Акустоупругий эффект

Акустоупругости эффект является как скорости звука (обе продольные и поперечные волновые скорости) требуемого упругого материала изменения , если подвергается воздействию статического исходного напряжения поля. Это нелинейный эффект определяющей связи между механическим напряжением и конечной деформацией в материале с непрерывной массой . В классической линейной теории упругости малые деформации большинства упругих материалов можно описать линейной зависимостью между приложенным напряжением и результирующей деформацией. Эта связь широко известна как обобщеннаяЗакон Гука . Теория линейной упругости включает в себя упругие постоянные второго порядка (например, и ) и дает постоянные продольные скорости и скорости звука сдвига в упругом материале, на который не влияет приложенное напряжение. Акустоупругий эффект, с другой стороны, включает расширение более высокого порядка определяющей связи (нелинейная теория упругости ^[1] ) между приложенным напряжением и результирующей деформацией, что дает продольные и поперечные скорости звука, зависящие от напряженного состояния материала. В пределе ненапряженного материала воспроизводятся скорости звука линейной теории упругости.${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mu}$

Акустоупругий эффект исследовал еще в 1925 г. Бриллюэн. ^[2] Он обнаружил, что скорость распространения акустических волн будет уменьшаться пропорционально приложенному гидростатическому давлению. Однако следствием его теории было то, что звуковые волны перестали распространяться при достаточно большом давлении. Позже было показано, что этот парадоксальный эффект вызван неверными предположениями о том, что на упругие параметры не влияет давление. ^[3]

В 1937 г. Мурнаган ^[4] представил математическую теорию, расширяющую линейную теорию упругости, чтобы также включить конечную деформацию в упругих изотропных материалах. Эта теория включала три упругие постоянные третьего порядка , и . В 1953 году Хьюз и Келли ^[5] использовали теорию Мурнагана в своей экспериментальной работе, чтобы установить численные значения упругих постоянных более высокого порядка для нескольких эластичных материалов, включая полистирол , армко- железо и пирекс , подвергнутых гидростатическому давлению и одноосному сжатию .${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Нелинейная теория упругости для гиперупругих материалов [ править ]

Акустоупругий эффект - это эффект конечной деформации нелинейно-упругих материалов. Современное исчерпывающее описание этого можно найти в ^{[1]. В} этой книге рассматривается применение теории нелинейной упругости и анализ механических свойств твердых материалов, способных к большим упругим деформациям. Частный случай акустоупругой теории для сжимаемого изотропного гиперупругого материала , такого как поликристаллическая сталь, ^[6] воспроизведен и показан в этом тексте из нелинейной теории упругости, представленной Огденом. ^[1]

Обратите внимание, что установка в этом тексте, а также в ^[1] является изотермической , и никаких ссылок на термодинамику не делается .

Материальная связь - гиперупругие материалы (отношение напряжения к деформации) [ править ]

Гиперупругий материал - это частный случай эластичного материала Коши, в котором напряжение в любой точке является объективным и определяется только текущим состоянием деформации относительно произвольной эталонной конфигурации (более подробную информацию о деформации см. Также на страницах Деформация (механика) ) и Конечная деформация ). Однако работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от траектории деформации. Следовательно, эластичный материал Коши имеет неконсервативную структуру, и напряжение не может быть получено из скалярного упругого потенциала.функция. Частный случай эластичных материалов Коши, где работа, выполняемая напряжениями, не зависит от траектории деформации, называется эластичным или гиперупругим материалом Грина. Такие материалы являются консервативными, и напряжения в материале могут быть получены с помощью скалярного упругого потенциала, более известного как функция плотности энергии деформации .

Материальная связь между напряжением и деформацией может быть выражена в различных формах в зависимости от выбранных форм напряжения и деформации. Выбор 1 - й Пиолов-Кирхгоф тензора напряжений (который является транспонированным от номинального тензора напряжений ), конститутивное уравнением для упругого материала сжимаемого гипера может быть выражен в терминах штамма лагранжиан Green ( ) , как:${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} ^ {T} = {\ boldsymbol {N}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{ij}=F_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial E_{kj}}},\qquad i,j=1,2,3~,}$

где - тензор градиента деформации , а второе выражение использует соглашение Эйнштейна о суммировании для индексной записи тензоров . представляет собой функцию плотности энергии деформации для гиперупругого материала и были определены на единицу объема, а не на единицу массы, поскольку это позволяет избежать необходимости умножать правую часть на плотность массы эталонной конфигурации. ^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

Предполагая, что скалярная функция плотности энергии деформации может быть аппроксимирована разложением в ряд Тейлора по текущей деформации , ее можно выразить (в индексных обозначениях) как:${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$

${\displaystyle W\approx C_{0}+C_{ij}E_{ij}+{\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots }$

Налагая ограничения на то, что функция энергии деформации должна быть равна нулю и иметь минимум, когда материал находится в недеформированном состоянии (т. Е. ), Становится ясно, что в функции энергии деформации нет постоянного или линейного члена, и, таким образом:${\displaystyle W(E_{ij}=0)=0}$

${\displaystyle W\approx {\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots ,}$

где - тензор четвертого порядка модулей упругости второго порядка , а - тензор шестого порядка модулей упругости третьего порядка. Симметрия вместе со скалярной функцией плотности энергии деформации означает, что модули второго порядка обладают следующей симметрией:${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle E_{ij}=E_{ji}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle C_{ijkl}}$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk},}$

которые уменьшают количество независимых упругих постоянных с 81 до 36. Кроме того, степенное разложение означает, что модули второго порядка также обладают основной симметрией

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij},}$

которые дополнительно уменьшают количество независимых упругих постоянных до 21. Те ​​же аргументы могут быть использованы для модулей упругости третьего порядка . Эти симметрии также позволяют выражать модули упругости с помощью обозначений Фойгта (т. Е. И ).${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{IJ}}$${\displaystyle C_{ijklmn}=C_{IJK}}$

Тензор градиента деформации может быть выражен в компонентной форме как

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+\delta _{ij},}$

где - смещение материальной точки от координаты в исходной конфигурации к координате в деформированной конфигурации (см. рисунок 2 на странице теории конечных деформаций). Включение степенного разложения функции энергии деформации в определяющее соотношение и замена лагранжевого тензора деформации разложением, приведенным на странице тензора конечной деформации, дает (обратите внимание, что в этом разделе использовались нижний регистр по сравнению с верхним регистром на странице конечной деформации. ) материальное уравнение${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle E_{kl}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}+{\frac {1}{2}}M_{ijklmn}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}+{\frac {1}{3}}M_{ijklmnpq}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}{\frac {\partial u_{p}}{\partial X_{q}}}+\cdots ,}$

где

${\displaystyle M_{ijklmn}=C_{ijklmn}+C_{ijln}\delta _{km}+C_{jnkl}\delta _{im}+C_{jlmn}\delta _{ik},}$

и члены более высокого порядка не учитывались ^{[7] [8]} ( подробные выводы см. в ^[9] ). Для справки M, пренебрегая членами более высокого порядка в этом выражении, сводим к тому, что является версией обобщенного закона Гука, где - мера напряжения, а - мера деформации и - линейная связь между ними.${\displaystyle \partial u_{k}/\partial X_{l}}$${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}},}$${\displaystyle P_{ij}}$${\displaystyle \partial u_{k}/\partial X_{l}}$${\displaystyle C_{ijkl}}$

Скорость звука [ править ]

Предполагая, что небольшая динамическая (акустическая) деформация нарушает уже статически напряженный материал, акустоупругий эффект можно рассматривать как эффект небольшой деформации, накладываемый на большую конечную деформацию (также называемый теорией малого на большом). ^[8] Определим три состояния данной материальной точки. В исходном (ненапряженном) состоянии точка определяется вектором координат, в то время как та же точка имеет вектор координат в статическом исходно напряженном состоянии (то есть под воздействием приложенного предварительного напряжения). Наконец, предположим, что материальная точка при небольшом динамическом возмущении (поле акустических напряжений) имеет вектор координат${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x'}}}$. Общее смещение материальных точек (под действием как статического предварительного напряжения, так и динамического акустического возмущения) может быть описано векторами смещения.

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {X}},}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}},\qquad {\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {x}}}$

описывает статическое (лагранжевое) начальное смещение из-за приложенного предварительного напряжения и (эйлерово) смещение из-за акустического возмущения соответственно. Первый закон движения Коши (или баланс количества движения) для дополнительного эйлерова возмущения может быть затем выведен в терминах промежуточной лагранжевой деформации, предполагая, что предположение малого на большом${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$

${\displaystyle |{\boldsymbol {u}}^{(1)}|<<|{\boldsymbol {u}}^{(0)}||}$

держит. Используя лагранжеву форму первого закона движения Коши , в которой пренебрегается влиянием постоянной объемной силы (т. Е. Силы тяжести), получаем

${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}.}$

Обратите внимание, что нижний индекс / верхний индекс «0» используется в этом тексте для обозначения эталонного состояния без напряжения, а пунктирная переменная, как обычно, является производной переменной по времени ( ) t {\displaystyle t} и является оператором дивергенции относительно лагранжевой координаты. система .${\displaystyle \operatorname {Div} }$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

Правая сторона (время зависит часть) закона движения может быть выражена как

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

в предположении, что как ненапряженное состояние, так и начальное деформационное состояние статичны и, следовательно .${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}({\boldsymbol {u}}^{(0)})=\partial ^{2}/\partial t^{2}({\boldsymbol {X}})=0}$

Для левой части (часть, зависящая от пространства) пространственные частные производные Лагранжа по отношению к можно разложить в эйлеровом уравнении , используя цепное правило и изменяя переменные через связь между векторами смещения как ^[8]${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+u_{k,j}^{(0)}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\cdots }$

где была использована краткая форма . Таким образом${\displaystyle u_{k,j}^{(0)}\equiv \partial u_{k}^{(0)}/\partial x_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial X_{j}}}\approx {\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{j}}}+u_{p.j}^{(0)}{\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{p}}}}$

Если предположить, что статическая начальная деформация (предварительно напряженное состояние) находится в равновесии, это означает, что и закон движения в сочетании с определяющим уравнением, приведенным выше, может быть сведен к линейной зависимости (т.е. где члены более высокого порядка ) между статическая начальная деформация и дополнительное динамическое возмущение как ^[7] ( подробные выводы см. в ^[9] )${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$${\displaystyle \operatorname {(} Div){\boldsymbol {P}}^{(0)}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle u_{m,n}^{(0)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle B_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}^{(1)}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u_{i}^{(1)}}{\partial t^{2}}},}$

где

${\displaystyle B_{ijkl}=C_{ijkl}+\delta _{ik}C_{jlqr}u_{q,r}^{(0)}+C_{rjkl}u_{i,r}^{(0)}+C_{irkl}u_{j,r}^{(0)}+C_{ijrl}u_{k,r}^{(0)}+C_{ijkr}u_{l,r}^{(0)}+C_{ijklmn}u_{m,n}^{(0)}.}$

Это выражение принято называть линейным волновым уравнением . Рассматривая плоскую волну вида

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {m}}\,f({\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {x}}-ct),}$

где - лагранжев единичный вектор в направлении распространения (т. е. параллельно волновому числу, нормальному к фронту волны), - единичный вектор, называемый вектором поляризации (описывающий направление движения частицы), - фазовая скорость волны , и является дважды непрерывно дифференцируемой функцией (например, синусоидальной функцией). Подставляя эту плоскую волну в полученное выше линейное волновое уравнение, получаем ^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}=k{\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}=\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {m}}}$

где вводится как акустический тензор и зависит от as ^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})]_{ik}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}.}$

Это выражение называется условием распространения и определяет для данного направления распространения скорость и поляризацию возможных волн, соответствующих плоским волнам. Скорости волн можно определить по характеристическому уравнению ^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$

${\displaystyle \operatorname {det} ({\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})-\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {I}})=0,}$

где - определитель, а - единичная матрица .${\displaystyle \operatorname {det} }$${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Поскольку гиперупругой материал является симметричным (но не в целом), собственные значения ( ), таким образом, являются действительными. Чтобы скорости волн также были действительными, собственные значения должны быть положительными. ^[1] В этом случае для данного направления распространения существуют три взаимно ортогональных реальных плоских волны . Из двух выражений акустического тензора видно, что ^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$${\displaystyle \rho _{0}c^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle \rho _{0}c^{2}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {m}}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k},}$

и неравенство (также называемое условием сильной эллиптичности) для всех ненулевых векторов и гарантируют, что скорость однородных плоских волн действительна. Поляризация соответствует продольной волне, в которой движение частицы параллельно направлению распространения (также называемой волной сжатия). Две поляризации, где соответствуют поперечным волнам, где движение частицы ортогонально направлению распространения (также называемые поперечными волнами). ^[10]${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {N}}=0}$

Изотропные материалы [ править ]

Модули упругости для изотропных материалов [ править ]

Для изотропного тензора второго порядка (т. Е. Тензора, имеющего одинаковые компоненты в любой системе координат), подобного тензору лагранжевой деформации, есть инварианты, где - оператор следа , и . Таким образом, функция энергии деформации изотропного материала может быть выражена или их суперпозиция может быть переписана как ^[8]${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle q\in \left\{1,2,3,\dots \right\}}$${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})=W(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}),\,k\in \left\{1,2,3,\ldots \right\}}$

${\displaystyle W={\frac {\lambda }{2}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{2}+\mu \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {C}{3}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{3}+B(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {A}{3}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{3}+\cdots ,}$

где - константы. Константы и являются модулями упругости второго порядка, более известными как параметры Ламе , а и являются модулями упругости третьего порядка, введенными ^[11], которые являются альтернативными, но эквивалентными и введенными Мурнаганом. ^[4] Комбинируя это с общим выражением для функции энергии деформации, становится ясно, что ^[8]${\displaystyle \lambda ,\mu ,A,B,C}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle l,m,}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta I_{ijkl},\\C_{ijklmn}&=2C\delta _{ij}\delta _{kl}\delta _{mn}+2B(\delta _{ij}I_{klmn}+\delta _{kl}I_{mnij}+\delta _{mn}I_{ijkl})+{\frac {1}{2}}A(\delta _{ik}I_{jlmn}+\delta _{il}I_{jkmn}+\delta _{jk}I_{ilmn}+\delta _{jl}I_{ikmn}),\end{aligned}}\!\,}$

где . Использовался исторически другой выбор этих упругих постоянных третьего порядка, и некоторые из вариантов показаны в таблице 1.${\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$

Таблица 1: Связь между упругими постоянными третьего порядка для изотропных твердых тел ^[7]

Ландау и Лифшиц (1986) [11]	Тупин и Бернштейн (1961) [12]	Мурнаган (1951) [4]	Блэнд (1969) [13]	Эринген и Сухуби (1974) [14]	Стандарт C I J K {\displaystyle C_{IJK}}
${\displaystyle A}$	${\displaystyle \nu _{1}=2C}$	${\displaystyle l=B+C}$	${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{3}}C}$	${\displaystyle l_{E}={\frac {1}{3}}A+B+{\frac {1}{3}}C}$	${\displaystyle C_{123}=2C}$	${\displaystyle C_{111}=2A+6B+2C}$
${\displaystyle B}$	${\displaystyle \nu _{2}=B}$	${\displaystyle m={\frac {1}{2}}A+B}$	${\displaystyle \beta =B}$	${\displaystyle m_{E}=-A-2B}$	${\displaystyle C_{144}=B}$	${\displaystyle C_{112}=2B+2C}$
${\displaystyle C}$	${\displaystyle \nu _{3}={\frac {1}{4}}A}$	${\displaystyle n=A}$	${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{3}}A}$	${\displaystyle n_{E}=A}$	${\displaystyle C_{456}={\frac {1}{4}}A}$	${\displaystyle C_{166}={\frac {1}{2}}A+B}$

Примеры значений для стали [ править ]

В таблицах 2 и 3 представлены упругие постоянные второго и третьего порядка для некоторых типов сталей, представленных в литературе.

Таблица 2: Константы Ламе и Тупена и Бернштейна в ГПа

	Константы Ламе		Константы Тупена и Бернштейна
Материал	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \nu _{1}}$	${\displaystyle \nu _{2}}$	${\displaystyle \nu _{3}}$
Hecla 37 (0,4% C) [15]	${\displaystyle 111\pm 1}$	${\displaystyle 82.1\pm 0.5}$	${\displaystyle -385\pm 70}$	${\displaystyle -282\pm 30}$	${\displaystyle -177\pm 8}$
Hecla 37 (0,6% C) [15]	${\displaystyle 110.5\pm 1}$	${\displaystyle 82.0\pm 0.5}$	${\displaystyle -134\pm 20}$	${\displaystyle -261\pm 20}$	${\displaystyle -167\pm 6}$
Hecla 138A [15]	${\displaystyle 109\pm 1}$	${\displaystyle 81.9\pm 0.5}$	${\displaystyle -323\pm 50}$	${\displaystyle -265\pm 30}$	${\displaystyle -177\pm 10}$
Сталь Rex 535 Ni [15]	${\displaystyle 109\pm 1}$	${\displaystyle 81.8\pm 0.5}$	${\displaystyle -175\pm 50}$	${\displaystyle -240\pm 50}$	${\displaystyle -169\pm 15}$
Hecla ATV аустенитный [15]	${\displaystyle 87\pm 2}$	${\displaystyle 71.6\pm 3}$	${\displaystyle 34\pm 20}$	${\displaystyle -552\pm 80}$	${\displaystyle -100\pm 10}$

Таблица 3: Константы Ламе и Мурнагана в ГПа

	Константы Ламе		Константы Мурнагана
Материал	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle m}$	${\displaystyle n}$
Никель-сталь S / NVT [16]	${\displaystyle 109.0\pm 1}$	${\displaystyle 81.7\pm 0.2}$	${\displaystyle -56\pm 20}$	${\displaystyle -671\pm 6}$	${\displaystyle -785\pm 7}$
Рельсовая сталь образец 1 [17]	${\displaystyle 115.8\pm 2.3\%}$	${\displaystyle 79.9\pm 2.3\%}$	${\displaystyle -248\pm 2.8\%}$	${\displaystyle -623\pm 4.1\%}$	${\displaystyle -714\pm 2.7\%}$
Рельсовая сталь образец 4 [17]	${\displaystyle 110.7\pm 2.3\%}$	${\displaystyle 82.4\pm 2.3\%}$	${\displaystyle -302\pm 2.8\%}$	${\displaystyle -616\pm 4.1\%}$	${\displaystyle -724\pm 2.7\%}$

Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов [ править ]

Кубический образец сжимаемого твердого вещества в ненапряженной эталонной конфигурации может быть выражен с помощью декартовых координат , где геометрия совмещена с лагранжиана системы координат, и длина сторон параллелепипеда в эталонной конфигурации. Подвергая кубоид одноосному растяжению в -направлении, так что он деформируется с чистой однородной деформацией, так что координаты материальных точек в деформированной конфигурации могут быть выражены как , что дает удлинения${\displaystyle X_{i}\in [0,L_{i}],\,i=1,2,3}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}=\lambda _{1}X_{1},x_{2}=\lambda _{2}X_{2},x_{3}=\lambda _{3}X_{3}}$

${\displaystyle e_{i}\equiv l_{i}/L_{i}-1=\lambda _{i}-1}$

в направлении. Здесь означает текущую (деформированную) длину стороны кубоида, а соотношение между длинами сторон в текущей и эталонной конфигурации обозначено как${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle l_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \lambda _{i}\equiv l_{i}/L_{i}}$

называется главными участками. Для изотропного материала это соответствует деформации без вращения (см. Полярное разложение тензора градиента деформации, где и вращение ). Это можно описать с помощью спектрального представления главными участками как собственными значениями или, что эквивалентно, удлинениями .${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {RU}}={\boldsymbol {VR}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {I}}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Для одноосного растяжения в направлении оси ( мы предполагаем , что увеличение на некоторой величине. Если боковые грани свободны от тяги (т.е. ) боковых удлинений и ограничены диапазону . Для изотропной симметрии боковых удлинений (или сжимаясь) должны также равны (т.е. ). Диапазон соответствует диапазону от полного бокового сжатия ( которое не является физическим) и до отсутствия изменений в боковых размерах ( ). Следует отметить, что теоретически диапазон может быть расширен до значений больших чем 0, что соответствует увеличению боковых размеров в результате увеличения осевого размера. Однако очень мало материалов (называемых ауксетическими${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle P_{11}>0}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle P_{22}=P_{33}=0}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle e_{2},e_{3}\in (-1,0]}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}=-1}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}=0}$ материалы) демонстрируют это свойство.

Расширение скоростей звука [ править ]

Если выполняется условие сильной эллиптичности ( ), три ортогонально поляризационных направления ( дадут ненулевую и реальную скорость звука для данного направления распространения . Далее будут выведены скорости звука для - одного выбора приложенного одноосного натяжения, направления распространения и ортонормированный набор векторов поляризации. Для одноосного натяжения, приложенного в -направлении, и получения скоростей звука для волн, распространяющихся перпендикулярно приложенному натяжению (например, в -направлении с вектором распространения ), можно выбрать один из ортонормированных поляризаций.${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=[0,0,1]}$

${\displaystyle \{{\boldsymbol {m}}\}={\begin{cases}\mathbf {m} _{1}=\mathbf {\hat {x}} _{1}=[1,0,0]&\|\,{\textrm {to}}\,{\textrm {applied}}\,{\textrm {tension}}\\\mathbf {m} _{2}=\mathbf {\hat {x}} _{2}=[0,1,0]&\perp {\textrm {to}}\,{\textrm {applied}}\,{\textrm {tension}}\\\mathbf {m} _{3}=\mathbf {\hat {x}} _{3}=[0,0,1]&\|\,{\textrm {to}}\,\mathbf {N} \end{cases}}}$

что дает три скорости звука

${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=B_{3333},\qquad \rho _{0}c_{31}^{2}=B_{1313},\qquad \rho _{0}c_{32}^{2}=B_{2323},}$

где первый индекс скоростей звука указывает направление распространения (здесь - направление, а второй индекс указывает выбранное направление поляризации ( соответствует движению частицы в направлении распространения - т.е. продольной волне, и соответствует движению частицы перпендикулярно направлению распространения направление - т.е. поперечная волна).${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{ij}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$

Расширение соответствующих коэффициентов акустического тензора и подставляя модули упругости второго и третьего порядок , и с их изотропными эквивалентами, и , соответственно, приводит к скорости звука , выраженной в${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle A,B,C}$

${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=\lambda +2\mu +a_{33}e_{1},\qquad \rho _{0}c_{3k}^{2}=\mu +a_{3k}e_{1},\quad k=1,2}$

где

${\displaystyle a_{33}=-{\frac {2\lambda (\lambda +2\mu )+\lambda A+2(\lambda -\mu )B-2\mu C}{\lambda +\mu }}}$

${\displaystyle a_{31}={\frac {(\lambda +2\mu )(4\mu +A)+4\mu B}{4(\lambda +\mu )}}}$

${\displaystyle a_{32}=-{\frac {\lambda (4\mu +A)-2\mu B}{2(\lambda +\mu )}}}$

- коэффициенты акустоупругости, связанные с эффектами упругих постоянных третьего порядка. ^[18]

Методы измерения [ править ]

Чтобы иметь возможность измерить скорость звука и, в частности, изменение скорости звука в материале, находящемся в некотором напряженном состоянии, можно измерить скорость акустического сигнала, распространяющегося через рассматриваемый материал. Для этого существует несколько методов, но все они используют одно из двух физических соотношений скорости звука. Первое соотношение связано со временем, которое требуется сигналу для распространения из одной точки в другую (обычно расстояние между двумя акустическими преобразователями или двукратное расстояние от одного преобразователя до отражающей поверхности). Это часто называют измерениями «время пролета» (TOF), и используют соотношение

${\displaystyle c={\frac {d}{t}}}$

где - расстояние, которое проходит сигнал, и - время, необходимое для прохождения этого расстояния. Второе соотношение связано с обратной зависимостью частоты сигнала от времени. Отношение здесь${\displaystyle d}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle c=f\lambda }$

где - частота сигнала, - длина волны . Измерения с использованием частоты в качестве измеряемой величины используют явление акустического резонанса, когда количество длин волн соответствует длине, на которой резонирует сигнал. Оба эти метода зависят от расстояния, на котором они измеряются, либо напрямую, как во время пролета, либо косвенно через согласованное количество длин волн на физическом протяжении образца, которые резонируют.${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$

Пример методов ультразвукового контроля [ править ]

В общем, есть два способа настроить систему преобразователя для измерения скорости звука в твердом теле. Один из них - это установка с двумя или более преобразователями, где один действует как передатчик, а другой (и) действует как приемник. Затем измерение скорости звука может быть выполнено путем измерения времени между генерацией сигнала в передатчике и его записью в приемнике, предполагая, что известно (или измерено) расстояние, которое акустический сигнал прошел между преобразователями, или, наоборот, Измерьте резонансную частоту, зная толщину, на которой волна резонирует. Другой тип настройки часто называют эхо-импульсным.система. Здесь один преобразователь помещается рядом с образцом, действуя как передатчик и приемник. Для этого требуется отражающий интерфейс, где сгенерированный сигнал может быть отражен обратно к преобразователю, который затем действует как приемник, записывающий отраженный сигнал. См. Ультразвуковой контроль для некоторых систем измерения.

Продольные и поляризованные поперечные волны [ править ]

Как объяснялось выше, набор из трех ортонормированных поляризаций ( ) движения частицы существует для данного направления распространения в твердом теле. Для измерительных установок, в которых преобразователи могут быть прикреплены непосредственно к исследуемому образцу, можно создать эти три поляризации (одну продольную и две ортогональные поперечные волны), применяя различные типы преобразователей, возбуждающих желаемую поляризацию (например, пьезоэлектрические преобразователи с необходимой поляризацией). режим колебаний${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$). Таким образом, можно измерить скорость звука волн со всеми тремя поляризациями с помощью зависящих от времени или частотно-зависимых измерительных установок в зависимости от выбора типа преобразователя. Однако, если преобразователь не может быть прикреплен к испытуемому образцу, необходима связующая среда для передачи акустической энергии от преобразователя к образцу. В качестве связывающей среды часто используются вода или гели. Для измерения продольной скорости звука этого достаточно, однако жидкости не переносят поперечные волны, и, таким образом, чтобы иметь возможность генерировать и измерять скорость поперечных волн в испытуемом образце, падающая продольная волна должна взаимодействовать с жидкостью под косым углом. / solid surface для генерации поперечных волн за счет преобразования мод. Такие поперечные волны затем преобразуются обратно в продольные волны на поверхности твердого тела / жидкости, распространяющиеся обратно через жидкость к регистрирующему преобразователю, что позволяет измерять скорости поперечных волн также через соединительную среду.

Приложения [ править ]

Технические материалы - оценка напряжений [ править ]

Поскольку отрасль стремится снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт, неразрушающий контроль конструкций становится все более ценным как для производственного контроля, так и как средство измерения использования и состояния ключевой инфраструктуры. Существует несколько методов измерения напряжения в материале . Однако методы, использующие оптические измерения, магнитные измерения, дифракцию рентгеновских лучей и дифракцию нейтронов , ограничиваются измерением поверхностных или приповерхностных напряжений или деформаций. Акустические волны с легкостью распространяются через материалы и, таким образом, предоставляют средства для исследования внутренних частей конструкций, где уровень напряжений и деформаций важен для общегоструктурная целостность . Поскольку скорость звука таких нелинейных эластичных материалов (включая обычные конструкционные материалы, такие как алюминий и сталь ) зависит от напряжения, одним из применений акустоупругого эффекта может быть измерение напряженного состояния внутри загруженного материала с использованием различных акустических датчиков. (например, ультразвуковой контроль ) для измерения изменения скорости звука.

Гранулированные и пористые материалы - геофизика [ править ]

Сейсмология изучает распространение упругих волн через Землю и используется, например, в исследованиях землетрясений и при картировании недр Земли . Внутри Земли действует различное давление, и поэтому акустические сигналы могут проходить через среду в различных напряженных состояниях. Таким образом, акустоупругая теория может представлять практический интерес, когда нелинейное волновое поведение может использоваться для оценки геофизических свойств. ^[8]

Мягкие ткани - медицинское УЗИ [ править ]

Другие приложения могут быть в медицинской сонографии и эластографии, измеряющей уровень напряжения или давления в соответствующих типах эластичных тканей (например, ^{[19] [20] [21]} ), улучшая неинвазивную диагностику .

См. Также [ править ]

• Акустоэластография
• Конечная деформация
• Скорость звука
• Ультразвуковой контроль

Ссылки [ править ]