Теоремы об изоморфизме

---

Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала Эмми Нётер.

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ G\to H}$ — гомоморфизм групп, тогда:

В частности, если гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ сюръективен (то есть является эпиморфизмом), то группа ${\displaystyle H}$ изоморфна факторгруппе ${\displaystyle G/\ker \varphi }$.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle S}$ — подгруппа в ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$, тогда:

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ — нормальные подгруппы в ${\displaystyle G}$ такие, что ${\displaystyle K\subseteq N}$, тогда:

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ R\to S}$ гомоморфизм колец, тогда:

---