В алгебре знакопеременный многочлен - это многочлен так что если переключить любые две переменные, многочлен меняет знак:
Эквивалентно, если переставить переменные, многочлен изменится в значении на знак перестановки :
В более общем смысле полином говорят, что чередуются в если он меняет знак, если переключить любые два из , оставив фиксированный. [1]
Связь с симметричными многочленами
Произведения симметричных и знакопеременных многочленов (от тех же переменных) ведут себя так:
- произведение двух симметричных многочленов симметрично,
- произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена чередуется, и
- произведение двух чередующихся многочленов симметрично.
Это в точности таблица сложения для четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «чередующийся» соответствует «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру (a- градуированная алгебра ), где симметричные многочлены являются четной частью, а переменные многочлены - нечетной частью. Эта градуировка не связана с градуировкой многочленов по степени .
В частности, чередующиеся многочлены образуют модуль над алгеброй симметрических многочленов (нечетная часть супералгебры - это модуль над четной частью); на самом деле это свободный модуль ранга 1, с полиномом Вандермонда в п переменных , как генератор.
Если характеристика кольца коэффициентов равна 2, между этими двумя понятиями нет никакой разницы: чередующиеся многочлены - это в точности симметричные многочлены.
Полином Вандермонда
Основной знакопеременный многочлен - это многочлен Вандермонда :
Это явно чередование, поскольку переключение двух переменных меняет знак одного члена и не меняет другие. [2]
Чередующиеся полиномы - это в точности полином Вандермонда, умноженный на симметричный полином: где симметрично. Это потому что:
- является фактором каждого знакопеременного многочлена: является фактором каждого знакопеременного многочлена, как если бы , многочлен равен нулю (поскольку переключение их не меняет многочлен, мы получаем
- так фактор), и, таким образом, фактор.
- переменный многочлен, умноженный на симметричный многочлен, является переменным многочленом; таким образом, все кратные чередующиеся многочлены
И наоборот, отношение двух чередующихся полиномов является симметричной функцией, возможно, рациональной (не обязательно полиномом), хотя отношение чередующегося полинома к полиному Вандермонда является полиномом. Полиномы Шура определяются таким образом, как знакопеременный многочлен, деленный на многочлен Вандермонда.
Структура кольца
Таким образом, обозначая кольцо симметричных многочленов через Λ n , кольцо симметричных и знакопеременных многочленов имеет вид, а точнее , где - симметричный многочлен, дискриминант .
То есть кольцо симметричных и чередующихся многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому добавлен квадратный корень из дискриминанта.
В качестве альтернативы это:
Если 2 не обратимо, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой многочлен , и получает другое соотношение; см. Романьи.
Теория представлений
С точки зрения теории представлений симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n букв в кольце многочленов от n переменных. (Формально симметрическая группа действует на n букв и, таким образом, действует на производные объекты, в частности свободные объекты на n букв, такие как кольцо многочленов.)
Симметрическая группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные многочлены - это тривиальное представление, а переменные многочлены - это знаковое представление. Формально, скалярная оболочка любого симметричного (соответственно, знакопеременного) многочлена является тривиальным (соответственно знаковым) представлением симметрической группы, а умножение полиномов тензорами представлений.
В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.
Если , существуют также другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы .
Нестабильный
Чередующиеся многочлены являются нестабильным явлением (на языке теории стабильной гомотопии ): кольцо симметричных многочленов от n переменных может быть получено из кольца симметричных многочленов от произвольного числа переменных путем вычисления всех переменных вышек нулю: симметричные многочлены, таким образом, определены стабильно или совместимо. Однако это не относится к чередующимся многочленам, в частности к многочлену Вандермонда .
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- А. Джамбруно, Михаил Зайцев, Полиномиальные тождества и асимптотические методы, Книжный магазин AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3829-7 , стр. 352
- Основная теорема об альтернированных функциях , Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.