальные функционалы от броуновского движения и функции Уиттекера первого класса» . Анналы института Анри Пуанкаре, Probabilités et Statistiques . 47 (4): 1096–1120. Bibcode : 2011AIHPB..47.1096B . DOI : 10.1214 / 10-AIHP401 . S2CID  113388 .
• Макки, Марк (апрель 2009 г.). «Функция Уиттекера бесконечного порядка» . Канадский математический журнал . 61 (2): 373–381. DOI : 10,4153 / CJM-2009-019-х . ISSN  0008-414X .
• Mathai, AM; Педерзоли, Джорджио (1 марта 1997 г.). «Некоторые свойства матричных преобразований Лапласа и матричных функций Уиттекера» . Линейная алгебра и ее приложения . 253 (1): 209–226. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00705-9 . ISSN  0024-3795 .
• Уиттакер, Дж. М. (май 1927 г.). «О кардинальной функции теории интерполяции» . Труды Эдинбургского математического общества . 1 (1): 41–46. DOI : 10.1017 / S0013091500007318 . ISSN  1464-3839 .
• Чередник, Иван (2009). "Пределы Уиттекера разностных сферических функций" . Уведомления о международных математических исследованиях . 2009 (20): 3793–3842. arXiv : 0807.2155 . DOI : 10.1093 / imrn / rnp065 . ISSN  1687-0247 . S2CID  6253357 .
• Слейтер, LJ (октябрь 1954 г.). «Разложения обобщенных функций Уиттекера» . Математические труды Кембриджского философского общества . 50 (4): 628–631. Bibcode : 1954PCPS ... 50..628S . DOI : 10.1017 / S0305004100029765 . ISSN  1469-8064 .
• Этингоф, Павел (1999-01-12). «Функции Уиттекера на квантовых группах и q-деформированные операторы Тоды». arXiv : math / 9901053 .
• Макнамара, Питер Дж. (15 января 2011 г.). «Метаплектические функции Уиттекера и кристаллические основы» . Математический журнал герцога . 156 (1): 1–31. arXiv : 0907.2675 . DOI : 10.1215 / 00127094-2010-064 . ISSN  0012-7094 . S2CID  979197 .
• Mathai, AM; Педерзоли, Джорджио (1998-01-15). «Функция Уиттекера матричного аргумента» . Линейная алгебра и ее приложения . 269 (1): 91–103. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (97) 00059-1 . ISSN  0024-3795 .
• Frenkel, E .; Гайцгори, Д .; Каждан, Д .; Вилонен, К. (1998). «Геометрическая реализация функций Уиттекера и гипотеза Ленглендса» . Журнал Американского математического общества . 11 (2): 451–484. DOI : 10.1090 / S0894-0347-98-00260-4 . ISSN  0894-0347 . S2CID  13221400 .