Дзета-распределение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Zeta distribution»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Зета

Вероятностная функция масс График ВМП Зета в логарифмическом масштабе. (Функция определяется только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle s \ in (1, \ infty)}$
Поддерживать	${\ Displaystyle к \ в \ {1,2, \ ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2}$
Режим	${\displaystyle 1\,}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3}$
Энтропия	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}$

В теории вероятностей и статистике , то дзета распределение является дискретным распределением вероятностей . Если X является случайной величиной с дзета-распределением с параметром s , то вероятность того, что X принимает целочисленное значение k , определяется функцией массы вероятности

${\displaystyle f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,}$

где ζ ( s ) - дзета-функция Римана (которая не определена при s = 1).

Кратности различных простых множителей из X являются независимыми случайными величинами .

Дзета - функция Римана является суммой всех членов для положительного целого числа к , по- видимому , таким образом , как нормализация распределения Ципфа . Термины «Zipf-распределение» и «дзета-распределение» часто используются как синонимы. Но обратите внимание, что хотя дзета-распределение само по себе является вероятностным распределением , оно не связано с законом Ципфа с таким же показателем степени. См. Также распределение Юла – Саймона.${\displaystyle k^{-s}}$

Определение [ править ]

Дзета-распределение определено для положительных целых чисел , а его функция массы вероятности дается выражением${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s}}$,

где - параметр, а - дзета-функция Римана .${\displaystyle s>1}$${\displaystyle \zeta (s)}$

Кумулятивная функция распределения определяется выражением

${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},}$

где - обобщенный номер гармоники${\displaystyle H_{k,s}}$

${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$

Моменты [ править ]

П - й сырой момент определяется как ожидаемое значение X ^п :

${\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}}$

Ряд справа - это просто последовательное представление дзета-функции Римана, но оно сходится только для значений , превышающих единицу. Таким образом:${\displaystyle s-n}$

${\displaystyle m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {for}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {for}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.}$

Обратите внимание на то, что соотношение дзета-функций хорошо определено даже для n  >  s  - 1, потому что последовательное представление дзета-функции может быть продолжено аналитически . Это не меняет того факта, что моменты задаются самим рядом и поэтому не определены для больших n .

Функция создания моментов [ править ]

Функция, производящая момент , определяется как

${\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}$

Ряд - это просто определение полилогарифма , действительное для того, чтобы${\displaystyle e^{t}<1}$

${\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.}$

Ряд Тейлора расширение этой функции не обязательно дают моменты распределения. Ряд Тейлора с использованием моментов, которые обычно встречаются в производящей функции момента, дает

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}},}$

который, очевидно, не определен правильно для любого конечного значения s, поскольку моменты становятся бесконечными при больших n . Если мы используем аналитически продолженные члены вместо самих моментов, мы получим из ряда представления полилогарифма

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{n=0,n\neq s-1}^{\infty }{\frac {\zeta (s-n)}{n!}}\,t^{n}={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})-\Phi (s,t)}{\zeta (s)}}}$

для . дан кем-то${\displaystyle \scriptstyle |t|\,<\,2\pi }$${\displaystyle \scriptstyle \Phi (s,t)}$

${\displaystyle \Phi (s,t)=\Gamma (1-s)(-t)^{s-1}{\text{ for }}s\neq 1,2,3\ldots }$

${\displaystyle \Phi (s,t)={\frac {t^{s-1}}{(s-1)!}}\left[H_{s}-\ln(-t)\right]{\text{ for }}s=2,3,4\ldots }$

${\displaystyle \Phi (s,t)=-\ln(-t){\text{ for }}s=1,\,}$

где H _s - номер гармоники .

Случай s = 1 [ править ]

ζ (1) бесконечен как гармонический ряд , поэтому случай s = 1 не имеет смысла. Однако, если A - любой набор положительных целых чисел, который имеет плотность, т. Е. Если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}$

существует, где N ( A ,  n ) - количество членов A, меньшее или равное n , тогда

${\displaystyle \lim _{s\to 1^{+}}P(X\in A)\,}$

равна этой плотности.

Последний предел также может существовать в некоторых случаях, когда A не имеет плотности. Например, если A - это набор всех положительных целых чисел, первая цифра которых равна d , то A не имеет плотности, но, тем не менее, второй предел, указанный выше, существует и пропорционален

${\displaystyle \log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right),\,}$

что является законом Бенфорда .

Бесконечная делимость [ править ]

Дзета-распределение может быть построено с помощью последовательности независимых случайных величин с геометрическим распределением . Позвольте быть простым числом и быть случайной величиной с геометрическим распределением параметра , а именно${\displaystyle p}$${\displaystyle X(p^{-s})}$${\displaystyle p^{-s}}$

${\displaystyle \quad \quad \quad \mathbb {P} \left(X(p^{-s})=k\right)=p^{-ks}(1-p^{-s})}$

Если случайные величины независимы, то случайная величина, определяемая формулой${\displaystyle (X(p^{-s}))_{p\in {\mathcal {P}}}}$${\displaystyle Z_{s}}$

${\displaystyle \quad \quad \quad Z_{s}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{X(p^{-s})}}$

имеет распределение Zeta: .${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{s}=n\right)={\frac {1}{n^{s}\zeta (s)}}}$

Иначе говоря , случайная величина является бесконечно делимым с Lévy меры задается следующей суммой Дирак масс  :${\displaystyle \log(Z_{s})=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}X(p^{-s})\,\log(p)}$

${\displaystyle \quad \quad \quad \Pi _{s}(dx)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\geqslant 1}{\frac {p^{-ks}}{k}}\delta _{k\log(p)}(dx)}$

См. Также [ править ]

Прочие степенные распределения

• Распределение Коши
• Распределение Леви
• Альфа-стабильное распределение Леви
• Распределение Парето
• Закон Ципфа
• Закон Ципфа – Мандельброта
• Бесконечно делимое распределение

Внешние ссылки [ править ]

• Gut, Аллан. «Некоторые замечания о дзета-распределении Римана». CiteSeerX  10.1.1.66.3284 . Cite journal requires |journal= (help) Что Gut называет «Римана распределение дзета» на самом деле распределение вероятностей -log  X , где X представляет собой случайную величину с тем, что эта статья вызывает дзета распределение.
• Вайсштейн, Эрик В. "Zipf Distribution" . MathWorld .