Мозаика Амманна – Бенкера
В геометрии мозаика Амманна-Бенкера — это непериодическая мозаика , которая может быть сгенерирована либо апериодическим набором прототипов плиток , как это было сделано Робертом Амманном в 1970-х годах, либо методом «вырезать и спроецировать», как это было сделано независимо FPM Beenker . Они являются одним из пяти наборов тайлов, открытых Амманном и описанных в Tilings and Patterns . [1]
Были предложены различные методы описания разбиений: правила сопоставления, подстановки, схемы разрезов и проекций [2] и покрытия. [3] [4] В 1987 году Ван, Чен и Куо объявили об открытии квазикристалла с восьмиугольной симметрией. [5]
Плитки A и B Аммана в его паре A5 представляют собой ромб с углами 45-135 градусов и треугольник с углами 45-45-90 градусов, украшенные правилами сопоставления, которые допускают только определенные расположения в каждой области, заставляя непериодические, иерархические и квазипериодические структуры. каждой из бесконечного числа индивидуальных мозаик Амманна–Бинкера.
Альтернативный набор плиток, также обнаруженный Амманном и обозначенный «Амманн 4» у Грюнбаума и Шепарда, [1] состоит из двух невыпуклых частей с прямоугольными краями. Один состоит из двух квадратов, накладывающихся на меньший квадрат, а другой состоит из большого квадрата, прикрепленного к меньшему квадрату. На диаграммах ниже показаны фрагменты и часть мозаики.
Помимо краевых стрелок в обычном наборе тайлов, правила сопоставления для обоих наборов тайлов можно выразить, нарисовав части больших стрелок в вершинах и потребовав, чтобы они соединялись в полные стрелки.
Кац [6] изучил дополнительные тайлинги, которые можно получить, отбросив ограничения на вершины и наложив только требование совпадения краевых стрелок. Поскольку само это требование сохраняется правилами подстановки, любая новая мозаика имеет бесконечную последовательность «увеличенных» копий, полученных последовательным применением правила подстановки. Каждая мозаика в последовательности неотличима от истинной мозаики Амманна-Бинкера в последовательно увеличивающемся масштабе. Поскольку некоторые из этих мозаик являются периодическими, отсюда следует, что никакое украшение плиток, которое вызывает апериодичность, не может быть определено, глядя на любой конечный участок мозаики. Таким образом, ориентация стрелок вершин, вызывающая апериодичность, может быть выведена только из всей бесконечной мозаики.
