В математике , А вырожденная гипергеометрическая функция является решением из вырожденного гипергеометрического уравнения , которая является вырожденной формой гипергеометрического дифференциального уравнения , где два из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность . Термин конфлюэнтный относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько распространенных стандартных форм конфлюэнтных гипергеометрических функций:
- Функция Куммера (конфлюэнтная гипергеометрическая) M ( a , b , z ) , введенная Куммером ( 1837 ), является решением дифференциального уравнения Куммера . Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая и не связанная с этим функция Куммера, носящая то же имя.
- Функция Трикоми (конфлюэнтная гипергеометрическая) U ( a , b , z ), введенная Франческо Трикоми ( 1947 ), иногда обозначаемая как Ψ ( a ; b ; z ) , является еще одним решением уравнения Куммера. Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.
- Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
- Кулоновские волновые функции являются решениями кулоновского волнового уравнения .
Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.
Уравнение Куммера
Уравнение Куммера можно записать как:
с регулярной особой точкой в точке z = 0 и нерегулярной особой точкой в точке z = ∞ . Он имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .
Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в ( Kummer 1837 ) и определяемый следующим образом:
где:
- растущий факториал . Другое общее обозначение этого решения - Φ ( a , b , z ) . Рассматриваемый как функция от a , b или z с двумя другими постоянными, это определяет целую функцию от a или z , за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция от b это аналитический, за исключением полюсов в неположительных целых числах.
Некоторые значения a и b дают решения, которые могут быть выражены через другие известные функции. См. # Особые случаи . Когда a - неположительное целое число, функция Куммера (если она определена) является обобщенным многочленом Лагерра .
Подобно тому, как конфлюэнтное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения, когда особая точка в 1 перемещается к особой точке в ∞, конфлюэнтная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции
и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.
Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое, независимое решение. Определяющие уравнение метода Фробениуса говорит нам , что самая низкая мощность степенного ряда решения уравнения Куммера является либо 0 , либо 1 - б . Если мы позволим w ( z ) быть
то дифференциальное уравнение дает
которое после деления z 1− b и упрощения принимает вид
Это означает, что z 1− b M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) является решением до тех пор, пока b не является целым числом больше 1, точно так же, как M ( a , b , z ) является решением, поэтому пока b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми U ( a , b , z ), введенную Франческо Трикоми ( 1947 ) и иногда обозначаемую Ψ ( a ; b ; z ) . Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемых
Хотя это выражение не определено для целого числа b , его преимущество состоит в том, что его можно расширить до любого целого числа b по непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая является целой функцией от z , U ( z ) обычно имеет особенность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0, то Γ ( a +1) U ( a , b , z ) - 1 асимптотически относительно az ln z, когда z стремится к нулю. Но см. # Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (многочлен).
Обратите внимание, что решение z 1− b M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) уравнения Куммера совпадает с решением U ( a , b , z ) , см. # Преобразование Куммера .
Для большинства комбинаций действительных или комплексных a и b функции M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) независимы, и если b - неположительное целое число, то M ( a , b , z ) не существует, то мы можем использовать z 1− b M ( a + 1− b , 2− b , z ) в качестве второго решения. Но если a - целое неположительное число, а b - не целое неположительное число, то U ( z ) делится на M ( z ) . В этом случае также z 1− b M ( a + 1− b , 2− b , z ) можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда б представляет собой целое число больше 1, это решение не существует, и если б = 1 , то она существует , но является кратным U ( , б , г ) и из М ( , б , г ) в тех случаях существует второе решение следующей формы и действительное для любого действительного или комплексного a и любого положительного целого числа b, кроме случаев, когда a является положительным целым числом меньше b :
Когда a = 0, мы можем альтернативно использовать:
Когда b = 1, это экспоненциальный интеграл E 1 ( −z ) .
Аналогичная проблема возникает, когда a - b - отрицательное целое число, а b - целое число меньше 1. В этом случае M ( a , b , z ) не существует, а U ( a , b , z ) кратно z 1− b M ( a + 1− b , 2− b , z ). Второе решение имеет следующий вид:
Другие уравнения
Конфлюэнтные гипергеометрические функции могут использоваться для решения расширенного конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, общая форма которого имеет следующий вид:
Обратите внимание, что для M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному конфлюэнтному гипергеометрическому уравнению.
Таким образом, сливающиеся гипергеометрические функции могут использоваться для решения «большинства» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z , поскольку они могут быть преобразованы в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:
Сначала мы переместим регулярную особую точку в 0 , используя замену A + Bz ↦ z , которая преобразует уравнение в:
с новыми значениями C, D, E и F . Далее используем замену:
и умножим уравнение на тот же коэффициент, получив:
чье решение
где w ( z ) - решение уравнения Куммера с
Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если он равен нулю, необходимо использовать другое решение, а именно
где w ( z ) - вырожденная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая
Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя можно решить с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций.
Интегральные представления
Если Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) можно представить в виде интеграла
Таким образом , М ( , + б , она ) является характеристической функцией от бета - распределения . Для a с положительной действительной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа
Интеграл определяет решение в правой полуплоскости 0
Их также можно представить в виде интегралов Барнса
где контур проходит по одну сторону от полюсов Γ (- s ) и по другую сторону от полюсов Γ ( a + s ) .
Асимптотическое поведение
Если решение уравнения Куммера является асимптотическим по степени z при z → ∞ , то степень должна быть - a . Фактически, это так для решения Трикоми U ( a , b , z ) . Его асимптотика при z → ∞ может быть получена из интегральных представлений. Если z = x ∈ R , то замена переменных в интеграле с последующим расширением биномиального ряда и его формальным интегрированием по членам приводит к расширению асимптотического ряда , справедливому при x → ∞ : [2]
где является обобщенным гипергеометрическим рядом с 1 в качестве ведущего термина, который обычно не сходится нигде, но существует как формальный степенной ряд в 1 / х . Это асимптотическое разложение также справедливо для комплексного z вместо действительного x , с | arg z | <3 π / 2.
Асимптотика решения Куммера при больших | z | является:
Степени z взяты с использованием −3 π / 2
Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к e z z a - b при z → −∞ . Обычно это будет комбинация M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ), но также может быть выражена как e z (−1) a - b U ( b - a , b , - z ) .
связи
Существует множество соотношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производных. В этом разделе приводится несколько типичных примеров.
Смежные отношения
Для данного M ( a , b , z ) четыре функции M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) называются смежными с M ( a , b , z ) . Функцию M ( a , b , z ) можно записать как линейную комбинацию любых двух ее смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a, b и z . Это дает (4
2) = 6 отношений, задаваемых путем определения любых двух строк в правой части
В обозначениях выше M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) и т. Д.
Повторное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M ( a + m , b + n , z ) (и их высшими производными), где m , n - целые числа.
Есть аналогичные соотношения для U .
Преобразование Куммера
Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:
- .
Теорема умножения
Верны следующие теоремы умножения :
Связь с многочленами Лагерра и аналогичными представлениями
В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько разложений, например
- ( Erdélyi et al. 1953 , 6.12)
Особые случаи
Функции, которые могут быть выражены как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают:
- Некоторые элементарные функции, левая часть которых не определена, если b - целое неположительное число, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:
- (многочлен, если a - целое неположительное число)
- для целого неположительного n - обобщенный многочлен Лагерра .
- для целого неположительного числа n делится на обобщенный многочлен Лагерра, равный когда последний существует.
- когда n является положительным целым числом, это замкнутая форма со степенями z , равными когда последний существует.
- для целого неотрицательного числа n - многочлен Бесселя (см. ниже).
- и т.п.
- Используя отношение смежности мы получаем, например,
- Функция Бейтмана
- Функции Бесселя и много связанных функций , такие как функции Эйри , функция Кельвина , функции Ханкель . Например, в частном случае b = 2 a функция сводится к функции Бесселя :
- Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера . по аналогии
- Когда a - целое неположительное число, это равно 2 - a θ - a ( x / 2), где θ - многочлен Бесселя .
- Функция ошибки может быть выражена как
- Кулоновская волновая функция
- Функции Каннингема
- Экспоненциальный интеграл и связанные с ним функции, такие как синусоидальный интеграл , логарифмический интеграл.
- Полиномы Эрмита
- Неполная гамма-функция
- Полиномы Лагерра
- Функция параболического цилиндра (или функция Вебера)
- Функция Пуассона – Шарлье
- Функции Торонто
- Функции Уиттекера M κ, μ ( z ), W κ, μ ( z ) являются решениями уравнения Уиттекера, которые могут быть выражены через функции Куммера M и U следующим образом:
- Общий p -й необработанный момент ( p не обязательно целое число) может быть выражен как [4]
- Во второй формуле сечение второй ветви функции может быть выбрано умножением на (−1) p .
Применение к непрерывным дробям
Применяя ограничивающий аргумент к непрерывной дроби Гаусса, можно показать, что
и что эта цепная дробь равномерно сходится к мероморфной функции от z в любой ограниченной области, не содержащей полюса.
Заметки
- ^ Campos, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного конфлюэнтного гипергеометрического дифференциального уравнения» . Журнал вычислительной и прикладной математики . Эльзевир. 137 : 177–200. DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00706-8 .
- ^ Эндрюс, GE; Askey, R .; Рой, Р. (2001). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521789882..
- ^ Это получено из Абрамовица и Стегуна (см. Ссылку ниже), стр. 508 , где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак экспоненты в exp ( iπa ) в правой полуплоскости, но это несущественно, так как там можно пренебречь членом, иначе a - целое число и знак не имеет значения.
- ^ "Аспекты многомерной статистической теории | Wiley" . Wiley.com . Проверено 23 января 2021 .
Рекомендации
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Чистова, Е.А. (2001) [1994], "Конфлюэнтная гипергеометрическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Vol. Я . Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw – Hill Book Company, Inc. MR 0058756 .
- Куммер, Эрнст Эдуард (1837). "De Integrationibus quibusdam Definitis et seriebus infinitis" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 1837 (17): 228–242. DOI : 10,1515 / crll.1837.17.228 . ISSN 0075-4102 . S2CID 121351583 .
- Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Руководство по ремонту 0107026 .
- Трикоми, Франческо Г. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata . Серия 4 (на итальянском). 26 : 141–175. DOI : 10.1007 / bf02415375 . ISSN 0003-4622 . Руководство по ремонту 0029451 . S2CID 119860549 .
- Трикоми, Франческо Г. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (на итальянском языке). 1 . Рим: Edizioni cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. Руководство по ремонту 0076936 .
- Олдхэм, КБ; Myland, J .; Спаниер, Дж. (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа . Атлас функций. Springer Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-48807-3. Проверено 23 августа 2017 .
Внешние ссылки
- Конфлюэнтные гипергеометрические функции в цифровой библиотеке математических функций NIST
- Гипергеометрическая функция Куммера на сайте Wolfram Functions
- Гипергеометрическая функция Трикоми на сайте Wolfram Functions