Абрахам де Муавр

Абрахам де Муавр
Абрахам де Муавр
Рожденный	( 1667-05-26 )26 мая 1667 г. Витри-ле-Франсуа , Королевство Франция
Умер	27 ноября 1754 г. (1754-11-27)(87 лет) Лондон , Англия
Национальность	французкий язык
Альма-матер	Academy of Saumur Collège d'Harcourt [ fr ]
Известен	Формула Де Муавра Теорема Муавра – Лапласа
Научная карьера
Поля	Математика
Влияния	Исаак Ньютон

Муавр ( французское произношение: [abʁaam də mwavʁ] ; 26 мая 1667 - 27 ноября 1754) был французский математик известен формуле де Муавра , формула , которая связывает комплексные числа и тригонометрии , а также за его работу по нормальному распределению и теория вероятностей .

Он переехал в Англию в молодом возрасте из-за религиозных преследований гугенотов во Франции, которые начались в 1685 году. ^[1] Он был другом Исаака Ньютона , Эдмонда Галлея и Джеймса Стирлинга . Среди своих товарищей по изгнанию гугенотов в Англии он был коллегой редактора и переводчика Пьера де Мезо .

Муавр написал книгу по теории вероятностей , Доктрине Возможностей , сказал, что ценится аферистами. Де Муавр первым открыл формулу Бине , выражение в замкнутой форме для чисел Фибоначчи, связывающее n- ю степень золотого сечения φ с n- м числом Фибоначчи. Он также был первым, кто постулировал центральную предельную теорему , краеугольный камень теории вероятностей.

Жизнь [ править ]

Доктрина шансов , 1761 г.

Ранние годы [ править ]

Авраам де Муавр родился в Витри-ле-Франсуа в Шампани 26 мая 1667 года. Его отец, Даниэль де Муавр, был хирургом, который верил в ценность образования. Хотя родители Абрахама де Муавра были протестантами, он сначала посещал католическую школу христианских братьев в Витри, которая была необычайно терпимой, учитывая религиозную напряженность во Франции в то время. Когда ему было одиннадцать, родители отправили его в Протестантскую академию в Седане , где он четыре года изучал греческий язык под руководством Жака дю Ронделя. Протестантская академия Седана была основана в 1579 году по инициативе Франсуазы де Бурбон, вдовы Анри-Робера де ла Марка.

В 1682 году протестантская академия в Седане была запрещена, и де Муавр поступил на два года изучать логику в Сомюр . Хотя математика не была частью его курсовой работы, Муавра прочитал несколько работ по математике , по его собственному , включая ЭЛЕМЕНТЫ де Mathématiques священником французского Oratorian и математик Жан Prestet и короткий трактат по азартным играм, De Ratiociniis в Людо Aleae , по Христиан Гюйгенс - голландский физик, математик, астроном и изобретатель. В 1684 году де Муавр переехал в Париж, чтобы изучать физику, и впервые получил формальное математическое образование с частными уроками от Жака Озанама .

25 ноября 2017 года доктор Конор Магуайр под патронатом Французской национальной комиссии ЮНЕСКО организовал в Сомюре коллоквиум , посвященный 350-летию со дня рождения Абрахама де Муавра и того факта, что он проучился два года Академия Сомюра . Коллоквиум назывался Abraham de Moivre: le Mathématicien, sa vie et son œuvre и освещал важный вклад Де Муавра в развитие комплексных чисел, см . Формулу Де Муавра и теорию вероятностей, см. Теорему Де Муавра – Лапласа.. Коллоквиум проследил жизнь Де Муавра и его изгнание в Лондоне, где он стал очень уважаемым другом Исаака Ньютона. Тем не менее, он жил на скромные средства, которые он частично зарабатывал на своих сессиях, консультируя игроков в кофейне Old Slaughter's относительно вероятностей, связанных с их усилиями! 27 ноября 2016 года профессор Кристиан Дженест из Университета Макгилла (Монреаль) отметил 262-ю годовщину смерти Авраама де Муавра коллоквиумом в Лиможе под названием Abraham de Moivre: Génie en exil, на котором обсуждалось знаменитое приближение де Муавра к биномиальному закону, которое вдохновил центральную предельную теорему.

Религиозные преследования во Франции стали серьезными, когда король Людовик XIV издал Фонтенбло в 1685 году, отменив Нантский эдикт , дававший значительные права французским протестантам. Он запрещал протестантское богослужение и требовал, чтобы всех детей крестили католические священники. Де Муавра отправили в Prieuré Saint-Martin-des-Champs, школу, куда власти отправляли протестантских детей для воспитания в католицизме.

Неясно, когда де Муавр покинул Приор де Сен-Мартен и переехал в Англию, поскольку записи Приор де Сен-Мартен указывают на то, что он покинул школу в 1688 году, но де Муавр и его брат представились гугенотами, допущенными к Савойская церковь в Лондоне 28 августа 1687 года.

Средние годы [ править ]

К тому времени, как он прибыл в Лондон, де Муавр был компетентным математиком, хорошо знавшим многие стандартные тексты. ^[1] Чтобы заработать на жизнь, де Муавр стал частным репетитором математики , навещая своих учеников или преподавая в кофейнях Лондона. Де Муавр продолжил изучение математики после посещения графа Девоншира и просмотра недавней книги Ньютона « Principia Mathematica».. Просматривая книгу, он понял, что она намного глубже, чем книги, которые он изучал ранее, и решил прочитать и понять ее. Однако, поскольку ему приходилось совершать длительные прогулки по Лондону, чтобы путешествовать между своими учениками, у де Муавра было мало времени на учебу, поэтому он вырывал страницы из книги и носил их в кармане, чтобы читать между уроками.

Согласно, возможно, апокрифической истории, Ньютон в последние годы своей жизни отсылал людей, задающих ему математические вопросы, к де Муавру, говоря: «Он знает все эти вещи лучше меня». ^[2]

К 1692 году де Муавр подружился с Эдмоном Галлеем, а вскоре и с самим Исааком Ньютоном . В 1695 году Галлей сообщаться де первой математики бумаги Муавра, возникшее из его изучения течениях в Principia Mathematica , в Королевском обществе . Эта статья была опубликована в журнале Philosophical Transactions в том же году. Вскоре после публикации этой статьи де Муавр также обобщил замечательную биномиальную теорему Ньютона в полиномиальную теорему . Королевское общество стало информироваться этого метода в 1697 году, и он сделал де Муавра члена через два месяца.

После того, как де Муавр был принят, Галлей призвал его обратить свое внимание на астрономию. В 1705 году де Муавр интуитивно обнаружил, что «центростремительная сила любой планеты напрямую связана с ее расстоянием от центра сил и обратно пропорциональна произведению диаметра эволюции и куба перпендикуляра на касательной. . " Другими словами, если планета M движется по эллиптической орбите вокруг фокуса F и имеет точку P, где PM касается кривой, а FPM - прямой угол, так что FP является перпендикуляром к касательной, тогда центростремительная сила в точке P пропорционально FM / (R * (FP) ³ ), где R - радиус кривизны в точке M. Математик Иоганн Бернулли доказал эту формулу в 1710 году.

Несмотря на эти успехи, де Муавр не смог добиться назначения на кафедру математики в каком-либо университете, что освободило бы его от зависимости от трудоемкого обучения, которое обременяло его больше, чем большинство других математиков того времени. По крайней мере, отчасти причина заключалась в предубеждении против его французского происхождения. ^[3]^[4]^[5]

В ноябре 1697 года он был избран членом Королевского общества ^[6], а в 1712 году был назначен в комиссию, созданную обществом вместе с М.М. Арбетнота, Хилла, Галлея, Джонса, Мачина, Бернета, Робартса, Бонета, Астона и Тейлора, чтобы рассмотреть утверждения Ньютона и Лейбница относительно того, кто открыл исчисление. Полную информацию об этом противоречии можно найти в статье, посвященной разногласиям по исчислению Лейбница и Ньютона .

На протяжении всей жизни де Муавр оставался бедным. Сообщается, что он был постоянным клиентом старой кофейни Slaughter's , St. Martin's Lane на Cranbourn Street, где он немного заработал, играя в шахматы.

Спустя годы [ править ]

Де Муавр продолжал изучать области вероятности и математики до своей смерти в 1754 году, и после его смерти было опубликовано несколько дополнительных статей. По мере взросления он становился все более вялым, и ему требовалось больше времени на сон. Обычным, хотя спорно, ^[7] утверждают, что он отметил , что он спит дополнительные 15 минут каждую ночь , и правильно рассчитали дату его смерти , как день , когда время сна достиг 24 часов, 27 ноября 1754 года ^[8] На В тот день он действительно умер в Лондоне, а его тело было похоронено в Сен-Мартен-ин-Зе-Филдс , хотя позже его тело было перемещено.

Вероятность [ править ]

Де Муавр был пионером в развитии аналитической геометрии и теории вероятностей, расширив работы своих предшественников, в частности, Христиана Гюйгенса и нескольких членов семьи Бернулли. Он также выпустил второй учебник по теории вероятностей, «Доктрина шансов: метод вычисления вероятностей событий в игре» . (Первая книга об азартных играх, Liber de ludo aleae ( О бросании кости ), была написана Джироламо Карданов 1560-х годах, но она не была опубликована до 1663 года.) Эта книга вышла в четырех изданиях: в 1711 году на латыни и на английском языке в 1718, 1738 и 1756 годах. В более поздние издания своей книги де Муавр включил свой неопубликованный результат из 1733, что является первым утверждением приближения к биномиальному распределению в терминах того, что мы теперь называем нормальной или гауссовой функцией . ^[9] Это был первый метод определения вероятности возникновения ошибки заданного размера, когда эта ошибка выражается в единицах изменчивости распределения, и первая идентификация вычисления вероятной ошибки . Кроме того, он применил эти теории к проблемам азартных игр и актуарным таблицам .

Обычно для вероятности встречается выражение n! но до дней калькуляторов вычисляющих! для большого n было трудоемким. В 1733 году де Муавр предложил формулу для оценки факториала как n ! = cn ^{(n + 1/2)} e ⁻ⁿ . Он получил приближенное выражение для константы c, но именно Джеймс Стирлинг обнаружил, что c равно √ 2 π . ^[10]

Де Муавр также опубликовал статью под названием «Рента на жизни», в которой показал нормальное распределение уровня смертности по возрасту человека. Исходя из этого, он вывел простую формулу для аппроксимации дохода, получаемого от ежегодных выплат, в зависимости от возраста человека. Это похоже на типы формул, используемых сегодня страховыми компаниями.

Приоритет относительно распределения Пуассона [ править ]

Некоторые результаты о распределении Пуассона были впервые представлены де Муавром в De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus в философских трудах Королевского общества, с. 219. ^[11] В результате некоторые авторы утверждали, что распределение Пуассона должно носить имя де Муавра. ^[12]^[13]

Формула Де Муавра [ править ]

В 1707 году де Муавр вывел уравнение, из которого можно вывести:

{\ displaystyle \ cos x = {\ tfrac {1} {2}} (\ cos (nx) + i \ sin (nx)) ^ {1 / n} + {\ tfrac {1} {2}} (\ cos (nx) -i \ sin (nx)) ^ {1 / n}}

которое он смог доказать для всех натуральных чисел n . ^[14]^[15] В 1722 году он представил уравнения, из которых можно вывести более известную форму формулы де Муавра :

{\ Displaystyle (\ соз х + я \ грех х) ^ {п} = \ соз (пх) + я \ грех (пх). \,}

^[16]^[17]

В 1749 году Эйлер доказал эту формулу для любого действительного n, используя формулу Эйлера , что делает доказательство довольно простым. ^[18] Эта формула важна, потому что она связывает комплексные числа и тригонометрию . Кроме того, эта формула позволяет получить полезные выражения для cos ( nx ) и sin ( nx ) в терминах cos ( x ) и sin ( x ).

Приближение Стирлинга [ править ]

Де Муавр изучал вероятность, и его исследования требовали от него вычисления биномиальных коэффициентов, что, в свою очередь, требовало от него вычисления факториалов. ^[19]^[20] В 1730 году де Муавр опубликовал свою книгу « Аналитическое собрание рядов и интегралов», в которую вошли таблицы логарифма ( n !). ^[21] Для больших значений n де Муавр аппроксимировал коэффициенты членов биномиального разложения. В частности, учитывая положительное целое число n , где n четное и большое, тогда коэффициент среднего члена (1 + 1) ⁿ аппроксимируется уравнением: ^[22]^[23]

{\ displaystyle {n \ choose n / 2} = {\ frac {n!} {(({\ frac {n} {2}})!) ^ {2}}} \ приблизительно {2 ^ {n}} {\ frac {{2} {\ frac {21} {125}} {(n-1)} ^ {n - {\ frac {1} {2}}}} {{n} ^ {n}}} }

19 июня 1729 года Джеймс Стирлинг отправил де Муавру письмо, в котором проиллюстрировал, как он вычисляет коэффициент среднего члена биномиального разложения (a + b) ⁿ для больших значений n. ^[24]^[25] В 1730 году Стирлинг опубликовал свою книгу Methodus Differentialis [Дифференциальный метод], в которую он включил свою серию для log ( n !): ^[26]

{\ displaystyle \ log _ {10} (n + {\ frac {1} {2}})! \ приблизительно \ log _ {10} {\ sqrt {2 \ pi}} + n \ log _ {10} n- {\ frac {n} {\ ln 10}}}

,

так что для больших , . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n! \ приблизительно {\ sqrt {2 \ pi}} ({\ frac {n} {e}}) ^ {n}}$

12 ноября 1733 года де Муавр в частном порядке опубликовал и распространил брошюру - Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) ⁿ in Seriem expansi [Приближение суммы членов бинома (a + b) ^n, развернутое в серию ] - в котором он признал письмо Стирлинга и предложил альтернативное выражение для центрального члена биномиального разложения. ^[27]

Заметки [ править ]

^ а б О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Абрахам де Муавр" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
^ Беллхаус, Дэвид Р. (2011). Абрахам Де Муавр: Подготовка основы для классической вероятности и ее приложений . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 99. ISBN 978-1-56881-349-3.
^ Кафлин, Раймонд Ф .; Цитарелли, Дэвид Э. (1984). Восхождение математики . Макгроу-Хилл. п. 437. ISBN. 0-07-013215-1. К сожалению, поскольку он не был британцем, Де Муавр так и не смог получить должность преподавателя в университете.
^ Юнгникель, Криста ; МакКорммах, Рассел (1996). Кавендиш . Воспоминания Американского философского общества. 220 . Американское философское общество. п. 52. ISBN 9780871692207. Имея хорошие связи в математических кругах и высоко ценимый за свою работу, он все еще не мог получить хорошую работу. Даже его обращение в англиканскую церковь в 1705 году не могло изменить того факта, что он был инопланетянином.
^ Тантон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики . Публикация информационной базы. п. 122. ISBN 9780816051243. Он надеялся получить место на математическом факультете, но, как иностранцу, такого назначения ему не предложили.
^ "Библиотека и архивный каталог" . Королевское общество . Проверено 3 октября 2010 года .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ "Биографические данные - действительно ли Абрахам де Муавр предсказывал свою смерть?" .
^ Cajori, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Американское математическое общество . п. 229. ISBN 9780821821022.
^
См .:
- Абрахам Де Муавр (12 ноября 1733 г.) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b) ⁿ in seriem expansi" (брошюра, опубликованная самостоятельно), 7 страниц.
- Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243 .
^ Пирсон, Карл (1924). «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок». Биометрика . 16 (3–4): 402–404. DOI : 10.1093 / Biomet / 16.3-4.402 .
^ Джонсон, Н.Л., Коц, С., Кемп, А.В. (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-54897-9 , p157
^ Стиглер, Стивен М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные письма . 1 : 33–35. DOI : 10.1016 / 0167-7152 (82) 90010-4 .
^ Халд, Андерс; де Муавр, Авраам; МакКлинток, Брюс (1984). «А. де Муавр:« De Mensura Sortis »или« Об измерении вероятности » ». Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045 .
^ Moivre, Ab. де (1707). «Aequationum Quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica» [Из некоторых уравнений третьего, пятого, седьмого, девятого, и высшая степень, вплоть до бесконечности, в конечном итоге в форме правил для кубиков, которые Кардано называет разрешением путем анализа.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 25 (309): 2368–2371. DOI : 10,1098 / rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 . Архивировано из оригинального 26 октября 2019
. Проверено 8 июня 2020 .
- Английский перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа (2009)
На стр. 2370 де Муавр заявил, что если ряд имеет форму , где n - любое заданное нечетное целое число (положительное или отрицательное) и где y и a могут быть функциями, то после решения относительно y результатом будет уравнение (2) на той же странице : . Если y = cos x и a = cos nx, то результат будет $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
- В 1676 году Исаак Ньютон обнаружил связь между двумя аккордами, которые находились в соотношении n к 1; отношение было выражено серией, приведенной выше. Серия появляется в письме - Epistola Prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … - от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; Копия письма была отправлена Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. Стр. 106 из: Biot, J.-B .; Лефорт, Ф., ред. (1856 г.). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota и т.д .: ou… (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. С. 102–112.
- В 1698 году де Муавр вывел ту же серию. См .: de Moivre, A. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения» . Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. DOI : 10,1098 / rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . Архивировано из оригинального 26 октября 2019 года . Проверено 8 июня 2020 . ; см. стр.192.
- В 1730 году де Муавр подробно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. См .: Муавр А. де (1730 г.). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. С п. 1: «Лемма 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 descriptionatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit .» $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, каждая из которых описывается одним и тем же радиусом 1 и из которых первый кратен последнему в том соотношении, которое имеет число n к 1, тогда это будет [ верно, что] .) Итак, если дуга A = n × arc B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
Смотрите также:
- Кантор, Мориц (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Лекции по истории математики ] (на немецком языке). т. 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.
- Браунмюль, А. фон (1901). «Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes» [Об истории происхождения так называемой теоремы Муавра]. Bibliotheca Mathematica . 3-я серия (на немецком языке). 2 : 97–102. ; см. стр. 98.
^ Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике, Том 3 , Courier Dover Publications, стр. 444, ISBN 9780486646909
Перейти ↑ Moivre, A. de (1722). "De sectione anguli" [О сечении угла]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 32 (374): 228–230. DOI : 10,1098 / rstl.1722.0039 . S2CID 186210081 . Архивировано из оригинала на 6 июня 2020 года . Проверено 6 июня 2020 .
- Английский перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа (2009)
С п. 229:
«Сядьте x sinus против arcus cujuslibert.
[Сядьте] t sinus против arcus alterius.
[Сядьте] 1 радиус
циркуляции . Sitque arcus prior ad posteriorum ut 1 ad n , tunc, assumptis binis aequationibus quasognatas appelare licet,
1 - 2 z ^п + г ^{2 п} = - 2 г ^п т
1 - 2 г + ZZ = - 2 ге .
Expunctoque г orietur aequatio ква Взаимоотношения между й и т determinatur «.
(Пусть xбыть версином любой дуги [т.е. x = 1 - cos θ].
[Пусть] t будет версиной другой дуги.
[Пусть] 1 будет радиусом круга.
И пусть первая дуга к последней [т. Е. «Другая дуга»] равна от 1 до n [так, что t = 1 - cos n θ], тогда, принимая два уравнения, которые можно назвать связанными,
1 - 2 z ^N + Z ^{2 N знак} равно - 2 Z ^N T
1-2 Z + ZZ знак равно - 2 ZX .
И, исключив z, возникнет уравнение, с помощью которого определяется связь между x и t .)
То есть, учитывая уравнения
1 - 2 z ⁿ + z ^{2 n} = - 2 z ⁿ (1 - cos n θ)
1 - 2 z + zz = - 2 z (1 - cos θ),
используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти z ⁿ в первом уравнении и z во втором уравнении. Результат будет: z ⁿ = cos n θ ± i sinn θ и z = cos θ ± i sin θ, откуда сразу следует, что (cos θ ± i sin θ) ⁿ = cos n θ ± i sin n θ.
Смотрите также:
- Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике . т. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446.см. стр. 445, сноска 1.
^
В 1738 году де Муавр использовал тригонометрию для определения корней n-й степени действительного или комплексного числа. См .: Муавр А. де (1738). «De Reductione Radicium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio , vel . Epistola» [О приведении радикалов к более простым терминам, или об извлечении любого заданного корня из бинома, или . Письмо.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 40 (451): 463–478. DOI : 10,1098 / rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 . a + + b {\displaystyle a+{\sqrt {+b}}} a + − b {\displaystyle a+{\sqrt {-b}}} $a+{\sqrt {+b}}$ $a+{\sqrt {-b}}$ С п. 475: «Проблема III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impssibli .… Illos autem negativos quorum arcus sunt quadrante majores». $a+{\sqrt {-b}}$ (Проблема III. Пусть корень, индекс [т.е. степень] которого равен n, извлекается из комплексного бинома . Решение. Пусть его корень равен , тогда я определяю ; я также определяю [Примечание: следует читать: ], нарисовать или представить круг , радиус которого равен , и предположим в этой [окружности] некоторую дугу A с косинусом ; пусть C будет всей окружностью. Предположим, [измеренные] на том же радиусе косинусы дуг и т. д. $a+{\sqrt {-b}}$ $x+{\sqrt {-y}}$ ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ${\sqrt {m}}$ ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$
до тех пор, пока множество [то есть количество] их [то есть дуг] не станет равным количеству n; когда это будет сделано, остановитесь на этом; тогда будет столько косинусов, сколько значений величины , которая связана с величиной ; это [то есть ] всегда будет . Нельзя пренебрегать, хотя ранее упоминалось, [что] те косинусы, дуги которых меньше прямого угла, должны рассматриваться как положительные, а те, чьи дуги больше прямого угла [должны рассматриваться] как отрицательные.) Смотрите также: $x$ $y$ $y$ $m-xx$
- Браунмюль, А. фон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). т. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. С. 76–77.
^ Эйлер (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des уравнений" [Исследования комплексных корней уравнений]. Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin (на французском языке). 5 : 222–288. См. Стр. 260–261: « Теорема XIII. § 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une Quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1. "(Теорема XIII. § 70. Для любой степени либо действительная величина, либо комплексная [единица] вида M + N √-1 , из которого извлекается корень, корни всегда будут либо вещественными, либо комплексными одной и той же формы M + N √-1.)
^
Де Муавр пытался определить коэффициент среднего члена (1 + 1)ⁿ для больших n с 1721 года или ранее. В своей брошюре от 12 ноября 1733 г. - Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) ⁿ in Seriem expansi [Приближение суммы членов бинома (a + b)^n, развернутого в ряд] - де Муавр сказал, что он начал работать над проблемой 12 или более лет назад: «Duodecim jam sunt anni & ampius cum illud inveneram;…» (Прошло уже более десяти лет с тех пор, как я нашел это [то есть то, что следует];…).
- (Арчибальд, 1926), стр. 677.
- (де Муавр, 1738), стр. 235.
Де Муавр приписал Александру Кумингу (ок. 1690–1775), шотландскому аристократу и члену Лондонского королевского общества, в 1721 году его поиски приближения для центрального члена биномиального расширения. (де Муавр, 1730), стр. 99.
^
Роли де Муавра и Стирлинга в поиске приближения Стирлинга представлены в:
- Гелинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства серии Стирлинга для журнала (N!)» Arxiv.org
- Ланье, Дени; Троту, Дидье (1998). "La formule de Stirling" [формула Стирлинга] Комиссия Inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (под ред.). Analyze & démarche analytique: les neveux de Descartes: actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. [Анализ и аналитические рассуждения: «племянники» Декарта: труды 11-й коллоквиум между IREM по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10-11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] в Реймсе. С. 231–286.
Перейти ↑ Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Аналитический сборник рядов и квадратур [то есть интегралов] ]. Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. С. 103–104.
^ Из стр. 102 из (de Moivre, 1730) : «Problema III. Invenire Coefficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coefficientium.… Ad 1 proxime».
(Проблема 3. Найдите коэффициент при среднем члене [биномиального разложения] для очень большой и четной степени [n], или найдите отношение, которое коэффициент среднего члена имеет к сумме всех коэффициентов.
Решение. Пусть n - степень степени возведения бинома a + b, тогда, установив [оба] a и b = 1, отношение среднего члена к его степени (a + b)ⁿ или 2ⁿ [Примечание: сумма всех коэффициентов биномиального разложения (1 + 1)ⁿ равна 2ⁿ .] будет почти как 1. Но когда некоторые серии для запроса можно было определить более точно [но] им пренебрегли из-за нехватки времени, я затем вычисляю путем повторного интегрирования [и] восстанавливаю для использования конкретный количества [которые] ранее не учитывались; так случилось , что я мог , наконец , заключить , что отношение [что - х] стремились приблизительно или к 1.) Приближение происходит на стр. 124-128 из (Муавр, 1730). ${\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$
${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ ${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}$
${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$
^
Де Муавр определил значение константы, аппроксимируя значение ряда, используя только его первые четыре члена. Де Муавр считал, что ряды сходятся, но английский математик Томас Байес (около 1701–1761 гг.) Обнаружил, что ряды действительно расходятся. Из стр. 127-128 из (de Moivre, 1730): «Cum vero perciperem имеет Series valde implatas evadere, ... completed factorem 2.168 seu ,…» $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ (Но когда я задумал [как] избежать этих очень сложных рядов - хотя все они были идеально суммируемыми - я думаю, что [не было] ничего другого, что можно было сделать, кроме как преобразовать их в бесконечный случай; таким образом установите m равным бесконечности , то сумма первого рационального ряда будет уменьшена до 1/12, сумма второго [уменьшится] до 1/360; таким образом, получается, что суммы всех рядов достигаются. Из этого одного ряда $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ и т. д., можно будет отбросить столько терминов, сколько ему будет угодно; но я решил [сохранить] четыре [члена] этой [серии], потому что они были достаточны [как] достаточно точное приближение; теперь, когда этот ряд сходится, его члены убывают с чередованием положительных и отрицательных знаков, [и] можно сделать вывод, что первый член 1/12 больше [чем] сумма ряда, или первый член больше [чем] ] разница, которая существует между всеми положительными и отрицательными терминами; но этот член следует рассматривать как гиперболический [т.е. натуральный] логарифм; кроме того, число, соответствующее этому логарифму, составляет почти 1,0869 [т.е. ln (1,0869) ≈ 1/12], что, если умножить на 2, произведение будет 2,1738, и поэтому [в случае возведения бинома] в бесконечная мощность, обозначенная n, величина $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ будет больше, чем отношение среднего члена бинома к сумме всех членов, и, переходя к остальным членам, будет обнаружено, что множитель 2,1676 просто меньше [, чем отношение среднего члена к сумме всех членов], и аналогично, что 2,1695 больше, в свою очередь, 2,1682 опускается немного ниже истинного [значения отношения]; учитывая это, я пришел к выводу, что коэффициент [равен] 2,168 или …) Примечание. Фактор, который искал де Муавр, был: = 2,16887… (Lanier & Trotoux, 1998), p. 237. $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}$
- Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного мистера Байеса, FRS, Джону Кантону, MA и FRS» Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. DOI : 10,1098 / rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .
^ (de Moivre, 1730), стр. 170–172.
↑
В письме Стирлинга де Муавру от 19 июня 1729 г. Стирлинг заявил, что он написал Александру Кумингу «quadrienium circiter abhinc» (около четырех лет назад [т.е. 1725]) о (среди прочего) приближении с использованием Иссака Ньютона метод дифференциалов, коэффициент при среднем члене биномиального разложения. Стирлинг признал, что де Муавр решил проблему несколько лет назад: «…; ответить Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias».(…; Этот самый выдающийся человек [Александр Куминг] ответил, что сомневается, что проблема, решенная вами несколькими годами ранее, касающаяся поведения среднего члена любой степени бинома, может быть решена с помощью дифференциалов.) Стирлинг написал, что он затем приступил к исследованию проблемы, но поначалу продвигался медленно.
- (де Муавр, 1730), стр. 170.
- Забелл, SL (2005). Симметрия и ее недостатки: очерки истории индуктивной вероятности . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ISBN 9780521444705.
^
См .:
- Стирлинг, Джеймс (1730). Methodus Differentialis… (на латыни). Лондон, Англия: Г. Страхан. п. 137. С п. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д. Pone z – n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-$ [Примечание: l, z = log (z)] additi Logarithmo Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi ". (Кроме того, если вы хотите получить сумму любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д., Установите z – n как последнее число, n равно ½; и три или четыре члена этого серии $zlog(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-$ прибавление к [половине] логарифма длины окружности круга, радиус которого равен единице [т. е. ½log (2π)], то есть [прибавленный] к этому: 0,39908,99341,79 - даст искомую [это] сумму, и чем больше логарифмов нужно добавить, тем меньше работы.) Примечание: = 0,434294481903252 (См. стр. 135.) = 1 / ln (10). $a$
- Английский перевод: Стирлинг, Джеймс; Холлидей, Фрэнсис, пер. (1749). Дифференциальный метод . Лондон, Англия: Е. Кейв. п. 121.[Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, поэтому страница 125 пронумерована как «121», страница 126 - как «122» и так далее до стр. 129.]
^
См .:
- Арчибальд, RC (октябрь 1926 г.). «Редкий памфлет Муавра и некоторых его открытий». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. DOI : 10.1086 / 358439 . S2CID 143827655 .
- Английский перевод брошюры опубликован в: Moivre, Abraham de (1738). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: самоиздан. С. 235–243.

Ссылки [ править ]

См. « Miscellanea Analytica» де Муавра (Лондон: 1730), стр. 26–42.
HJR Мюррей , 1913. История шахмат . Издательство Оксфордского университета: стр. 846.
Шнайдер, И., 2005, «Доктрина случайностей» в Граттан-Гиннессе, И. , изд. « Достопримечательности западной математики» . Elsevier: стр. 105–20

Дальнейшее чтение [ править ]

В Wikisource есть оригинальные работы, написанные Авраамом де Муавром или о нем.

Викискладе есть медиафайлы по теме Авраама де Муавра .

«де Муавр, Авраам» . Архивировано из оригинала 19 декабря 2007 года . Проверено 15 июня 2002 года .
Доктрина случая на MathPages.
Биография (PDF) , Биография Мэтью Мэти Авраама Де Муавра, переведенная, аннотированная и дополненная .
Отрывок из «Тригонометрических наслаждений» (мертвая ссылка)
де Муавр, О законе нормальной вероятности

[mactutor-1] а б О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Абрахам де Муавр" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.

[2] Беллхаус, Дэвид Р. (2011). Абрахам Де Муавр: Подготовка основы для классической вероятности и ее приложений . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 99. ISBN 978-1-56881-349-3.

[3] Кафлин, Раймонд Ф .; Цитарелли, Дэвид Э. (1984). Восхождение математики . Макгроу-Хилл. п. 437. ISBN. 0-07-013215-1. К сожалению, поскольку он не был британцем, Де Муавр так и не смог получить должность преподавателя в университете.

[4] Юнгникель, Криста ; МакКорммах, Рассел (1996). Кавендиш . Воспоминания Американского философского общества. 220 . Американское философское общество. п. 52. ISBN 9780871692207. Имея хорошие связи в математических кругах и высоко ценимый за свою работу, он все еще не мог получить хорошую работу. Даже его обращение в англиканскую церковь в 1705 году не могло изменить того факта, что он был инопланетянином.

[5] Тантон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики . Публикация информационной базы. п. 122. ISBN 9780816051243. Он надеялся получить место на математическом факультете, но, как иностранцу, такого назначения ему не предложили.

[6] "Библиотека и архивный каталог" . Королевское общество . Проверено 3 октября 2010 года .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[hsmstex-7] "Биографические данные - действительно ли Абрахам де Муавр предсказывал свою смерть?" .

[Cajori-History-8] Cajori, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Американское математическое общество . п. 229. ISBN 9780821821022.

[9] См .:
Абрахам Де Муавр (12 ноября 1733 г.) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b) ⁿ in seriem expansi" (брошюра, опубликованная самостоятельно), 7 страниц.
Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243 .

[10] Абрахам Де Муавр (12 ноября 1733 г.) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b) ⁿ in seriem expansi" (брошюра, опубликованная самостоятельно), 7 страниц.

[11] Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243 .

[10] Пирсон, Карл (1924). «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок». Биометрика . 16 (3–4): 402–404. DOI : 10.1093 / Biomet / 16.3-4.402 .

[JKK157-11] Джонсон, Н.Л., Коц, С., Кемп, А.В. (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-54897-9 , p157

[12] Стиглер, Стивен М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные письма . 1 : 33–35. DOI : 10.1016 / 0167-7152 (82) 90010-4 .

[13] Халд, Андерс; де Муавр, Авраам; МакКлинток, Брюс (1984). «А. де Муавр:« De Mensura Sortis »или« Об измерении вероятности » ». Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045 .

[14] Moivre, Ab. де (1707). «Aequationum Quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica» [Из некоторых уравнений третьего, пятого, седьмого, девятого, и высшая степень, вплоть до бесконечности, в конечном итоге в форме правил для кубиков, которые Кардано называет разрешением путем анализа.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 25 (309): 2368–2371. DOI : 10,1098 / rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 . Архивировано из оригинального 26 октября 2019 . Проверено 8 июня 2020 .
Английский перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа (2009)
На стр. 2370 де Муавр заявил, что если ряд имеет форму , где n - любое заданное нечетное целое число (положительное или отрицательное) и где y и a могут быть функциями, то после решения относительно y результатом будет уравнение (2) на той же странице : . Если y = cos x и a = cos nx, то результат будет $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
В 1676 году Исаак Ньютон обнаружил связь между двумя аккордами, которые находились в соотношении n к 1; отношение было выражено серией, приведенной выше. Серия появляется в письме - Epistola Prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … - от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; Копия письма была отправлена Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. Стр. 106 из: Biot, J.-B .; Лефорт, Ф., ред. (1856 г.). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota и т.д .: ou… (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. С. 102–112.
В 1698 году де Муавр вывел ту же серию. См .: de Moivre, A. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения» . Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. DOI : 10,1098 / rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . Архивировано из оригинального 26 октября 2019 года . Проверено 8 июня 2020 . ; см. стр.192.
В 1730 году де Муавр подробно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. См .: Муавр А. де (1730 г.). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. С п. 1: «Лемма 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 descriptionatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit .» $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, каждая из которых описывается одним и тем же радиусом 1 и из которых первый кратен последнему в том соотношении, которое имеет число n к 1, тогда это будет [ верно, что] .) Итак, если дуга A = n × arc B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
Смотрите также:
Кантор, Мориц (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Лекции по истории математики ] (на немецком языке). т. 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.
Браунмюль, А. фон (1901). «Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes» [Об истории происхождения так называемой теоремы Муавра]. Bibliotheca Mathematica . 3-я серия (на немецком языке). 2 : 97–102. ; см. стр. 98.

[17] Английский перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа (2009)

[18] В 1676 году Исаак Ньютон обнаружил связь между двумя аккордами, которые находились в соотношении n к 1; отношение было выражено серией, приведенной выше. Серия появляется в письме - Epistola Prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … - от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; Копия письма была отправлена Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. Стр. 106 из: Biot, J.-B .; Лефорт, Ф., ред. (1856 г.). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota и т.д .: ou… (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. С. 102–112.

[19] В 1698 году де Муавр вывел ту же серию. См .: de Moivre, A. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения» . Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. DOI : 10,1098 / rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . Архивировано из оригинального 26 октября 2019 года . Проверено 8 июня 2020 . ; см. стр.192.

[20] В 1730 году де Муавр подробно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. См .: Муавр А. де (1730 г.). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. С п. 1: «Лемма 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 descriptionatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit .» $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, каждая из которых описывается одним и тем же радиусом 1 и из которых первый кратен последнему в том соотношении, которое имеет число n к 1, тогда это будет [ верно, что] .) Итак, если дуга A = n × arc B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$

[21] Кантор, Мориц (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Лекции по истории математики ] (на немецком языке). т. 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.

[22] Браунмюль, А. фон (1901). «Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes» [Об истории происхождения так называемой теоремы Муавра]. Bibliotheca Mathematica . 3-я серия (на немецком языке). 2 : 97–102. ; см. стр. 98.

[15] Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике, Том 3 , Courier Dover Publications, стр. 444, ISBN 9780486646909

[16] Перейти ↑ Moivre, A. de (1722). "De sectione anguli" [О сечении угла]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 32 (374): 228–230. DOI : 10,1098 / rstl.1722.0039 . S2CID 186210081 . Архивировано из оригинала на 6 июня 2020 года . Проверено 6 июня 2020 .
Английский перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа (2009)
С п. 229:
«Сядьте x sinus против arcus cujuslibert.
[Сядьте] t sinus против arcus alterius.
[Сядьте] 1 радиус
циркуляции . Sitque arcus prior ad posteriorum ut 1 ad n , tunc, assumptis binis aequationibus quasognatas appelare licet,
1 - 2 z ^п + г ^{2 п} = - 2 г ^п т
1 - 2 г + ZZ = - 2 ге .
Expunctoque г orietur aequatio ква Взаимоотношения между й и т determinatur «.
(Пусть xбыть версином любой дуги [т.е. x = 1 - cos θ].
[Пусть] t будет версиной другой дуги.
[Пусть] 1 будет радиусом круга.
И пусть первая дуга к последней [т. Е. «Другая дуга»] равна от 1 до n [так, что t = 1 - cos n θ], тогда, принимая два уравнения, которые можно назвать связанными,
1 - 2 z ^N + Z ^{2 N знак} равно - 2 Z ^N T
1-2 Z + ZZ знак равно - 2 ZX .
И, исключив z, возникнет уравнение, с помощью которого определяется связь между x и t .)
То есть, учитывая уравнения
1 - 2 z ⁿ + z ^{2 n} = - 2 z ⁿ (1 - cos n θ)
1 - 2 z + zz = - 2 z (1 - cos θ),
используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти z ⁿ в первом уравнении и z во втором уравнении. Результат будет: z ⁿ = cos n θ ± i sinn θ и z = cos θ ± i sin θ, откуда сразу следует, что (cos θ ± i sin θ) ⁿ = cos n θ ± i sin n θ.
Смотрите также:
Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике . т. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446.см. стр. 445, сноска 1.

[25] Английский перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа (2009)

[26] Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике . т. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446.см. стр. 445, сноска 1.

[17] В 1738 году де Муавр использовал тригонометрию для определения корней n-й степени действительного или комплексного числа. См .: Муавр А. де (1738). «De Reductione Radicium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio , vel . Epistola» [О приведении радикалов к более простым терминам, или об извлечении любого заданного корня из бинома, или . Письмо.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 40 (451): 463–478. DOI : 10,1098 / rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 . a + + b {\displaystyle a+{\sqrt {+b}}} a + − b {\displaystyle a+{\sqrt {-b}}} $a+{\sqrt {+b}}$ $a+{\sqrt {-b}}$ С п. 475: «Проблема III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impssibli .… Illos autem negativos quorum arcus sunt quadrante majores». $a+{\sqrt {-b}}$ (Проблема III. Пусть корень, индекс [т.е. степень] которого равен n, извлекается из комплексного бинома . Решение. Пусть его корень равен , тогда я определяю ; я также определяю [Примечание: следует читать: ], нарисовать или представить круг , радиус которого равен , и предположим в этой [окружности] некоторую дугу A с косинусом ; пусть C будет всей окружностью. Предположим, [измеренные] на том же радиусе косинусы дуг и т. д. $a+{\sqrt {-b}}$ $x+{\sqrt {-y}}$ ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ${\sqrt {m}}$ ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$
до тех пор, пока множество [то есть количество] их [то есть дуг] не станет равным количеству n; когда это будет сделано, остановитесь на этом; тогда будет столько косинусов, сколько значений величины , которая связана с величиной ; это [то есть ] всегда будет . Нельзя пренебрегать, хотя ранее упоминалось, [что] те косинусы, дуги которых меньше прямого угла, должны рассматриваться как положительные, а те, чьи дуги больше прямого угла [должны рассматриваться] как отрицательные.) Смотрите также: $x$ $y$ $y$ $m-xx$

Браунмюль, А. фон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). т. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. С. 76–77.

[28] Браунмюль, А. фон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). т. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. С. 76–77.

[18] Эйлер (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des уравнений" [Исследования комплексных корней уравнений]. Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin (на французском языке). 5 : 222–288. См. Стр. 260–261: « Теорема XIII. § 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une Quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1. "(Теорема XIII. § 70. Для любой степени либо действительная величина, либо комплексная [единица] вида M + N √-1 , из которого извлекается корень, корни всегда будут либо вещественными, либо комплексными одной и той же формы M + N √-1.)

[19] Де Муавр пытался определить коэффициент среднего члена (1 + 1)ⁿ для больших n с 1721 года или ранее. В своей брошюре от 12 ноября 1733 г. - Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) ⁿ in Seriem expansi [Приближение суммы членов бинома (a + b)^n, развернутого в ряд] - де Муавр сказал, что он начал работать над проблемой 12 или более лет назад: «Duodecim jam sunt anni & ampius cum illud inveneram;…» (Прошло уже более десяти лет с тех пор, как я нашел это [то есть то, что следует];…).
(Арчибальд, 1926), стр. 677.
(де Муавр, 1738), стр. 235.
Де Муавр приписал Александру Кумингу (ок. 1690–1775), шотландскому аристократу и члену Лондонского королевского общества, в 1721 году его поиски приближения для центрального члена биномиального расширения. (де Муавр, 1730), стр. 99.

[31] (Арчибальд, 1926), стр. 677.

[32] (де Муавр, 1738), стр. 235.

[20] Роли де Муавра и Стирлинга в поиске приближения Стирлинга представлены в:
Гелинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства серии Стирлинга для журнала (N!)» Arxiv.org
Ланье, Дени; Троту, Дидье (1998). "La formule de Stirling" [формула Стирлинга] Комиссия Inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (под ред.). Analyze & démarche analytique: les neveux de Descartes: actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. [Анализ и аналитические рассуждения: «племянники» Декарта: труды 11-й коллоквиум между IREM по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10-11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] в Реймсе. С. 231–286.

[34] Гелинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства серии Стирлинга для журнала (N!)» Arxiv.org

[35] Ланье, Дени; Троту, Дидье (1998). "La formule de Stirling" [формула Стирлинга] Комиссия Inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (под ред.). Analyze & démarche analytique: les neveux de Descartes: actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. [Анализ и аналитические рассуждения: «племянники» Декарта: труды 11-й коллоквиум между IREM по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10-11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] в Реймсе. С. 231–286.

[21] Перейти ↑ Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Аналитический сборник рядов и квадратур [то есть интегралов] ]. Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. С. 103–104.

[22] Из стр. 102 из (de Moivre, 1730) : «Problema III. Invenire Coefficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coefficientium.… Ad 1 proxime».
(Проблема 3. Найдите коэффициент при среднем члене [биномиального разложения] для очень большой и четной степени [n], или найдите отношение, которое коэффициент среднего члена имеет к сумме всех коэффициентов.
Решение. Пусть n - степень степени возведения бинома a + b, тогда, установив [оба] a и b = 1, отношение среднего члена к его степени (a + b)ⁿ или 2ⁿ [Примечание: сумма всех коэффициентов биномиального разложения (1 + 1)ⁿ равна 2ⁿ .] будет почти как 1. Но когда некоторые серии для запроса можно было определить более точно [но] им пренебрегли из-за нехватки времени, я затем вычисляю путем повторного интегрирования [и] восстанавливаю для использования конкретный количества [которые] ранее не учитывались; так случилось , что я мог , наконец , заключить , что отношение [что - х] стремились приблизительно или к 1.) Приближение происходит на стр. 124-128 из (Муавр, 1730). ${\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$
${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ ${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}$
${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$

[23] Де Муавр определил значение константы, аппроксимируя значение ряда, используя только его первые четыре члена. Де Муавр считал, что ряды сходятся, но английский математик Томас Байес (около 1701–1761 гг.) Обнаружил, что ряды действительно расходятся. Из стр. 127-128 из (de Moivre, 1730): «Cum vero perciperem имеет Series valde implatas evadere, ... completed factorem 2.168 seu ,…» $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ (Но когда я задумал [как] избежать этих очень сложных рядов - хотя все они были идеально суммируемыми - я думаю, что [не было] ничего другого, что можно было сделать, кроме как преобразовать их в бесконечный случай; таким образом установите m равным бесконечности , то сумма первого рационального ряда будет уменьшена до 1/12, сумма второго [уменьшится] до 1/360; таким образом, получается, что суммы всех рядов достигаются. Из этого одного ряда $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ и т. д., можно будет отбросить столько терминов, сколько ему будет угодно; но я решил [сохранить] четыре [члена] этой [серии], потому что они были достаточны [как] достаточно точное приближение; теперь, когда этот ряд сходится, его члены убывают с чередованием положительных и отрицательных знаков, [и] можно сделать вывод, что первый член 1/12 больше [чем] сумма ряда, или первый член больше [чем] ] разница, которая существует между всеми положительными и отрицательными терминами; но этот член следует рассматривать как гиперболический [т.е. натуральный] логарифм; кроме того, число, соответствующее этому логарифму, составляет почти 1,0869 [т.е. ln (1,0869) ≈ 1/12], что, если умножить на 2, произведение будет 2,1738, и поэтому [в случае возведения бинома] в бесконечная мощность, обозначенная n, величина $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ будет больше, чем отношение среднего члена бинома к сумме всех членов, и, переходя к остальным членам, будет обнаружено, что множитель 2,1676 просто меньше [, чем отношение среднего члена к сумме всех членов], и аналогично, что 2,1695 больше, в свою очередь, 2,1682 опускается немного ниже истинного [значения отношения]; учитывая это, я пришел к выводу, что коэффициент [равен] 2,168 или …) Примечание. Фактор, который искал де Муавр, был: = 2,16887… (Lanier & Trotoux, 1998), p. 237. $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}$
Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного мистера Байеса, FRS, Джону Кантону, MA и FRS» Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. DOI : 10,1098 / rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .

[39] Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного мистера Байеса, FRS, Джону Кантону, MA и FRS» Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. DOI : 10,1098 / rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .

[24] (de Moivre, 1730), стр. 170–172.

[25] В письме Стирлинга де Муавру от 19 июня 1729 г. Стирлинг заявил, что он написал Александру Кумингу «quadrienium circiter abhinc» (около четырех лет назад [т.е. 1725]) о (среди прочего) приближении с использованием Иссака Ньютона метод дифференциалов, коэффициент при среднем члене биномиального разложения. Стирлинг признал, что де Муавр решил проблему несколько лет назад: «…; ответить Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias».(…; Этот самый выдающийся человек [Александр Куминг] ответил, что сомневается, что проблема, решенная вами несколькими годами ранее, касающаяся поведения среднего члена любой степени бинома, может быть решена с помощью дифференциалов.) Стирлинг написал, что он затем приступил к исследованию проблемы, но поначалу продвигался медленно.
(де Муавр, 1730), стр. 170.
Забелл, SL (2005). Симметрия и ее недостатки: очерки истории индуктивной вероятности . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ISBN 9780521444705.

[42] (де Муавр, 1730), стр. 170.

[43] Забелл, SL (2005). Симметрия и ее недостатки: очерки истории индуктивной вероятности . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ISBN 9780521444705.

[26] См .:
Стирлинг, Джеймс (1730). Methodus Differentialis… (на латыни). Лондон, Англия: Г. Страхан. п. 137. С п. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д. Pone z – n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-$ [Примечание: l, z = log (z)] additi Logarithmo Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi ". (Кроме того, если вы хотите получить сумму любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д., Установите z – n как последнее число, n равно ½; и три или четыре члена этого серии $zlog(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-$ прибавление к [половине] логарифма длины окружности круга, радиус которого равен единице [т. е. ½log (2π)], то есть [прибавленный] к этому: 0,39908,99341,79 - даст искомую [это] сумму, и чем больше логарифмов нужно добавить, тем меньше работы.) Примечание: = 0,434294481903252 (См. стр. 135.) = 1 / ln (10). $a$
Английский перевод: Стирлинг, Джеймс; Холлидей, Фрэнсис, пер. (1749). Дифференциальный метод . Лондон, Англия: Е. Кейв. п. 121.[Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, поэтому страница 125 пронумерована как «121», страница 126 - как «122» и так далее до стр. 129.]

[45] Стирлинг, Джеймс (1730). Methodus Differentialis… (на латыни). Лондон, Англия: Г. Страхан. п. 137. С п. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д. Pone z – n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-$ [Примечание: l, z = log (z)] additi Logarithmo Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi ". (Кроме того, если вы хотите получить сумму любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д., Установите z – n как последнее число, n равно ½; и три или четыре члена этого серии $zlog(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-$ прибавление к [половине] логарифма длины окружности круга, радиус которого равен единице [т. е. ½log (2π)], то есть [прибавленный] к этому: 0,39908,99341,79 - даст искомую [это] сумму, и чем больше логарифмов нужно добавить, тем меньше работы.) Примечание: = 0,434294481903252 (См. стр. 135.) = 1 / ln (10). $a$

[46] Английский перевод: Стирлинг, Джеймс; Холлидей, Фрэнсис, пер. (1749). Дифференциальный метод . Лондон, Англия: Е. Кейв. п. 121.[Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, поэтому страница 125 пронумерована как «121», страница 126 - как «122» и так далее до стр. 129.]

[27] См .:
Арчибальд, RC (октябрь 1926 г.). «Редкий памфлет Муавра и некоторых его открытий». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. DOI : 10.1086 / 358439 . S2CID 143827655 .
Английский перевод брошюры опубликован в: Moivre, Abraham de (1738). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: самоиздан. С. 235–243.

[48] Арчибальд, RC (октябрь 1926 г.). «Редкий памфлет Муавра и некоторых его открытий». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. DOI : 10.1086 / 358439 . S2CID 143827655 .

[49] Английский перевод брошюры опубликован в: Moivre, Abraham de (1738). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: самоиздан. С. 235–243.

[1]

vтеСэр Исаак Ньютон
Публикации	Флюксии (1671) Де Моту (1684) Принципы (1687; письмо ) Оптика (1704) Запросы (1704) Арифметика (1707) Де Аналиси (1711)
Другие сочинения	Quaestiones (1661–1665) « стоящий на плечах великанов » (1675 г.) Заметки о еврейском храме (ок. 1680 г.) " General Scholium " (1713; " гипотезы не финго " ) Древние королевства с поправками (1728 г.) Искажения Священного Писания (1754 г.)
Взносы	Исчисление текучесть Глубина удара Инерция Диск Ньютона Многоугольник Ньютона Тело Ньютона – Окунькова Отражатель Ньютона Ньютоновский телескоп Шкала Ньютона Металл Ньютона Колыбель Ньютона Спектр Структурная окраска
Ньютонианство	Аргумент ведра Неравенства Ньютона Закон охлаждения Ньютона Закон всемирного тяготения Ньютона постньютоновское расширение параметризованный гравитационная постоянная Теория Ньютона – Картана Уравнение Шредингера – Ньютона. Законы движения Ньютона Законы Кеплера Ньютоновская динамика Метод Ньютона в оптимизации Проблема Аполлония усеченный метод Ньютона Алгоритм Гаусса – Ньютона Кольца Ньютона Теорема Ньютона об овалах Проблема Ньютона – Пеписа Ньютоновский потенциал Ньютоновская жидкость Классическая механика Корпускулярная теория света Противоречие между исчислениями Лейбница и Ньютона Обозначение Ньютона Вращающиеся сферы Пушечное ядро Ньютона Формулы Ньютона – Котеса Метод Ньютона обобщенный метод Гаусса – Ньютона Фрактал Ньютона Личности Ньютона Полином Ньютона Теорема Ньютона о вращающихся орбитах Уравнения Ньютона – Эйлера Число Ньютона проблема с числом поцелуев Фактор Ньютона Параллелограмм силы Теорема Ньютона – Пюизо. Абсолютное пространство и время Светоносный эфир Ньютоновский ряд стол
Личная жизнь	Усадьба Вулсторп (место рождения) Крэнбери Парк (дом) Ранний период жизни Более поздняя жизнь Религиозные взгляды Оккультные исследования Научная революция Коперниканская революция
связи	Кэтрин Бартон (племянница) Джон Кондуитт (племянник в законе) Исаак Барроу (профессор) Уильям Кларк (наставник) Бенджамин Пуллейн (репетитор) Джон Кейл (ученик) Уильям Стюкли (друг) Уильям Джонс (друг) Абрахам де Муавр (друг)
Изображения	Ньютон Блейка (монотипия) Ньютон Паолоцци (скульптура)
Тезка	Институт Исаака Ньютона Медаль Исаака Ньютона Телескоп Исаака Ньютона Группа телескопов Исаака Ньютона Ньютон (единица)
Категории	► Исаак Ньютон