Модель Уиттакера

В теории представлений , в области математики, то модель Уиттакер является реализацией представления о наличии восстановительной алгебраической группы , таких как GL ₂ над конечным или локальным или глобальным полем на пространстве функций на группе. Он назван в честь ET Whittaker, хотя он никогда не работал в этой области, потому что (Jacquet  1966 , 1967 ) указал, что для группы SL ₂ ( R ) некоторые функции, участвующие в представлении, являются функциями Уиттекера .

Неприводимые представления без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а представления с моделью Уиттекера - «общими». Представление θ ₁₀ из симплектической группы Sp ₄ представляет собой простейший пример вырожденного представления.

Модели Уиттакера для GL ₂ [ править ]

Если G является алгебраической группой GL ₂ и F является локальным полем, и τ является фиксированной нетривиальной характер аддитивной группы F и π является неприводимым представлением линейной группы G ( F ), то модель Whittaker поскольку π - представление π в пространстве функций ƒ на G ( F ), удовлетворяющее

${\ displaystyle f \ left ({\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} g \ right) = \ tau (b) f (g).}$

Жаке & Ленглендс (1970) использовал модель Whittaker для назначения L-функций допустимых представлений о GL ₂ .

Модели Уиттекера для GL _n [ править ]

Пусть - общая линейная группа , гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный характер и подгруппа, состоящая из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный характер на имеет вид${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}$${\ displaystyle U}$

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

для ∈ и ненулевого ∈ . Если - гладкое представление , то функционал Уиттекера - это непрерывный линейный функционал на такой, что для всех ∈ , ∈ . Кратность 1 утверждает, что для унитарной неприводимости пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.${\displaystyle u=(x_{ij})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle G(F)}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$

Модели Уиттекера для редуктивных групп [ править ]

Если G - расщепляемая редуктивная группа, а U - унипотентный радикал борелевской подгруппы B , то модель Уиттекера для представления - это вложение ее в индуцированное ( Гельфанда – Граева ) представление Ind^G
_U( χ ), где χ - невырожденный характер U , такой как сумма характеров, соответствующих простым корням.

См. Также [ править ]

• Представление Гельфанда – Граева , грубо говоря, сумма моделей Уиттекера над конечным полем.
• Кириллов модель

Ссылки [ править ]

• Жаке, Эрве (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943 – A945, ISSN  0151-0509 , MR  0200390
• Жаке, Эрве (1967), "Fonctions де Уиттакер associées Окс Groupes де Шевалье" , Бюллетень де ла Société Mathematique де Франс , 95 : 243-309, DOI : 10,24033 / bsmf.1654 , ISSN  0037-9484 , MR  0271275
• Jacquet, H .; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Лекционные заметки по математике, Vol. 114, 114 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, Руководство по ремонту  0401654
• JA Shalika, Теорема кратности один для${\displaystyle GL_{n}}$ , Анналы математики, 2-й. Сер., Т. 100, № 2 (1974), 171–193.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Жаке, Эрве; Шалика, Джозеф (1983). «Модели Уиттекера индуцированных представлений» . Тихоокеанский математический журнал . 109 (1): 107–120. DOI : 10,2140 / pjm.1983.109.107 . ISSN  0030-8730 .