Абстрактный элементарный класс

В теории моделей , дисциплина в математической логике , абстрактный элементарный класс или AEC для краткости, класс моделей с частичным порядком , аналогичным отношением к элементарной подструктуре в качестве элементарного класса в первом порядке теории моделей. Их представил Сахарон Шелах . ^[1]

Определение [ править ]

${\ Displaystyle \ langle K, \ Prec _ {K} \ rangle}$ для класса структур на каком-либо языке является AEC, если он имеет следующие свойства: ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle L = L (К)}$

${\ displaystyle \ prec _ {K}}$ это частичный порядок на . ${\ displaystyle K}$
Если тогда это подструктура . ${\ Displaystyle M \ Prec _ {K} N}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle N}$
Изоморфизмы : замкнут относительно изоморфизмов , и если и тогда ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle M, N, M ', N' \ in K,}$ $f\colon M\simeq M',$ $g\colon N\simeq N',$ $f\subseteq g,$ $M\prec _{K}N,$ $M'\prec _{K}N'.$
Согласованность : если и тогда $M_{1}\prec _{K}M_{3},$ $M_{2}\prec _{K}M_{3},$ $M_{1}\subseteq M_{2},$ $M_{1}\prec _{K}M_{2}.$
Тарский-Вог цепь аксиомы : Если это порядковая и представляют собой цепь (то есть ), то: $\gamma$ $\{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K$ $\alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }$
- $\bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K$
- Если для всех , то $M_{\alpha }\prec _{K}N$ $\alpha <\gamma$ $\bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N$
Аксиома Левенхайма – Сколема : существует кардинал , такой, что еслиявляется подмножеством вселенной, то существует,вчьей вселенной содержитсятакое, чтои. Мы выпускаемобозначим наименьшее такоеи называть число Löwenheim-Скулема из. $\mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}$ $A$ $M$ $N$ $K$ $A$ $\|N\|\leq |A|+\mu$ $N\prec _{K}M$ $\operatorname {LS} (K)$ $\mu$ $K$

Обратите внимание, что мы обычно не заботимся о моделях, размер которых меньше числа Левенхайма – Сколема, и часто предполагаем, что их нет (мы примем это соглашение в этой статье). Это оправдано, поскольку мы всегда можем удалить все такие модели из AEC, не влияя на его структуру выше числа Левенгейма – Сколема.

A -вложение - это отображение для таких, что и является изоморфизмом из на . Если это ясно из контекста, мы его опускаем. $K$ $f:M\rightarrow N$ $M,N\in K$ $f[M]\prec _{K}N$ $f$ $M$ $f[M]$ $K$

Примеры [ править ]

Ниже приведены примеры абстрактных элементарных классов: ^[2]

Элементарный класс является самым основным примером AEC: Если T теории первого порядка, то класс моделей T вместе с элементарной субструктурой образует AEC с номером Löwenheim-сколемовского | T | . $\operatorname {Mod} (T)$
Если - предложение в бесконечной логике , и является счетным фрагментом, содержащим , то является AEC с числом Левенгейма – Сколема . Это можно обобщить на другие логики, например , или , где выражается «существует несчетное множество». $\phi$ $L_{\omega _{1},\omega }$ ${\mathcal {F}}$ $\phi$ $\langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle$ $\aleph _{0}$ $L_{\kappa ,\omega }$ $L_{\omega _{1},\omega }(Q)$ $Q$
Если T - счетная сверхстабильная теория первого порядка , то множество -насыщенных моделей T вместе с элементарной подструктурой является AEC с числом Левенгейма – Сколема . $\aleph _{1}$ $2^{\aleph _{0}}$
Псевдоэкспоненциальные поля Зильбера образуют АЭК.

Общие предположения [ править ]

AEC - это очень общие объекты, и при их изучении обычно делают некоторые из следующих предположений:

AEC имеет совместное встраивание, если любые две модели могут быть встроены в общую модель.
У AEC нет максимальной модели, если у любой модели есть надлежащее расширение.
AEC имеет объединение, если для любой тройки с , существуют и вложения и внутри этой фиксации поточечно. $K$ $M_{0},M_{1},M_{2}\in K$ $M_{0}\prec _{K}M_{1}$ $M_{0}\prec _{K}M_{2}$ $N\in K$ $M_{1}$ $M_{2}$ $N$ $M_{0}$

Обратите внимание, что в элементарных классах совместное вложение выполняется всякий раз, когда теория завершена , в то время как объединение и отсутствие максимальных моделей являются хорошо известными следствиями теоремы о компактности . Эти три допущения позволяют нам построить универсальную модель-однородную модель монстра , точно так же, как в простейшем случае. ${\mathfrak {C}}$

Еще одно допущение, которое можно сделать, - это приручение .

Гипотеза Шелаха о категоричности [ править ]

Шелах представил AEC, чтобы обеспечить единообразную основу для обобщения теории классификации первого порядка . Теория классификации началась с теоремы Морли о категоричности , поэтому естественно спросить, верен ли аналогичный результат в AEC. Это окончательная гипотеза Шелаха о категоричности . В нем говорится, что для категоричности должно быть число Ханфа:

Для каждого AEC K должен быть кардинал, зависящий только от такого, что если K категоричен в некоторой (т.е. K имеет ровно одну (с точностью до изоморфизма) модель размера ), то K категоричен для всех . $\mu$ $\operatorname {LS} (K)$ $\lambda \geq \mu$ $\lambda$ $\theta$ $\theta \geq \mu$

У Шелаха также есть несколько более сильных гипотез: Кардинальный порог категоричности - это число Ханфа псевдоэлементарных классов в языке мощности LS (K). Более конкретно, когда класс находится на счетном языке и аксиомазифицируем с помощью предложения, пороговое число для категоричности равно . Это предположение восходит к 1976 году. $L_{\omega _{1},\omega }$ $\beth _{\omega _{1}}$

Было опубликовано несколько приближений (см., Например, раздел результатов ниже), предполагающие теоретико-множественные предположения (такие как существование больших кардиналов или вариации обобщенной континуальной гипотезы ) или теоретико-модельные предположения (такие как объединение или приручение). По состоянию на 2014 год первоначальная гипотеза остается открытой.

Результаты [ править ]

Ниже приведены некоторые важные результаты о AEC. За исключением последнего, все результаты принадлежат Шелаху.

Теорема Шелаха о представлении : ^[3] Любой AEC является : это редукция класса моделей теории первого порядка, опускающего не более чем типы . $K$ $\operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}$ $2^{\operatorname {LS} (K)}$
Число Ханфа для существования : ^[4] Любой AEC, имеющий модель размера, имеет модели произвольно больших размеров. $K$ $\beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}$
Амальгамирование от категоричности : ^[5] Если K является категоричным AEC в и и , то K имеет амальгамирование для моделей размера . $\lambda$ $\lambda ^{+}$ $2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}$ $\lambda$
Существование из категоричности : ^[6] Если K - AEC с числом Левенгейма – Сколема и K категоричен в и , то K имеет модель размера . В частности, ни одно предложение не может иметь ровно одну неисчислимую модель. $\operatorname {PC} _{\aleph _{0}}$ $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ $\aleph _{1}$ $\aleph _{2}$ $L_{\omega _{1},\omega }(Q)$
Аппроксимация гипотезы Шелаха о категоричности :
- Перенос вниз от преемника : ^[7] Если K - абстрактный элементарный класс с категоричным слиянием в «достаточно высоком» преемнике , то K категоричен во всех достаточно высоких . $\lambda$ $\mu \leq \lambda$
- Гипотеза Шелаха о категоричности преемника из больших кардиналов : ^[8] Если имеется много классов сильно компактных кардиналов , то гипотеза Шелаха о категоричности верна, когда мы начинаем с категоричности в преемнике.

См. Также [ править ]

Приручить абстрактный элементарный класс

Заметки [ править ]

^ Шела 1987 .
^ Гроссберг 2002 , раздел 1.
^ Гроссберг 2002 , теорема 3.4.
^ Гроссберг 2002 , следствие 3.5. Обратите внимание, что здесь есть опечатка, иее следует заменить на. $2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}$ $2^{\operatorname {LS} (K)}$
^ Гроссберг 2002 , теорема 4.3.
^ Гроссберг 2002 , теорема 5.1.
^ Шела 1999 .
^ Это сделано Уиллом Бони, но объединяет результаты многих людей, в том числе Гроссберга, Маккая, Шелаха и ВанДирена. Доказательство содержится в Boney 2014 , теорема 7.5.

Ссылки [ править ]

Шелах, Сахарон (1987), Джон Т. Болдуин (редактор), Классификация не элементарных классов II. Абстрактные элементарные классы , Конспект лекций по математике, 1292 , Springer-Verlag, стр. 419–497
Шелах, Сахарон (1999), «Категоричность для абстрактных классов с объединением» (PDF) , Анналы чистой и прикладной логики , 98 (1): 261–294, arXiv : math / 9809197 , doi : 10.1016 / s0168-0072 (98 ) 00016-5 , S2CID 27872122
Гроссберг, Рами (2002), "Теория классификации абстрактных элементарных классов" (PDF) , логика и алгебра , Современная математика, 302 , Providence, RI:. Американское математическое общество, С. 165-204, CiteSeerX 10.1.1.6.9630 , дои : 10.1090 / conm / 302/05080 , ISBN 9780821829844, MR 1928390
Болдуин, Джон Т. (7 июля 2006 г.), Абстрактные элементарные классы: некоторые ответы, дополнительные вопросы (PDF)
Шелах, Сахарон (2009), Теория классификации для элементарных абстрактных классов , Исследования в области логики (Лондон), 18 , College Publications, Лондон, ISBN 978-1-904987-71-0
Шелах, Сахарон (2009), Теория классификации абстрактных элементарных классов. Vol. 2 , Исследования в области логики (Лондон), 20 , College Publications, Лондон, ISBN 978-1-904987-72-7
Болдуин, Джон Т. (2009), Категоричность , серия университетских лекций, 50 , Американское математическое общество, ISBN 978-0821848937
Бони, Уилл (2014). «Приручение от больших кардинальных аксиом». arXiv : 1303.0550v4 [ math.LO ].

[1] Шела 1987 .

[2] Гроссберг 2002 , раздел 1.

[3] Гроссберг 2002 , теорема 3.4.

[4] Гроссберг 2002 , следствие 3.5. Обратите внимание, что здесь есть опечатка, иее следует заменить на. $2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}$ $2^{\operatorname {LS} (K)}$

[5] Гроссберг 2002 , теорема 4.3.

[6] Гроссберг 2002 , теорема 5.1.

[7] Шела 1999 .

[8] Это сделано Уиллом Бони, но объединяет результаты многих людей, в том числе Гроссберга, Маккая, Шелаха и ВанДирена. Доказательство содержится в Boney 2014 , теорема 7.5.

[1]