Комплексный логарифм

---

Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для вещественных, то есть как обращение показательной функции. На практике используется практически только натуральный комплексный логарифм, основание которого — число Эйлера ${\displaystyle e}$: он обозначается обычно ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$.

Натуральный логарифм комплексного числа ${\displaystyle z}$ определяется^[1] как решение ${\displaystyle w}$ уравнения ${\displaystyle e^{w}=z.}$

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ${\displaystyle e^{\pi i}=-1}$; однако также ${\displaystyle e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1}$. Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом ${\displaystyle 2\pi }$)^[2], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция ${\displaystyle w=\mathrm {Ln} \,z}$ является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое ${\displaystyle z}$ можно представить в показательной форме:

Тогда ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ находится по формуле^[3]:

---