Алгебраическое числовое поле

Алгебраическое числовое поле, поле алгебраических чисел^[1] (или просто числовое поле) — это конечное (а следовательно — алгебраическое) расширение поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ . Таким образом, числовое поле — это поле, содержащее $\mathbb {Q}$ и являющееся конечномерным векторным пространством над ним. При этом некоторые авторы называют числовым полем любое подполе комплексных чисел — например, М. М. Постников в «Теории Галуа».

Числовые поля и, более общо, алгебраические расширения поля рациональных чисел являются основным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля $\mathbb {Q}$ , любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого унитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы $\mathbb {Q}$ — это обычные целые числа.

Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел — снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля $K$ , называемое кольцом целых поля $K$ и обозначаемое ${\mathcal {O}}_{K}$ . Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно; поле частных кольца ${\mathcal {O}}_{K}$ — это само поле $K$ . Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто, нётерово и одномерно. Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда.