Серия Винера

В математике ряд Винера или винеровское G-функциональное разложение происходит от книги Норберта Винера 1958 года . Это ортогональное разложение для нелинейных функционалов, тесно связанных с рядом Вольтерра и имеющее такое же отношение к нему, как ортогональное разложение полинома Эрмита к степенному ряду . По этой причине оно также известно как разложение Винера – Эрмита . Аналог коэффициентов называют ядрами Винера . Члены ряда ортогональны (некоррелированы) относительно статистического входа белого шума.. Это свойство позволяет идентифицировать термины в приложениях методом Ли – Шетцена .

Ряд Винера важен для идентификации нелинейных систем . В этом контексте ряд приближает функциональную связь выхода ко всей истории ввода системы в любое время. Серия Винера применялась в основном для идентификации биологических систем, особенно в нейробиологии .

Название Винеровская серия используется почти исключительно в теории систем . В математической литературе оно встречается как разложение Ито (1951), которое имеет другую форму, но полностью ему эквивалентно.

Не следует путать серию Винера с фильтром Винера , который представляет собой еще один алгоритм, разработанный Норбертом Винером и используемый при обработке сигналов.

Винеровские G-функциональные выражения

Для системы с парой вход / выход, где вход представляет собой белый шум с нулевым средним значением и мощностью A, мы можем записать выход системы как сумму ряда винеровских G-функционалов${\ Displaystyle (х (т), у (т))}$${\ Displaystyle у (п) = \ сумма _ {р} (G_ {р} х) (п)}$

Ниже будут приведены выражения G-функционалов до пятого порядка:

${\ displaystyle (G_ {0} x) (n) = k_ {0} = E \ left \ {y (n) \ right \};}$

${\ displaystyle (G_ {1} x) (n) = \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} k_ {1} (\ tau _ {1}) x ( n- \ tau _ {1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Серия Вольтерра
• Идентификация системы
• Среднее значение, вызванное скачком

использованная литература

• Винер, Норберт (1958). Нелинейные задачи теории случайностей . Wiley and MIT Press.
• Ли и Шетцен; Schetzen ‡, M. (1965). «Измерение ядер Винера нелинейной системы путем взаимной корреляции». Международный журнал контроля . Первый. 2 (3): 237–254. DOI : 10.1080 / 00207176508905543 .
• Ито К. "Кратный интеграл Винера" ​​J. Math. Soc. Япония 3 1951 157–169
• Marmarelis, PZ; Нака, К. (1972). «Анализ белого шума нейронной цепи: применение теории Винера». Наука . 175 (4027): 1276–1278. DOI : 10.1126 / science.175.4027.1276 . PMID  5061252 .
• Schetzen, Мартин (1980). Теории Вольтерра и Винера нелинейных систем . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Мармарелис, П.З. (1991). "Винеровский анализ нелинейной обратной связи". Сенсорные системы Анналы биомедицинской инженерии . 19 (4): 345–382. DOI : 10.1007 / BF02584316 .
• Franz, M; Шёлкопф, Б. (2006). «Объединяющий взгляд на теорию Винера и Вольтерра и регрессию полиномиального ядра». Нейронные вычисления . 18 (12): 3097–3118. DOI : 10.1162 / neco.2006.18.12.3097 .
• Л.А. Заде О представлении нелинейных операторов. IRE Westcon Conv. Запись pt.2 1957 105-113.