Идеал (алгебра)

---

Идеал для ${\displaystyle R}$ — подмножество ${\displaystyle I\subset R}$, замкнутое относительно умножения на элементы из ${\displaystyle R.}$

Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером^[1]. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.

В некотором важном классе колец (т. н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.

Примером идеала может служить множество целых чисел, которые делятся на 6: ${\displaystyle \{\dots ,-12,-6,0,6,12,18,24\dots \}}$, если рассматривать их в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Это множество является идеалом потому, что и сумма любых двух таких чисел, и произведение любого из них на любое целое число сами входят в это множество. При этом то же самое множество не будет идеалом в кольце ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел, так как результат умножения какого-либо из этих чисел на произвольное вещественное число в общем случае не входит в это множество.

Для кольца ${\displaystyle R}$ идеалом называется подмножество ${\displaystyle I\subset R}$, замкнутое относительно умножения на элементы из ${\displaystyle R}$. Единственный идеал, содержащий ${\displaystyle 1_{R}}$ (следовательно являющийся подкольцом), это само кольцо ${\displaystyle R.}$

---