В теории моделей , дисциплине в области математической логики , ручной абстрактный элементарный класс - это абстрактный элементарный класс (AEC), который удовлетворяет свойству локальности для типов, называемых ручностью. Несмотря на то, что это неявно проявляется в более ранней работе Шелаха , приручение как свойство AEC было впервые выделено Гроссбергом и Ван Диреном [1], которые заметили, что с ручными AEC гораздо проще справиться, чем с обычными AEC.
Определение
Пусть K - АЭК с совместным вложением, объединением и без максимальных моделей. Как и в теории моделей первого порядка, это означает, что K имеет универсальную модель-однородную модель монстра.. Работа внутри, мы можем определить семантическое понятие типов , указав, что два элемента a и b имеют один и тот же тип в некоторой базовой моделиесли есть автоморфизм модели монстра, отправляющий a на b, фиксирующийточечно (обратите внимание, что типы могут быть определены аналогичным образом без использования модели монстров [2] ). Такие типы называются типами Галуа .
Можно попросить определить такие типы по их ограничению на небольшом домене. Это дает начало понятию приручения:
- AEC является ручным , если существует кардинальные такие, что любые два различных типа Галуа уже различны на подмодели их области размера . Когда мы хотим подчеркнуть, мы говорим является -приручить.
Также обычно предполагается, что ручные AEC удовлетворяют требованиям объединения.
Обсуждение и мотивация
Хотя (без существования больших кардиналов ) есть примеры неприрученных AEC, [3] большинство известных естественных примеров - ручные. [4] Кроме того, известны следующие достаточные условия приручения класса:
- Приручение - это большая кардинальная аксиома : [5] Существует много классов почти сильно компактных кардиналов тогда и только тогда, когда любой абстрактный элементарный класс является ручным.
- Некоторая прирученность следует из категоричности : [6] Если AEC с объединением категоричен в кардинальном достаточно высокой кофинальности, то приручение сохраняется для типов, превышающих насыщенные модели размером меньше .
- Гипотеза 1.5 из [7] : если K категорично в некотором λ ≥ Hanf (K), то существует χ
Многие результаты в модельной теории (общей) АЭК принимают слабые формы гипотезы обобщенного континуума и опираются на сложные комбинаторные теоретико-множественные аргументы. [8] С другой стороны, модельную теорию ручных АЭК разработать намного проще, о чем свидетельствуют результаты, представленные ниже.
Полученные результаты
Ниже приведены некоторые важные результаты о ручных AEC.
- Перенос категоричности вверх : [9] A-самостоятельно AEC с амальгамированием, что в некотором преемнике категорично (т.е. имеет ровно одну модель размера с точностью до изоморфизма) категоричен во всех .
- Передача устойчивости вверх : [10] A- приручить AEC со стабильным кардинальным слиянием стабильно в и в каждом бесконечном такой, что .
- Приручение можно рассматривать как принцип топологического разделения : [11] AEC с объединением является ручным тогда и только тогда, когда подходящая топология на множестве типов Галуа является хаусдорфовой .
- Прирученность и категоричность подразумевают, что существует разветвляющееся понятие : [12] A-самостоятельно AEC с объединением категорично в кардинал из конфинальности больше , чем или равноимеет хороший фрейм: разветвляющееся понятие для типов синглтонов (в частности, оно стабильно по всем кардиналам). Это порождает правильное понятие размерности .
Заметки
- ^ Гроссберг & VanDieren 2006a .
- ^ Шела 2009 , Определение II.1.9.
- ^ Baldwin & Сала 2008 .
- ^ См. Обсуждение во введении к Grossberg & VanDieren 2006a .
- ^ Boney 2014 , теорема 1.3.
- ^ Shelah 1999 , Основное требование 2.3 (9.2 в онлайн-версии).
- ^ Гроссберг & VanDieren 2006b .
- ^ См., Например, многие жесткие теоремы из книги Шелаха ( Shelah 2009 ).
- ^ Гроссберг & VanDieren 2006b .
- ^ См Baldwin, Kueker & VanDieren 2006 , теорема 4.5 для первого результата и Гроссберга & VanDieren 2006a для второго.
- ^ Либерман 2011 , Предложение 4.1.
- ^ См. Vasey 2014 для получения первого результата и Boney & Vasey 2014 , Corollary 6.10.5 для результата по размерности.
Рекомендации
- Шелах, Сахарон (1999), «Категоричность для абстрактных классов с объединением» (PDF) , Анналы чистой и прикладной логики , 98 (1): 261–294, arXiv : math / 9809197 , doi : 10.1016 / s0168-0072 (98 ) 00016-5 , S2CID 27872122
- Гроссберг, Рами (2002), «Теория классификации абстрактных элементарных классов» (PDF) , Логика и алгебра , Современная математика, 302 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 165–204, DOI : 10.1090 / conm / 302 / 05080 , MR 1928390
- Гроссберг, Рами ; ВанДирен, Моника (2006a), «Стабильность Галуа для ручных абстрактных элементарных классов» (PDF) , Журнал математической логики , 6 (1): 25–49, arXiv : math / 0509535 , doi : 10,1142 / s0219061306000487 , S2CID 15621767
- Гроссберг, Рами ; ВанДирен, Моника (2006b), «Категоричность от одного кардинала-преемника в ручных абстрактных элементарных классах» (PDF) , Журнал математической логики , 6 (2): 181–201, arXiv : math / 0510004 , doi : 10,1142 / s0219061306000554 , S2CID 16930649[ постоянная мертвая ссылка ]
- Болдуин, Джон Т .; Куекер, Дэвид; VanDieren, Моника (2006), "Восходящий передача устойчивости ручными абстрактных элементарных классов" (PDF) , Нотр - Дам Журнал формальной логики , 47 (2): 291-298, DOI : 10,1305 / ndjfl / 1153858652 , S2CID 5770095
- Болдуин, Джон Т .; Сала, Saharon (2008), "Примеры нелокальности" (PDF) , Журнал символической логики , 73 (3): 765-782, DOI : 10,2178 / JSL / 1230396746 , S2CID 7276664
- Шелах, Сахарон (2009), Теория классификации для элементарных абстрактных классов , Исследования в области логики (Лондон), 18 , College Publications, Лондон, ISBN 978-1-904987-71-0
- Болдуин, Джон Т. (2009), Категоричность , серия университетских лекций, 50 , Американское математическое общество, ISBN 978-0821848937
- Либерман, Майкл Дж (2011), "Топология для типов Галуа в абстрактных начальных классах", Математическая логика Quarterly , 57 (2): 204-216, DOI : 10.1002 / malq.200910132
- Бони, Уилл (2014). «Приручение от больших кардинальных аксиом». arXiv : 1303.0550v4 [ math.LO ].
- Бони, Уилл; Унгер Спенсер (2015), «Большие кардинальные аксиомы из приручения в AEC» arXiv: 1509.01191v2.
- Васи, Себастьян (2014). «Разветвление и сверхустойчивость в ручных АЭК». arXiv : 1405.7443v2 [ math.LO ].
- Бони, Уилл; Васи, Себастьян (2014). "Послушание и рамки повторно". arXiv : 1406.5980v4 [ math.LO ].