Конгруэнция

---

Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), согласующееся с алгебраическими операциями, определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество, чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.

Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел. При заданном натуральном n (называемом модулем) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n, если разность a – b делится на n или, что равносильно, a и b дают при делении на n равные остатки. Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности, и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a₁ ≡ b₁ (mod n) и a₂ ≡ b₂ (mod n), то a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n) и a₁ · a₂ ≡ b₁ · b₂ (mod n) для любых целых a₁ , a₂ , b₁ , b₂. Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику: [a]_n + [b]_n = [a + b]_n , [a]_n · [b]_n = [a · b]_n ([x]_n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, порождающая фактор-кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} {\mathord {/}}n\mathbb {Z} }$ — конечное кольцо вычетов по модулю n, — на котором выполняются операции модульной арифметики.

---