Преобразование Меллина

---

Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина^[англ.].

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.

В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ любая фундаментальная полоса включает в себя ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$. В связи с этим возможно задать линейный оператор ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ как:

Обычно этот оператор обозначается ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$.

Это объясняет коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

---