Z функция

В математике , то функция Z является функцией используется для изучения дзета - функции Римана вдоль критической линии , где аргумент равен половине. Она также называется функцией Римана-Зигеля Z, дзета - функция Римана-Зигеля, то Харди функции, Харди функции Z и Харди дзета - функция . Его можно определить в терминах тета-функции Римана – Зигеля и дзета-функции Римана следующим образом:

${\ displaystyle Z (t) = e ^ {i \ theta (t)} \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right).}$

Из функционального уравнения дзета-функции Римана следует, что функция Z действительна для действительных значений t . Это четная функция, аналитическая для реальных значений. Из того факта, что тета-функция Римана-Зигеля и дзета-функция Римана голоморфны в критической полосе, где мнимая часть t находится между −1/2 и 1/2, функция Z голоморфна в критическая полоса тоже. Более того, действительные нули Z ( t ) - это в точности нули дзета-функции вдоль критической линии, а комплексные нули в критической полосе Z-функции соответствуют нулям на критической линии дзета-функции Римана в ее критической полосе.

Функция Z в комплексной плоскости

${\ Displaystyle -5 <\ Re (т) <5}$	${\ Displaystyle -40 <\ Re (т) <40}$

Формула Римана – Зигеля [ править ]

Вычисление значения Z ( t ) для действительного t и, следовательно, дзета-функции вдоль критической линии значительно ускоряется формулой Римана – Зигеля . Эта формула говорит нам

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$

где член ошибки R ( t ) имеет сложное асимптотическое выражение в терминах функции

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

и его производные. Если , а затем${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}$${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$${\displaystyle p=u^{2}-N}$

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$

где многоточие указывает, что мы можем перейти к более высоким и все более сложным терминам.

Известны другие эффективные ряды для Z (t), в частности, некоторые, использующие неполную гамма-функцию . Если

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}$

то особенно хороший пример

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

Поведение функции Z [ править ]

Из теоремы о критической прямой следует , что плотность действительных нулей функции Z равна

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}}$

для некоторой постоянной c > 2/5. Следовательно, количество нулей в интервале заданного размера медленно увеличивается. Если гипотеза Римана верна, все нули в критической полосе являются действительными нулями, а константа c равна единице. Также постулируется, что все эти нули являются простыми нулями.

Теорема Омега [ править ]

Из-за нулей функции Z он демонстрирует колебательное поведение. Он также медленно растет как в среднем, так и в пиковом значении. Например, у нас есть, даже без гипотезы Римана, теорема Омеги, что

${\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),}$

где обозначение означает, что деление на функцию внутри Ω не стремится к нулю при увеличении  t .${\displaystyle Z(t)}$

Средний рост [ править ]

Средний рост Z-функции также хорошо изучен. Мы можем найти среднеквадратичное (сокращенно RMS) среднее значение из

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

или же

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

которые говорят нам, что RMS- размер Z ( t ) растет как .${\displaystyle {\sqrt {\log t}}}$

Эту оценку можно улучшить до

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}$

Если мы увеличим показатель, мы получим среднее значение , которое в большей степени зависит от пиковых значений  Z . Для четвертых степеней мы имеем

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}}$

из чего мы можем заключить, что корень четвертой степени из средней четвертой степени растет как ${\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.}$

Гипотеза Линделёфа [ править ]

Более высокие четные степени были хорошо изучены, но о соответствующем среднем значении известно меньше. Предполагается и следует из гипотезы Римана, что

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })}$

для любого положительного ε. Здесь небольшое обозначение «o» означает, что левая часть, деленная на правую, действительно сходится к нулю; другими словами, небольшое o есть отрицание Ω. Эта гипотеза называется гипотезой Линделёфа и является более слабой, чем гипотеза Римана. Обычно это выражается в важной эквивалентной форме:

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\varepsilon });}$

в любой форме это говорит нам, что скорость роста пиковых значений не может быть слишком высокой. Самый известный предел этой скорости роста не является сильным, что говорит нам о том, что подходит любой . Было бы удивительно обнаружить, что функция Z примерно так же быстро росла. Литтлвуд доказал, что согласно гипотезе Римана,${\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0.156}$

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),}$

и это кажется гораздо более вероятным.

Ссылки [ править ]

• Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Чистая и прикладная математика. 58 . Нью-Йорк-Лондон: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl  0315.10035 .
• Ивич, Александар (2013). Теория Харди Z -функции . Кембриджские трактаты по математике. 196 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl  1269.11075 .
• Париж, РБ; Камински, Д. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса . Энциклопедия математики и ее приложений. 85 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79001-8. Zbl  0983.41019 .
• Рамачандра, К. (февраль 1996 г.). Лекции о среднем значении и омега-теоремах для дзета-функции Римана . Лекции по математике и физике. Математика. Институт фундаментальных исследований Тата. 85 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58437-4. Zbl  0845.11003 .
• Титчмарш, EC (1986) [1951]. Хит-Браун, доктор наук (ред.). Теория дзета-функции Римана (второе исправленное издание). Издательство Оксфордского университета .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Функции Римана – Зигеля" . MathWorld .
• Wolfram Research - функция Римана-Зигеля Z (включает построение и оценку функций)