Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна .
Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов . В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат , распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T2-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.
Пусть — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для всех из одновременно выполнено условие [1].
Если непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.
Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.
Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на ограниченной функции и четной положительной функции со сходящимся интегралом