В алгебраической геометрии , то группа Нерона-Севери из многообразия является группа делителей по модулю алгебраической эквивалентности ; другими словами, это группа компонентов в схеме Пикара целого. Его ранг называется числом Пикара . Он назван в честь Франческо Севери и Андре Нерона .
Определение
В случаях наиболее важное значения для классической алгебраической геометрии, для полного многообразия V , который является несингулярным , то компонента связности схемы Picard является абелевым многообразием написано
- Рис 0 ( V ).
Частное
- Рис ( V ) / Рис 0 ( V )
абелева группа NS ( V ), называется группой Нерона-Севери из V . Это конечно порожденная абелева группа по теореме Нерона – Севери, которая была доказана Севери над комплексными числами и Нероном над более общими полями.
Другими словами, группа Пикара укладывается в точную последовательность
Тот факт , что ранг конечен является Франческо Severi «s теорема основания ; ранг является число Пикара из V , часто обозначается ρ ( V ). Элементы конечного порядка называются дивизорами Севери и образуют конечную группу, которая является бирациональным инвариантом и порядок которой называется числом Севери . Геометрически NS ( V ) описывает классы алгебраической эквивалентности дивизоров на V ; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности делителей , классификация становится доступной для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовой эквивалентностью , по сути топологической классификацией по числам пересечений .
Первый класс Черна и целозначные 2-коциклы
Последовательность экспоненциального пучка
рождает длинную точную последовательность, в которой
Первая стрелка - это первый класс Черна на группе Пикара.
а группу Нерон-Севери можно идентифицировать по ее имиджу. Эквивалентно, по точности, группа Нерона-Севери является ядром второй стрелки
Таким образом, в комплексном случае группа Нерона-Севери является группой 2-коциклов, двойственная по Пуанкаре которых представлена комплексной гиперповерхностью, то есть дивизором Вейля .
Для сложных торов
Комплексные торы являются особенными, потому что они имеют несколько эквивалентных определений группы Нерона-Севери. Одно определение использует его сложную структуру для определения [1] стр. 30 . Для сложного тора, где комплексное векторное пространство размерности а также решетка ранга встраивание в , первый класс черня позволяет отождествить группу Нерона-Севери с группой эрмитовых форм на такой, что
Обратите внимание, что - знакопеременная интегральная форма на решетке .
Смотрите также
Рекомендации
- В. А. Исковских (2001) [1994], "Группа Нерона – Севери" , Энциклопедия математики , EMS Press
- A. Néron, Problèmes arithmétiques et géometriques attée à la notion de rang d'une Courbe algébrique dans un corps Bull. Soc. Математика. Франция, 80 (1952), стр. 101–166.
- А. Нерон, «Теория основы для дивизионов на различных алгебрах» , Coll. Геом. Alg. Льеж, Г. Тон (1952), стр. 119–126
- F. Severi, La base per le varietà algebriche di Dimension qualunque contenute in una data e la teoria generale delle corrispondénze fra i punti di due superficie algebriche Mem. Accad. Итал., 5 (1934), с. 239–283