Неассоциативное кольцо

---

Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Неассоциативное кольцо — множество ${\displaystyle R}$, на котором заданы две бинарные операции: ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \times }$ (называемые сложением и умножением), со следующими свойствами, выполняющимися для любых ${\displaystyle a,b,c\in R}$:

Иными словами, неассоциативное кольцо — это универсальная алгебра ${\displaystyle \langle R,+,\times ,0\rangle }$, такая что алгебра ${\displaystyle \langle R,+\rangle }$ — абелева группа, и операция ${\displaystyle \times }$ дистрибутивна слева и справа относительно ${\displaystyle +}$.

Кольцо, в котором операция умножения обладает свойством альтернативности, называется альтернативным.

Даже если кольцо имеет единицу, не работает привычное понятие обратимого элемента: обратный может существовать с одной стороны и отсутствовать с другой, могут существовать с обеих сторон но быть разными, или существовать различные односторонние обратные к одному элементу. Также, наличие каких-либо обратных не гарантирует, что элемент не делит нуль, и не сохраняется при перемножении.

Аналогично обычным кольцам, неассоциативное кольцо можно рассмотреть как неассоциативную алгебру над кольцом целых чисел.

---