Отношение адекватной эквивалентности

В алгебраической геометрии , разделе математики , адекватное отношение эквивалентности - это отношение эквивалентности на алгебраических циклах гладких проективных многообразий, используемое для получения хорошо работающей теории таких циклов и, в частности, четко определенных произведений пересечений . Пьер Самуэль формализовал концепцию адекватного отношения эквивалентности в 1958 году ^[1]. С тех пор оно стало центральным в теории мотивов. Для каждого адекватного отношения эквивалентности, можно определить категорию из чистых побуждений по отношению к этому отношению.

Возможные (и полезные) адекватные отношения эквивалентности включают рациональную , алгебраическую , гомологическую и числовую эквивалентность . Они называются «адекватными», потому что деление с помощью отношения эквивалентности является функториальным , т. Е. Продвижение вперед (с изменением коразмерности) и возврат циклов четко определены. Коразмерность 1 циклы по модулю рациональной форме эквивалентности классической группы из делителей . Все циклы по модулю рациональной эквивалентности образуют кольцо Чжоу .

Определение [ править ]

Пусть Z ^* ( Х ): = Z [ X ] свободная абелева группа на алгебраических циклов X . Тогда адекватное отношение эквивалентности семейство отношений эквивалентности , ~ _X на Z ^* ( X ), по одному для каждой из гладкого проективного многообразия X , удовлетворяющая следующим трем условиям:

(Линейность) Отношение эквивалентности совместимо с сложением циклов.
( Лемма о перемещении ) Если - циклы на X , то существует такой цикл , что ~ _X и правильно пересекается . ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в Z ^ {*} (X)}$ ${\ Displaystyle \ альфа '\ в Z ^ {*} (X)}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ ${\ displaystyle \ beta}$
(Толкаем вперед) Позвольте и быть циклами, которые пересекаются правильно. Если ~ _X 0, то ~ _Y 0, где - проекция. ${\ Displaystyle \ альфа \ в Z ^ {*} (X)}$ ${\ Displaystyle \ бета \ в Z ^ {*} (X \ раз Y)}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha \ times Y}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle (\ пи _ {Y}) _ {*} (\ бета \ cdot (\ альфа \ раз Y))}$ ${\ displaystyle \ pi _ {Y}: X \ times Y \ to Y}$

Цикл продвижения вперед в последней аксиоме часто обозначается

{\ Displaystyle \ бета (\ альфа): = (\ пи _ {Y}) _ {*} (\ бета \ cdot (\ альфа \ раз Y))}

Если это график , из функции , то это сводится к толкающий вперед функции. Обобщения функций из X в Y до циклов на X × Y известны как соответствия . Последняя аксиома позволяет нам продвигать циклы по соответствию. ${\ displaystyle \ beta}$

Примеры отношений эквивалентности [ править ]

Наиболее распространенные отношения эквивалентности, перечисленные в порядке от наиболее сильного к наиболее слабому, собраны в следующей таблице.

	определение	замечания
рациональная эквивалентность	Z ∼ _ratZ ', если существует цикл V на X × P ^1, плоский над P ¹ , такой, что [ V ∩ X × {0}] - [ V ∩ X × {∞}] = [ Z ] - [ Z' ].	тончайшее адекватное отношение эквивалентности (лемма 3.2.2.1 в книге Ива Андре ^[2] ) "∩" обозначает пересечение в теоретико-циклическом смысле (т.е. с кратностями) и [ . ] обозначает цикл, связанный с подсхемой. см. также Кольцо Чау
алгебраическая эквивалентность	Z ∼ _alg Z ′, если существуют кривая C и цикл V на X × C, плоский над C , такие, что [ V ∩ X × { c }] - [ V ∩ X × { d }] = [ Z ] - [ Z ' ] для двух точек c и d на кривой.	Строго сильнее, чем гомологическая эквивалентность, как измерено группой Гриффитса . См. Также группу Нерона – Севери .
полная эквивалентность нильпотентности	Z ∼ _sn Z ′, если Z - Z ′ ударно-нильпотентен на X , т.е. если ∼ _rat 0 на X ⁿ при n >> 0. ${\ Displaystyle (Z-Z ') ^ {\ otimes п}}$	введен Воеводским в 1995 г. ^[3]
гомологическая эквивалентность	для данной когомологии Вейля H , Z ∼ _hom Z ′, если образ циклов при отображении классов циклов совпадает	априори зависит от выбора H , не предполагая стандартной гипотезы D
числовая эквивалентность	Z ∼ _num Z ′, если deg ( Z ∩ T ) = deg ( Z ′ ∩ T ), где T - любой цикл такой, что dim T = codim Z (Пересечение - это линейная комбинация точек, и мы складываем кратности пересечения в каждой точке. укажите, чтобы получить степень.)	самое грубое отношение эквивалентности (упражнение 3.2.7.2 в книге Ива Андре ^[4] )

Примечания [ править ]

^ Самуэль, Пьер (1958), "Отношения эквивалентности в альгебрике" (PDF) , Proc. ICM , Cambridge Univ. Пресса: 470-487, архивируются от оригинала (PDF) на 2017-07-22 , извлекаются 2015-07-22
↑ André, Yves (2004), Une Introduction aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , Париж: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000
^ Воеводский, В. (1995), "Теорема о нильпотентности для циклов, алгебраически эквивалентных 0", Int. Математика. Res. Уведомления , 4 : 1–12
↑ André, Yves (2004), Une Introduction aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , Париж: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

Ссылки [ править ]

Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорте, Ф. (ред.), Алгебраическая геометрия, Осло, 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff , стр. 53–82, MR 0382267
Яннсен, У. (2000), "Отношения эквивалентности на алгебраических циклах", Арифметика и геометрия алгебраических циклов, НАТО, 200 , Kluwer Ac. Publ. Кол .: 225–260

[1] Самуэль, Пьер (1958), "Отношения эквивалентности в альгебрике" (PDF) , Proc. ICM , Cambridge Univ. Пресса: 470-487, архивируются от оригинала (PDF) на 2017-07-22 , извлекаются 2015-07-22

[2] André, Yves (2004), Une Introduction aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , Париж: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

[3] Воеводский, В. (1995), "Теорема о нильпотентности для циклов, алгебраически эквивалентных 0", Int. Математика. Res. Уведомления , 4 : 1–12

[4] André, Yves (2004), Une Introduction aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , Париж: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

[1].