Википедия: Основы математики

Это эссе .

Он содержит советы или мнения одного или нескольких авторов Википедии. Эта страница не является статьей энциклопедии и не является одной из политик или рекомендаций Википедии , поскольку она не была тщательно проверена сообществом . Некоторые эссе представляют собой широко распространенные нормы; другие представляют только точку зрения меньшинства.

Вкратце об этой странице: статьи по основам математики требуют особых рекомендаций

По состоянию на 5 марта 2012 г. эта страница представляет собой эссе, представляющее пользователя: Размышления Инкнис Мисси о предполагаемом неблагополучии статей о математической логике в английской Википедии.

Введение [ править ]

В большинстве ситуаций допустимо неявно использовать эквивалентность или различные определения, если такая эквивалентность стала общеизвестной. Иногда существуют даже статьи в Википедии, объясняющие, почему разные определения эквивалентны. Но статья о любой фундаментальной концепции математики требует подхода, отличного от большинства других математических тем. Здесь мы должны указать, где некоторые вещи эквивалентны, почему они есть, а иногда и как они эквивалентны.

Еще одна проблема, которая существует: где есть несколько конкурирующих подходов к основанию математики. Если бы кто-то сказал что-то вроде « Освоение космоса - это не только американская космическая программа », то никто не стал бы это опровергать, даже американцы. Но, к сожалению, сегодня в en.Wikipedia необходимо очень терпеливо объяснять такие вещи, как « Материальное условное условие не может быть только взглядами классической логики на материальное условное», а затем доказывать и защищать.

Формальные теории [ править ]

Статья по формальной теории (например, теории (математической логике) ) должна объяснять как ее структуру как формальной системы, так и предполагаемую семантику . Но таких формулировок, как «эта теория доказывает, что… является математической истиной», следует избегать. Тот факт, что какое-то формальное предложение является теоремой формальной теории, можно также выразить следующим образом: «если бы <…> использовалось в качестве основы математики, то такие результаты, как (…), были бы доказаны». Обратите внимание, что соответствие между «математическими фактами» и их представлением на формальном языке может само по себе создавать проблемы, см. # Транстеоретические понятия ниже.

Утверждения, правила и метатеоремы [ править ]

Элемент формальной теории (или несколько, см. Ниже), для которого есть отдельная статья в Википедии, должен иметь явно квалифицированный статус по отношению к теории. Это может быть представлено как:

Аксиома или общеизвестная теорема , например , любая тавтология (логика) является теоремой классического исчисления высказываний. См. # Доказательства аксиом о различных наборах аксиом в эквивалентных теориях.
Основное правило вывода . Правило, которое постулируется и не требует доказательства.
Правило вывода, полученное из основных правил и, возможно, аксиом.

Этот последний случай на самом деле представляет собой метатеорему , факт о формальной системе, который может быть доказан внешними средствами, но не принадлежит самой системе. Метатеоремы нельзя путать с формально доказанными теоремами.

Одна и та же статья в Википедии вряд ли может быть квалифицирована как аксиома / теорема некоторого логического исчисления и как правило вывода (или метатеорема). По состоянию на 5 марта таких кейсов в Категории: Правила вывода несколько .

Транстеоретические представления [ править ]

Есть много математических понятий, которые изначально использовались или могут использоваться без формальных определений, но позже были включены в формальные теории. Многие из таких понятий были включены в конкурирующие, существенно разные теории. Я буду ссылаться на такие понятия , как к « транс ⁠theoretical». Яркими примерами таких явлений являются « функция » (с некоторыми противоречиями по поводу определений, например, определение логики предикатов через отношения и ∃! Неприемлемо для конструктивной математики ) и « декартово произведение » (с более общим значением в теории категорий, чем в теории множеств) .

Статьи о транстеоретических понятиях не должны сосредотачиваться на определении и использовании в конкретной теории, а должны давать общую картину.

Логические связки [ править ]

Все логические связки , за исключением стрелки Пирса и двойного удара Шеффера , по сути своей транстеоретичны. Эти статьи не могут и не должны в одностороннем порядке представлять тему с классической логической точки зрения.

В статьях о математической логике , А пропозициональная формула сам по себе , следует отличать от его производных конструкций, такие как функция истинности или, в более общем смысле , алгебраическое значение истинности . Формула, написанная на общепринятом пропозициональном языке (логические связки и пропозициональные переменные), не определяет какой-либо конкретной логической системы для ее интерпретации, поэтому такие утверждения, как « $p \to q$ логически эквивалентны $\neg p \lor q$ », не должны использоваться в логических статьях если конкретная логическая система или некоторый набор логических систем, в которых выполняется такая эквивалентность, однозначно не определяется контекстом.

Возникновение и правила вывода [ править ]

« Привлечение » и « правило вывода », безусловно, являются транстеоретическими понятиями. Некоторые конкретные правила вывода, такие как modus ponens , также транстеоретичны. Если кто-то пытается «доказать» такое правило, то необходимо указать, для какой формальной теории или метатеории верны эти рассуждения.

Теоремы [ править ]

В идеале статья о теореме должна указывать, какие теории действительно ее доказывают или какие теоремы можно использовать для этого. В некоторых случаях полезно указать, какие теории не подтверждают какой-либо важный результат. Например, теорема Хана – Банаха не может быть доказана в самом общем случае без аксиомы выбора или эквивалентных постулатов.

Доказательства [ править ]

Как упоминалось выше, для данной «теоремы» может существовать множество теорий, которые ее доказывают. Иногда эти теории упорядочены по «строгости»: все теоремы более слабой (но «более строгой») теории принадлежат какой-либо другой более сильной (но менее строгой) теории. В этом случае Википедия должна попытаться представить те доказательства более строгой теории (если они вообще есть), которые существуют в надежных источниках. Это мотивировано WP: NPOV , фундаментальной политикой Википедии. Доказательство более строгой теории будет справедливо для всех более сильных теорий (например, полученных путем добавления дополнительных аксиом или правил вывода).

Такое доказательство, как Гипотетический силлогизм # Доказательство (по состоянию на 5 марта), вряд ли будет полезным, но в корне ошибочно использует отрицание и эквивалентности, действительные только в классической логике. Эта проблема может возникнуть не только в математической логике, но и в некоторых других разделах математики, таких как алгебра. Рассмотрим личность и доказательство, полученное из : $2x^{2}+2(x+1)^{2}=(2x+1)^{2}+1$ $(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}$

2x^{2}+2(x+1)^{2}=2((x+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}})^{2}+(x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})^{2})=4((x+{\frac {1}{2}})^{2}+{\frac {1}{4}})=(2(x+{\frac {1}{2}}))^{2}+1=(2x+1)^{2}+1

Это доказательство справедливо для действительных, комплексных и рациональных чисел, но оно недействительно для любого поля характеристики 2 (нет такого числа, как ½) и неприменимо к кольцам с единицей (потому что здесь нет деления вообще), хотя личность по-прежнему сохраняется. «Универсально правильное» доказательство должно быть:

2x^{2}+2(x+1)^{2}=4x^{2}+4x+2=(4x^{2}+4x+1)+1=(2x+1)^{2}+1

С другой стороны, некоторые факты могут быть объяснены с использованием упрощенных или предвзятых парадигм вместо того, чтобы представлять истинное доказательство. Например, правдивость из пропозициональной формулы может быть объяснена с помощью таблицы истинности , и некоторых идеи логики первого порядка - с помощью представления о теории множеств .

Доказательства аксиом [ править ]

Вопреки обычному восприятию, доказательства аксиом и неупорядоченные графы доказательств не являются ересью и не являются логическими ошибками, такими как cirus vitiosus . Если в статье об "аксиоме" C 'сказано $A, B, C ⊢ C',$ а в $статье$ про C говорится $A, B, C '⊢ C$ , это означает эквивалентность {A, B, C} и {A, B , C ′}. Но совершенно необходимо явно указать, из каких предложений вытекает данное предложение.

Запутанная терминология [ править ]

Есть несколько тем, в которых установленная терминология иногда пересекается и отличается от источника к источнику. Например, ложь (логика) иногда является пропозициональной константой и значением истинности, но в других источниках термин «ложь» зарезервирован только для значения истинности «0», а соответствующая пропозициональная константа (нуль-арная связка) упоминается как « противоречие ».

В таких случаях можно разрешить шляпные пометки и указание на конкретные традиции и источники.