В теории представлений, разделе математики, θ 10 является каспидальным унипотентным комплексным неприводимым представлением симплектической группы Sp 4 над конечным , локальным или глобальным полем .
Шринивасан (1968) ввел θ 10 для симплектической группы Sp 4 ( F q ) над конечным полем F q порядка q и показал, что в этом случае она является q ( q - 1) 2 /2-мерной. Нижний индекс 10 в θ 10 - это историческая случайность, которая застряла: Шринивасан произвольно назвала некоторые символы Sp 4 ( F q ) как θ 1 , θ 2 , ..., θ 13 , и десятый знак в ее списке происходит быть куспидальным унипотентным персонажем.
θ 10 - единственное каспидальное унипотентное представление Sp 4 ( F q ). Это простейший пример каспидального унипотентного представления редуктивной группы , а также простейший пример вырожденного каспидального представления (без модели Уиттекера ). Общие линейные группы не имеют каспидальных унипотентных представлений и вырожденных каспидальных представлений, поэтому θ 10 проявляет свойства общих редуктивных групп, которые не встречаются для общих линейных групп.
Хоу и Пиатетски-Шапиро (1979) использовали представления θ 10 над локальными и глобальными полями при построении контрпримеров к обобщенной гипотезе Рамануджана для симплектической группы. Адамс (2004) описал представление θ 10 группы Ли Sp 4 ( R ) над локальным полем R в деталях.
Рекомендации
- Адамс, Джеффри (2004), Хида, Харузо; Рамакришнан, Динакар; Шахиди, Фрейдун (ред.), «Тета-10» , Вклад в автоморфные формы, геометрию и теорию чисел: том в честь Джозефа А. Шалики, Американский журнал математики , приложение, Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins Univ. Пресса: 39–56, ISBN 978-0-8018-7860-2, Руководство по ремонту 2058602
- Дешпанде, Танмей (2008). «Исключительное представление Sp (4, F q )». arXiv : 0804.2722 [ math.RT ].
- Гольфанд Я. Ю. (1978), «Исключительное представление Sp (4, F q )», Функциональный анализ и его приложения , Институт проблем управления АН СССР. Перевод из Функционального анализа и его приложения, 12 (4): 83–84, doi : 10.1007 / BF01076387 , MR 0515634 , S2CID 122223668.
- Хау, Роджер ; Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Контрпример к« обобщенной гипотезе Рамануджана »для (квази) расщепляемых групп» , у Бореля, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 315–322, ISBN 978-0-8218-1435-2, Руководство по ремонту 0546605
- Ким, Джу-Ли ; Пятецкий-Шапиро, И. И. (2001), "Квадратичные изменение база & thetas 10 ", Израиль Журнал математики , 123 : 317-340, DOI : 10.1007 / BF02784134 , МР 1835303 , S2CID 121587192
- Srinivasan, Бхам (1968), "Характеры конечной симплектической группы Sp (4, Q)", Труды Американского математического общества , 131 (2): 488-525, DOI : 10,2307 / 1994960 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994960 , MR 0220845