Теорема Урсеску

В математике, особенно в функциональном анализе и выпуклом анализе , теорема Урсеску - это теорема, обобщающая теорему о замкнутом графике, теорему об открытом отображении и принцип равномерной ограниченности .

Теорема Урсеску [ править ]

Используются следующие обозначения и понятия, где - многозначная функция, а S - непустое подмножество топологического векторного пространства X :${\ displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows Y}$

• аффинная оболочка из S обозначается и линейная оболочка обозначается .${\ displaystyle \ operatorname {aff} S}$${\ displaystyle \ operatorname {span} S}$
• ${\ displaystyle S ^ {i}: = \ operatorname {aint} _ {X} S}$обозначает алгебраическую внутренность из S в X .
• ${\ displaystyle {} ^ {i} S: = \ operatorname {aint} _ {\ operatorname {aff} (SS)} S}$обозначает относительную алгебраическую внутренность из S (т.е. алгебраической внутренности S в ).${\ displaystyle \ operatorname {aff} (SS)}$
• ${\ displaystyle {} ^ {ib} S: = {} ^ {i} S}$если это ствол для некоторых / каждого в то время как в противном случае.${\ displaystyle \ operatorname {span} \ left (S-s_ {0} \ right)}$${\ displaystyle s_ {0} \ in S}$${\ displaystyle {} ^ {ib} S: = \ emptyset}$
  • Если S выпукло, то можно показать, что для любого x в X , тогда и только тогда, когда конус, порожденный, является линейным подпространством с бочками в X или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является линейным подпространством с бочками в X${\ displaystyle x \ in {} ^ {ib} S}$${\ displaystyle Sx}$${\ Displaystyle \ чашка _ {п \ в \ mathbb {N}} п \ влево (Sx \ вправо)}$
• Домен${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ IS .${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}}$
• Образ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ IS . Для любого подмножества , .${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x)}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x)}$
• График${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ IS .${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\left\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$является закрытым (соответственно, выпуклая ) , если график замкнут (соотв. выпуклой) в .${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle X\times Y}$
  • Обратите внимание , что выпукло тогда и только тогда , когда для всех и все , .${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right)}$
• Обратное${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ является многофункциональным определяется . Для любого подмножества , .${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y)}$
  • Обратите внимание, что если - функция, то ее инверсия - это многофункциональная функция, полученная в результате канонического отождествления f с многофункциональной функцией f: X Y, определенной с помощью .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}:Y\rightrightarrows X}$${\displaystyle \rightrightarrows }$${\displaystyle x\mapsto \left\{f(x)\right\}}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} _{T}S}$является топологическим внутренняя из S по отношению к Т , где .${\displaystyle S\subseteq T}$
• ${\displaystyle \operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S}$это интерьер в S относительно .${\displaystyle \operatorname {aff} S}$

Заявление [ править ]

Следствия [ править ]

Теорема о замкнутом графе [ править ]

( Теорема о замкнутом графике ) Пусть X и Y - пространства Фреше, а T: X → Y - линейное отображение. Тогда T непрерывен тогда и только тогда, когда график T замкнут в .${\displaystyle X\times Y}$

Доказательство. Для нетривиального направления предположим, что график T замкнут, и пусть . Легко видеть , что замкнуто и выпукло и что его образ X . С учетом й в X , (Т х, х) принадлежит так , что для каждой открытой окрестности V из Т х в Y , окрестность х в X . Таким образом, T непрерывен в точке x . QED${\displaystyle {\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X}$${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}}$${\displaystyle Y\times X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)}$

Принцип равномерной ограниченности [ править ]

( Принцип равномерной ограниченности ) Пусть X и Y - пространства Фреше и биективное линейное отображение. Тогда T непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно. Более того, если T непрерывно, то T является изоморфизмом пространств Фреше .${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$

Доказательство. Примените теорему о замкнутом графике к T и . QED${\displaystyle T^{-1}}$

Теорема об открытом отображении [ править ]

( Теорема об открытом отображении ) Пусть X и Y - пространства Фреше и непрерывное сюръективное линейное отображение. Тогда T - открытое отображение .${\displaystyle T:X\to Y}$

Доказательство: Очевидно, что Т является замкнутым и выпуклым отношение, образ которого Y . Пусть U - непустое открытое подмножество X , пусть y находится в T (U) , и пусть x в U таково, что y = T x . Из теоремы Урсеску следует, что T (U) - окрестность точки y . QED

Дополнительные следствия [ править ]

Для этих следствий используются следующие обозначения и понятия, где - многофункциональность , S - непустое подмножество топологического векторного пространства X :${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$

• выпуклая серия с элементами S представляет собой серию из формы , где все и представляет собой ряд неотрицательных чисел. Если сходится, то ряд называется сходящимся, а если ограничен, то он называется ограниченным и b-выпуклым .${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}\in S}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
• S является идеально выпукло , если любой сходящимися б-выпуклого ряд элементов S имеет сумму в S .
• S является идеально выпуклым снизу, если существует пространство Фреше Y такое, что S равно проекции на X некоторого идеально выпуклого подмножества B из . Всякое идеально выпуклое множество идеально выпукло снизу.${\displaystyle X\times Y}$

Следствие Пусть X бочечное первое счетное пространство , и пусть C подмножество X . Потом:

1. Если C нижняя идеально выпуклая, то .${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C}$
2. Если C идеально выпуклый, то .${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}}$

Связанные теоремы [ править ]

Теорема Саймонса [ править ]

Теорема ( Simons ) ^[2] Пусть Х и Y быть первым счетным с X локально выпуклое. Предположим, что это мультиотображение с непустой областью, удовлетворяющее условию (Hw x ), или предположим, что X является пространством Фреше и является идеально выпуклым снизу . Предположим, что это бочка для некоторых / каждого . Предположим, что и пусть . Тогда для любых окрестностей U из в X ,${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \operatorname {span} \left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y\right)}$${\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}}$${\displaystyle y_{0}\in {}^{i}\left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$принадлежит относительной внутренней части in (ie ). В частности, если то .${\displaystyle {\mathcal {R}}\left(U\right)}$${\displaystyle \operatorname {aff} \left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)}$${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} \left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)}{\mathcal {R}}\left(U\right)}$${\displaystyle {}^{ib}\left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)\neq \emptyset }$${\displaystyle {}^{ib}\left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)={}^{i}\left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)=\operatorname {rint} \left(\operatorname {Im} {\mathcal {R}}\right)}$

Теорема Робинсона – Урсеску [ править ]

Импликация (1) (2) в следующей теореме известна как теорема Робинсона – Урсеску. ^[3]${\displaystyle \implies }$

Теорема : Пусть и - нормированные пространства и - мультиотображение с непустой областью. Предположим, что Y - пространство с бочкой , график проверяет условие условия (Hw x ) и что . Обозначим (соответственно ) замкнутый единичный шар в X (соответственно Y ) (так ). Тогда следующие эквиваленты:${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right)}$${\displaystyle \left(Y,\|\cdot \|\right)}$${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}}$${\displaystyle C_{X}}$${\displaystyle C_{Y}}$${\displaystyle C_{X}=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}}$

1. ${\displaystyle y_{0}}$принадлежит алгебраической внутренней части .${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}}\left(x_{0}+C_{X}\right)}$.
3. Там существует такое , что для всех , .${\displaystyle B>0}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right)}$
4. Там существуют и такие , что для всех и все , .${\displaystyle A>0}$${\displaystyle B>0}$${\displaystyle x\in x_{0}+AC_{X}}$${\displaystyle y\in y_{0}+AC_{Y}}$${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d\left(y,{\mathcal {R}}(x)\right)}$
5. Там существует такое , что для всех и все , .${\displaystyle B>0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in y_{0}+BC_{Y}}$${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\|x-x_{0}\right\|}{B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d\left(y,{\mathcal {R}}(x)\right)}$

См. Также [ править ]

• Теорема о замкнутом графике
• Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)  - Теоремы для вывода непрерывности из графика функции
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  - Теорема, дающая условия, при которых непрерывная линейная карта является открытой
• Сюръекция пространств Фреше  - теорема, характеризующая, когда непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше сюръективно.
• Принцип равномерной ограниченности  - теорема, утверждающая, что поточечная ограниченность влечет равномерную ограниченность
• Перепончатое пространство  - Топологические векторные пространства, для которых верны теоремы об открытом отображении и закрытых графах.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. ISBN 981-238-067-1. OCLC  285163112 .
• Баггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графом» . Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939 .