Акустический импеданс

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Акустический импеданс»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение ) Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники. Найти источники:  «Акустический импеданс»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2019 ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Акустический импеданс и удельный акустический импеданс являются мерой сопротивления, которое система оказывает акустическому потоку, возникающему в результате акустического давления, приложенного к системе. В системе СИ единица акустического импеданса - паскаль-секунда на кубический метр ( Па · с / м ³ ) или рейл на квадратный метр ( рейл / м ² ), а удельное акустическое сопротивление - паскаль-секунда на метр ( Па · с. / м ) или рейл. ^[1] В этой статье символ rayl обозначает рейл MKS. Есть близкая аналогия с электрическим сопротивлением, который измеряет сопротивление, которое система оказывает электрическому потоку, возникающему в результате приложения электрического напряжения к системе.

Математические определения [ править ]

Акустический импеданс [ править ]

Для линейного времени-инвариантной системы, взаимосвязь между акустическим давлением применяется к системе , и полученный акустический объемный расход через поверхности , перпендикулярной к направлению , что давление в точке его применения определяется по формуле: ^{[ править ]}

${\ Displaystyle р (т) = [R * Q] (т),}$

или эквивалентно

${\ Displaystyle Q (t) = [G * p] (t),}$

куда

• p - акустическое давление;
• Q - объемный акустический расход;
• ${\ displaystyle *}$- оператор свертки ;
• R - акустическое сопротивление во временной области ;
• G = R ^-1 - акустическая проводимость во временной области ( R ^-1 - свертка, обратная R ).

Акустический импеданс , обозначается Z , является преобразование Лапласа , или преобразование Фурье , или аналитическое представление о временной области акустического сопротивления: ^[1]

${\ Displaystyle Z (s) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [R] (s) = {\ frac {{\ mathcal {L}} [p] (s)} {{\ mathcal {L}} [Q] (s)}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [R] (\ omega) = {\ frac {{\ mathcal {F }} [p] (\ omega)} {{\ mathcal {F}} [Q] (\ omega)}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

куда

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ - оператор преобразования Лапласа;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ - оператор преобразования Фурье;
• нижний индекс «а» - оператор аналитического представления;
• Вопрос ^-1 является свертка обратного Q .

Акустическое сопротивление , обозначенное R , и акустическое реактивное сопротивление , обозначенное X , являются действительной и мнимой частью акустического импеданса соответственно: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

куда

• i - мнимая единица ;
• в Z ( s ) R ( s ) не является преобразованием Лапласа акустического сопротивления R ( t ) во временной области , Z ( s ) равно;
• в Z ( ω ) R ( ω ) не является преобразованием Фурье акустического сопротивления R ( t ) во временной области , Z ( ω ) равно;
• в Z ( t ), R ( t ) - акустическое сопротивление во временной области, а X ( t ) - это преобразование Гильберта акустического сопротивления R ( t ) во временной области в соответствии с определением аналитического представления.

Индуктивное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное X _L , и емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное X _C , являются положительной и отрицательной частью акустического реактивного сопротивления соответственно: ^{[ ссылка ]}

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

Акустическая проводимость , обозначаемая Y , представляет собой преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление акустической проводимости во временной области : ^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

куда

• Z ⁻¹ - свертка, обратная Z ;
• p ⁻¹ - свертка, обратная p .

Акустическая проводимость , обозначенная G , и акустическая восприимчивость , обозначенная B , являются действительной и мнимой частью акустической проводимости соответственно: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

куда

• в Y ( s ) G ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости G ( t ) во временной области , Y ( s ) есть;
• в Y ( ω ), G ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( ω ) есть;
• в Y ( t ), G ( t ) - это акустическая проводимость во временной области, а B ( t ) - это преобразование Гильберта для акустической проводимости во временной области G ( t ), согласно определению аналитического представления.

Акустическое сопротивление представляет собой перенос энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа выполняется в среде перед волной; кроме того, он представляет давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает средней передачи энергии. ^{[ необходима цитата ]} Например, в закрытой колбе, соединенной с трубкой органа, будет поступать воздух и давление, но они не в фазе, поэтому в нее не передается чистая энергия. Когда давление повышается, воздух входит, а когда он падает, он движется наружу, но среднее давление при входе воздуха такое же, как и при его выходе, поэтому мощность течет вперед и назад, но без усредненной по времени энергии передача. ^{[ необходима цитата ]}Другая электрическая аналогия - конденсатор, подключенный к линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он не в фазе с напряжением, поэтому полезная мощность в него не передается.

Удельный акустический импеданс [ править ]

Для линейной системы, не зависящей от времени , соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке его приложения определяется выражением

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

или эквивалентно:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

куда

• p - акустическое давление;
• v - скорость частицы;
• r - удельное акустическое сопротивление во временной области ;
• g = r ^-1 - удельная акустическая проводимость во временной области ( r ^-1 - свертка, обратная r ). ^{[ необходима цитата ]}

Удельный акустический импеданс , обозначенный z, представляет собой преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области : ^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где v ⁻¹ - свертка, обратная к v .

Удельное акустическое сопротивление , обозначенное r , и удельное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное x , являются действительной и мнимой частью удельного акустического импеданса соответственно: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

куда

• в z ( s ), r ( s ) не является преобразованием Лапласа удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( s ) равно;
• в z ( ω ), r ( ω ) не является преобразованием Фурье удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( ω ) равно;
• в z ( t ), r ( t ) - удельное акустическое сопротивление во временной области, а x ( t ) - это преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления r ( t ) во временной области в соответствии с определением аналитического представления.

Удельное индуктивное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное x _L , и удельное емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное x _C , являются положительной и отрицательной частью удельного акустического реактивного сопротивления соответственно: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая y , представляет собой преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области : ^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

куда

• z ⁻¹ - свертка, обратная z ;
• p ⁻¹ - свертка, обратная p .

Удельная акустическая проводимость , обозначенная g , и удельная акустическая восприимчивость , обозначенная b , являются действительной и мнимой частью удельной акустической проводимости соответственно: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

куда

• в y ( s ), g ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости временной области g ( t ), y ( s ) равно;
• в y ( ω ), g ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( ω ) есть;
• в y ( t ), g ( t ) - акустическая проводимость во временной области, а b ( t ) - это преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g ( t ) в соответствии с определением аналитического представления.

Удельный акустический импеданс z - это интенсивное свойство конкретной среды (например, можно указать z воздуха или воды); с другой стороны, акустический импеданс Z является обширным свойством конкретной среды и геометрии (например, можно указать Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом). ^{[ необходима цитата ]}

Отношения [ править ]

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , объемный акустический расход Q представляет собой объем среды, проходящей через отверстие в секунду; если акустический поток перемещается на расстояние d x = v d t , тогда объем проходящей среды равен d V = A d x , поэтому: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

При условии, что волна только одномерная, она дает

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

Характеристический акустический импеданс [ править ]

Характеристический удельный акустический импеданс [ править ]

Основной закон недисперсной линейной акустики в одном измерении устанавливает связь между напряжением и деформацией: ^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

куда

• p - акустическое давление в среде;
• ρ - объемная массовая плотность среды;
• c - скорость распространения звуковых волн в среде;
• δ - смещение частицы ;
• x - пространственная переменная вдоль направления распространения звуковых волн.

Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел. В

• жидкости , ρc ² = K ( K означает объемный модуль );
• твердых тел , ρc ² = K + 4/3 G ( G означает модуль сдвига ) для продольных волн и ρc ² = G для поперечных волн . ^{[ необходима цитата ]}

Второй закон Ньютона, применяемый локально в среде, дает: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

В плоские волны

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

которые являются решениями этого волнового уравнения, состоят из суммы двух прогрессивных плоских волн, движущихся вдоль x с одинаковой скоростью и противоположными способами : ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

из которого можно вывести

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Для прогрессивных плоских волн: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

или же

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

Наконец, удельный акустический импеданс z равен

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^{[ необходима цитата ]}

Абсолютное значение этого специфического акустического импеданса часто называют характеристику конкретных акустическим импедансом и обозначаются г ₀ : ^[1]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Уравнения также показывают, что

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

Влияние температуры [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверяя сделанные утверждения и добавляя встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Март 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Температура влияет на скорость звука и массовую плотность и, следовательно, на удельный акустический импеданс.

Характеристический акустический импеданс [ править ]

Для одномерной волны, проходящей через отверстие с площадью A , Z = z / A , поэтому, если волна является прогрессивной плоской волной, то: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

Абсолютное значение этого акустического импеданса часто называют характерный акустический импеданс и обозначается Z ₀ : ^[1]

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

а характеристический удельный акустический импеданс равен

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

Если отверстие с площадью A является началом трубы и в трубу направляется плоская волна, волна, проходящая через отверстие, будет прогрессивной плоской волной в отсутствие отражений, и обычно отражения от другого конца трубы. , открытые или закрытые, представляют собой сумму волн, движущихся от одного конца до другого. ^{[ необходима цитата ]} (Возможно отсутствие отражений, когда труба очень длинная, из-за длительного времени, необходимого для возвращения отраженных волн, и их затухания за счет потерь на стенке трубы. ^{[ необходима цитата ]} ) Такие отражения и возникающие стоячие волны очень важны в конструкции и работе музыкальных духовых инструментов. ^{[ цитата необходима]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Что такое акустический импеданс и почему это важно?
• Волновое уравнение для звука