Условие синусов Абба является условием , которое должно быть выполнено с помощью линзы или другой оптической системы для того , чтобы произвести четкие изображения отклонения от оси, а также по оси объекта. Он был сформулирован Эрнстом Аббе в контексте микроскопов . [1]
Условие синуса Аббе говорит, что
синус угла объекта-пространства должен быть пропорционален синусу угла изображения
Кроме того, это соотношение равно увеличению системы. Математически это:
где переменные - углы (относительно оптической оси) любых двух лучей, покидающих объект, и - углы тех же лучей, под которыми они достигают плоскости изображения (скажем, плоскости пленки камеры). Например, (может представлять параксиальный луч (т.е. луч, почти параллельный оптической оси), иможет представлять крайний луч (т.е. луч с наибольшим углом, допускаемым апертурой системы). Считается, что система оптического изображения, для которой это верно для всех лучей, подчиняется условию синуса Аббе.
Увеличение и условие синуса Аббе
Используя рамки оптики Фурье , мы можем легко объяснить значение синусоидального условия Аббе. Скажем, объект в объектной плоскости оптической системы имеет функцию пропускания в форме T ( x o , y o ). Мы можем выразить эту функцию пропускания через ее преобразование Фурье как
Теперь предположим для простоты, что система не имеет искажения изображения , так что координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта через соотношение
где М представляет собой систему увеличения . Приведенный выше коэффициент пропускания плоскости объекта теперь можно переписать в слегка измененной форме:
где различные члены были просто умножены и разделены в экспоненте на M , увеличение системы. Теперь уравнения могут быть заменены приведенными выше уравнениями для координат плоскости изображения в терминах координат плоскости объекта, чтобы получить,
В этот момент еще одна преобразование координат может быть предложено ( я . Е ., Аббе условие синусов) , относящийся к плоскости объекта волнового числа спектра к спектру плоскости изображения волновом как
чтобы получить окончательное уравнение для поля плоскости изображения в терминах координат плоскости изображения и волновых чисел плоскости изображения как:
Из оптики Фурье известно, что волновые числа можно выразить в сферической системе координат как
Если рассматривать спектральную составляющую, для которой , то преобразование координат между волновыми числами плоскости объекта и изображения принимает вид
Это еще один способ записать условие синуса Аббе, которое просто отражает классический принцип неопределенности для пар преобразования Фурье, а именно, что по мере того, как пространственная протяженность любой функции расширяется (на коэффициент увеличения M ), спектральная протяженность сокращается на ту же фактор, M , так что произведение ширины полосы частот остается постоянным.
Смотрите также
- Инвариант Лагранжа
- Инвариант Смита-Гельмгольца
- Состояние Гершеля
Рекомендации
- ↑ Аббе, Эрнст (июнь 1881 г.). «Об оценке апертуры микроскопа» . Журнал Королевского микроскопического общества . 1 (3): 388–423. DOI : 10.1111 / j.1365-2818.1881.tb05909.x .