Операторы рождения и уничтожения

---

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем^[1]. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц^[2]. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком^[3].

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов^[4].

Пусть ${\displaystyle H}$ — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством ${\displaystyle H}$ называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами ${\displaystyle a(f)}$, где ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle H}$, с учётом соотношений:

---