Абсолютная непрерывность

---

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Функция ${\displaystyle f\left(x\right)}$ называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)}$ области определения функции ${\displaystyle f}$, который удовлетворяет условию${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta }$, выполнено неравенство${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon }$^[1].

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

---