Теория кос
Исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, алгебраической топологии, гиперболической геометрии, динамики, теории представлений, а сама теория кос проникает в теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую геометрию, теорию гомотопий, статистическую механику и криптографию.
Косы впервые рассматривались Карлом Фридрихом Гауссом. В одном из его черновиков, написанном в период между 1815 и 1830 годами, Гаусс предложил разбиение кос на элементарные составляющие и наметил определение нетривиального инварианта кос, вдохновлённого недавно введёнными им гауссовыми целыми числами[1].
На значимость кос также обратил внимание Адольф Гурвиц в своей работе 1891 года[2], посвящённой разветвлённым накрытиям[англ.] поверхностей и явлению монодромии. Он изучал поведение нулей многочлена одной комплексной переменной при непрерывном изменении его коэффициентов. Иными словами, Гурвиц неявно рассматривал косы в терминах конфигурационных пространств.
Следующее проявление математики кос произошло в теории узлов. В 1897 году на первом Международном математическом конгрессе в Цюрихе Генрих Карл Брунн представил доказательство того, что произвольный узел может быть приведён к виду замкнутой косы[3][4]. В литературе данное утверждение известно как теорема Александера[англ.], в честь Джеймса Уэдделла Александера, доказавшего его в 1923 году[5] и, по-видимому, не знавшего о работе Брунна.
В явном виде косы были введены Эмилем Артином. В своей работе 1925 года[6], возникшей в результате сотрудничества с Отто Шрайером[7], он рассмотрел их с наглядной, геометрической точки зрения и обратил внимание на то, что косы с нитями образуют группу, которую он назвал группой кос и обозначил символом Артин задал её образующими и соотношениями, которые по своей природе схожи с движениями Рейдемейстера, но ненадолго опережают их появление в литературе. Также он предложил решение задачи равенства[англ.] для группы кос, которое основано на её представлении в группу автоморфизмов свободной группы, а точнее, естественном действии групп кос на фундаментальной группе проколотого диска, и тем самым положил начало алгоритмическому направлению в теории кос. В 1947 году он опубликовал в Annals of Mathematics статью с полными доказательствами[8], в которой с помощью более действенных методов исследовал косы тщательнее, алгебраически. В ней он отозвался о своей первой работе следующим образом:
