Объединенная собственность

Коммутативная диаграмма свойства амальгамируемости.

В математической области теории моделей , то свойство укрупнения является свойством коллекций структур , что гарантирует, при определенных условиях, что две структуры в коллекции можно рассматривать как подструктуры большего размера.

Это свойство играет решающую роль в теореме Фраиссе , которая характеризует классы конечных структур, возникающих как возрасты счетных однородных структур.

Схема объекта амальгамируемости появляется во многих областях математической логики . Примеры включают в себя модальную логику как отношение инцестуальной доступности ^{[ требуется пояснение ]} и лямбда-исчисление как способ редукции, имеющий свойство Черча – Россера .

Определение [ править ]

Амальгамы могут быть формально определена как 5-кортежем ( A, F, B, G, С ) таким образом, что А, В, С представляют собой структура , имеющая такую же подпись , и F: A → B, G : → C являются вложения . Напомним , что е: а → B является вложением , если F является инъективным морфизм , который индуцирует изоморфизм из A к субструктуры F (A) из B . ^[1]

Класс структур K обладает свойством объединения, если для любой амальгамы с A, B, C ∈ K и A ≠ Ø существуют как структура D ∈ K, так и вложения f ': B → D, g': C → D такие который

{\ Displaystyle F '\ CIRC F = G' \ CIRC G. \,}

Теория первого порядка обладает свойством объединения, если класс моделей обладает свойством объединения. Свойство объединения имеет определенные связи с исключением квантора . ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$

В общем, свойство объединения можно рассматривать для категории с заданным выбором класса морфизмов (вместо вложений). Это понятие связано с категориальным понятием отката , в частности, в связи со свойством сильного слияния (см. Ниже). ^[2]

Примеры [ править ]

Класс множеств, где вложения являются инъективными функциями, и если они предполагаются включениями, то амальгама - это просто объединение двух множеств.
Класс свободных групп, в которых вложения являются инъективными гомоморфизмами, и (в предположении, что они являются включениями) амальгама - это фактор-группа , где * - свободное произведение . ${\ Displaystyle B * C / A}$
Класс конечных линейных порядков .

Подобное, но отличающееся от свойства объединения понятие - свойство совместного вложения . Чтобы увидеть разницу, сначала рассмотрим класс K (или просто набор), содержащий три модели с линейным порядком: L ₁ размера один, L ₂ размера два и L ₃ размера три. Этот класс K обладает свойством совместного вложения, поскольку все три модели могут быть вложены в L ₃ . Однако K не обладает свойством слияния. Контрпример для этого начинается с L _1, содержащего единственный элемент e, и продолжается двумя разными способами доL ₃ , в которой е является самым маленьким , и другой , в котором е является наибольшим. Теперь любая общая модель с встраиванием из этих двух расширений должна быть как минимум пяти размеров, чтобы по обе стороны от e было по два элемента .

Теперь рассмотрим класс алгебраически замкнутых полей . Этот класс обладает свойством объединения, поскольку любые два расширения поля простого поля могут быть встроены в общее поле. Однако два произвольных поля не могут быть вложены в общее поле, если характеристики полей различаются.

Сильное свойство слияния [ править ]

Класс структур K обладает свойством сильного объединения (SAP), также называемым свойством дизъюнктного объединения (DAP), если для любой амальгамы с A, B, C ∈ K существует как структура D ∈ K, так и вложения f ': B → D, g ': C → D такие, что

{\ Displaystyle F '\ CIRC F = G' \ CIRC G \,}

и

{\ displaystyle f '[B] \ cap g' [C] = (f '\ circ f) [A] = (g' \ circ g) [A] \,}

где для любого множества X и функции h на X,

{\ Displaystyle h \ lbrack X \ rbrack = \ lbrace h (x) \ mid x \ in X \ rbrace. \,}

Ссылки [ править ]

^ Ходжес, раздел 1.2 и упражнение 4 в нем. Когда отношение отсутствует, как в случае групп, понятия вложения и инъективного морфизма совпадают, см. Стр. 6.
^ Поцелуй, Marki, Pröhle, Tholen, Раздел 6

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модельная теория . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-58713-1.
Записи о свойстве слияния и о свойстве сильного слияния в онлайн-базе данных классов алгебраических структур (факультет математики и информатики, Университет Чепмена).
EW Kiss, L. Márki, P. Pröhle, W. Tholen, Категориальные алгебраические свойства. Сборник по слиянию, расширению конгруэнции, эпиморфизмам, остаточной малости и инъективности , Studia Sci. Математика. Hungar 18 (1), 79-141, 1983 весь номер журнала .

[1] Ходжес, раздел 1.2 и упражнение 4 в нем. Когда отношение отсутствует, как в случае групп, понятия вложения и инъективного морфизма совпадают, см. Стр. 6.

[2] Поцелуй, Marki, Pröhle, Tholen, Раздел 6

[1]