Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , А геометрия Зарискому состоит из абстрактной структуры , введенной Эхуд Храшовски и Б. Зильбера , для того , чтобы дать характеристику топологии Зарисского на алгебраической кривой , и всех его полномочий. Топология Зарисского на произведении алгебраических многообразий очень редко является топологией произведения , но более богата замкнутыми наборами, определяемыми уравнениями, которые смешивают два набора переменных. Описанный результат придает этому очень определенный смысл, в частности , применительно к проективным кривым и компактным римановым поверхностям .

Определение [ править ]

Зариская геометрия состоит из множества X и топологической структуры на каждом из множеств

X , X 2 , X 3 ,…

удовлетворяющие определенным аксиомам.

(N) Каждое из X n является нётеровым топологическим пространством размерности не выше n .

Теперь будет принята некоторая стандартная терминология для нётеровых пространств.

(A) В каждом X n подмножества, определенные равенством в n - кортеже , замкнуты. Отображения

X m → X n

определяется путем проецирования определенных координат и установки других как постоянных, все являются непрерывными.

(B) Для проекции

p : X m → X n

и неприводимое замкнутое подмножество Y из X м , р ( Y ) лежит между ее закрывающим Z и Z \ Z ' , где Z ' обозначает собственное замкнутое подмножество Z . (Это исключение квантора на абстрактном уровне.)

(C) X неприводимо.

(D) Существует равномерное ограничение на число элементов волокна в проекции любого замкнутого множества в X м , за исключением тех случаев , когда волокно Х .

(E) Замкнутое неприводимое подмножество X m размерности r при пересечении с диагональным подмножеством, в котором s координаты равны, имеет все компоненты размерности не менее r - s + 1.

Требуемое дополнительное условие называется очень обильным (ср. Очень обильным линейным пучком ). Предполагается, что существует неприводимое замкнутое подмножество P некоторого X m и неприводимое замкнутое подмножество Q в P × X ² со следующими свойствами:

(I) Для заданных пар ( x , y ), ( x ′, y ′) в X ² для некоторого t в P набор ( t , u , v ) в Q включает ( t , x , y ), но не ( t , x ′, y ′)

(J) Для т вне собственного замкнутого подмножества Р , множество ( х , у ) в X ², ( т , х , у ) в Q является неприводимым замкнутое множество размерности 1.

(K) Для всех пар ( x , y ), ( x ′, y ′) в X ², выбранных вне собственного замкнутого подмножества, существует некоторое t в P такое, что множество ( t , u , v ) в Q включает ( t , x , y ) и ( t , x ′, y ′).

С геометрической точки зрения это говорит о том, что кривых достаточно, чтобы разделить точки (I) и соединить точки (K); и что такие кривые могут быть взяты из одного параметрического семейства .

Затем Хрушовский и Зильбер доказывают, что при этих условиях существуют алгебраически замкнутое поле K и неособая алгебраическая кривая C , такие, что ее геометрия степеней Зарисского и их топология Зарисского изоморфны данной. Короче говоря, геометрию можно алгебраизировать.

Ссылки [ править ]