Алгебраический интерьер

В функциональном анализе , разделе математики, алгебраическое внутреннее или радиальное ядро подмножества векторного пространства является уточнением концепции внутреннего пространства . Это подмножество точек, содержащихся в данном наборе, относительно которого он поглощает , то есть радиальные точки этого набора. ^[1] Элементы алгебраической внутренней части часто называют внутренними точками . ^{[2] [3]}

Если M - линейное подпространство в X и тогда алгебраическая внутренность пространства относительно M равна: ^[4]${\ Displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {aint} _ {M} A: = \ left \ {a \ in X: \ forall m \ in M, \ exists t_ {m}> 0 {\ text {st}} a + [0, t_ {m}] \ cdot m \ substeq A \ right \}.}$

где ясно , что если то , где есть аффинная оболочка из (что равно ). ${\ displaystyle \ operatorname {aint} _ {M} A \ substeq A}$${\ displaystyle \ operatorname {aint} _ {M} A \ neq \ emptyset}$${\ Displaystyle M \ substeq \ OperatorName {aff} (AA)}$${\ displaystyle \ operatorname {aff} (AA)}$${\ displaystyle AA}$${\ displaystyle \ operatorname {span} (AA)}$

Алгебраический интерьер (ядро) [ править ]

Множество называется алгебраической внутренней частью A или ядром A и обозначается символом или . Формально, если векторное пространство , то алгебраическая внутренность IS${\ displaystyle \ operatorname {aint} _ {X} A}$${\ Displaystyle А ^ {я}}$${\ displaystyle \ operatorname {core} A}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle A \ substeq X}$

${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],a+tx\in A\right\}.}$^[5]

Если A непусто, то эти дополнительные подмножества также полезны для формулировок многих теорем выпуклого функционального анализа (таких как теорема Урсеску ):

${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\emptyset &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\emptyset &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

Если X является пространством Фреше , выпукло и замкнуто в X тогда , но в общем - то можно иметь в то время как не пустая.${\displaystyle \operatorname {aff} A}$${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$${\displaystyle {}^{ic}A=\emptyset }$${\displaystyle {}^{ib}A}$

Пример [ править ]

Если тогда , но и .${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$

Свойства ядра [ править ]

Если тогда:${\displaystyle A,B\subset X}$

• В целом .${\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$
• Если - выпуклое множество, то:${\displaystyle A}$
  • ${\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$, и
  • для всех тогда${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A}$
• ${\displaystyle A}$это поглощает тогда и только тогда . ^[1]${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}$^[6]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$если ^[6]${\displaystyle B=\operatorname {core} B}$

Отношение к интерьеру [ править ]

Позвольте быть топологическим векторным пространством , обозначить внутренний оператор, а затем: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle A\subset X}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• Если непусто выпукло и конечномерно, то ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$
• Если выпукло с непустой внутренностью, то ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$
• Если - замкнутое выпуклое множество и является полным метрическим пространством , то ^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$

Относительно алгебраический интерьер [ править ]

Если тогда множество обозначается и называется относительной алгебраической внутренностью . ^[6] Это название происходит от того факта, что тогда и только тогда и (где тогда и только тогда ).${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\in A^{i}}$${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$${\displaystyle a\in {}^{i}A}$${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$${\displaystyle \operatorname {aff} \left(A-A\right)=X}$

Относительный интерьер [ править ]

Если представляет собой подмножество топологического векторного пространства X , то относительная внутренность из А есть множество

${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A}$.

То есть, это топологическая внутренность А в , который является самым маленьким аффинным линейным подпространством в X , содержащей A . Также пригодится следующий набор:${\displaystyle \operatorname {aff} A}$

${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\emptyset &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

Квази-относительный интерьер [ править ]

Если представляет собой подмножество топологического векторного пространства X , то квази относительная внутренность из А есть множество

${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}}$.

В конечномерном топологическом векторном пространстве Хаусдорфа .${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A}$

См. Также [ править ]

• Граничная точка
• Интерьер (топология)
• Квази-относительный интерьер
• Относительный интерьер
• Единица заказа
• Теорема Урсеску

Ссылки [ править ]

• Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . World Scientific. ISBN 978-981-238-067-8.