Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод аналитических элементов ( AEM ) - это численный метод, используемый для решения уравнений в частных производных . [1] [2] [3] Первоначально он был разработан ODL Strack в Университете Миннесоты . По своей природе он аналогичен методу граничных элементов (МГЭ), поскольку не полагается на дискретизацию объемов или площадей в моделируемой системе; дискретизируются только внутренние и внешние границы. Одно из основных различий между AEM и BEM заключается в том, что граничные интегралы вычисляются аналитически.

Обтекание непроницаемых цилиндров. Решено с помощью AEM с использованием 20 коэффициентов в расширениях ряда.

Математическая основа [ править ]

Основная предпосылка метода аналитических элементов состоит в том, что для линейных дифференциальных уравнений элементарные решения могут быть наложены друг на друга для получения более сложных решений. Набор 2D и 3D аналитических решений («элементов») доступен для различных основных уравнений. Эти элементы обычно соответствуют разрыву в зависимой переменной или ее градиенту вдоль геометрической границы (например, точки, линии, эллипса, круга, сферы и т. Д.). Этот разрыв имеет особую функциональную форму (обычно полином в 2D) и может быть изменен для удовлетворения граничных условий Дирихле, Неймана или Робина (смешанные). Каждое аналитическое решение бесконечно в пространстве и / или времени.

Обычно каждое аналитическое решение содержит степени свободы (коэффициенты), которые могут быть вычислены для удовлетворения заданных граничных условий вдоль границы элемента. Чтобы получить глобальное решение (то есть правильные коэффициенты элементов), система уравнений решается так, чтобы граничные условия выполнялись по всем элементам (с использованием коллокации , минимизации методом наименьших квадратов или аналогичного подхода). Примечательно, что глобальное решение обеспечивает пространственно непрерывное описание зависимой переменной повсюду в бесконечной области, а основное уравнение выполняется везде, за исключением границы элемента, где основное уравнение не является строго применимым из-за разрыва.

Возможность совмещать многочисленные элементы в одном решении означает, что аналитические решения могут быть реализованы для сколь угодно сложных граничных условий. То есть могут быть решены модели со сложной геометрией, прямыми или изогнутыми границами, несколькими границами, переходными граничными условиями, несколькими слоями водоносного горизонта, кусочно изменяющимися свойствами и непрерывно меняющимися свойствами. Элементы могут быть реализованы с использованием расширений дальнего поля, так что модель, содержащая многие тысячи элементов, может быть эффективно решена с высокой точностью.

Метод аналитических элементов применялся к задачам о потоке подземных вод, которые регулируются множеством линейных дифференциальных уравнений в частных производных, включая Лапласа , уравнение Пуассона , модифицированное уравнение Гельмгольца, уравнение теплопроводности и бигармонические уравнения. Часто эти уравнения решаются с использованием комплексных переменных, что позволяет использовать математические методы, доступные в теории сложных переменных. Полезный метод решения сложных проблем - использование конформного отображения, которое отображает границу геометрии, например эллипса, на границу единичной окружности, где решение известно.

В методе аналитических элементов используются потенциал разряда и функция тока или комбинированный комплексный потенциал. Этот потенциал связывает физические свойства системы грунтовых вод, гидравлический напор или границы потока с математическим представлением в потенциале. Это математическое представление можно использовать для расчета потенциала с точки зрения местоположения и, таким образом, для решения проблем с потоком грунтовых вод. Элементы разрабатываются путем решения граничных условий для любого из этих двух свойств, гидравлического напора или границы потока, что приводит к аналитическим решениям, способным справиться с многочисленными граничными условиями.

Современным учеником Стрэка, который является сторонником метода аналитических элементов (AEM) в приложениях моделирования подземных вод, является доктор Дэвид Стюард из Университета штата Канзас.

Сравнение с другими методами [ править ]

Как уже упоминалось, метод аналитических элементов, таким образом, не полагается на дискретизацию объема или площади в модели, как в случае конечных элементов или конечных различных методов. Таким образом, он может смоделировать сложную задачу с ошибкой порядка машинной точности. Это проиллюстрировано в исследовании, в котором смоделирован весьма неоднородный изотропный водоносный горизонт путем включения 100 000 сферических неоднородностей со случайной проводимостью и отслеживания 40 000 частиц. [4] Метод аналитических элементов можно эффективно использовать в качестве средства проверки или скрининга в более крупных проектах, поскольку он может быстро и точно рассчитать поток подземных вод для многих сложных проблем. [5] [6]

В отличие от других широко используемых методов моделирования подземных вод, например метода конечных элементов или конечного другого метода, AEM не разделяет область модели на ячейки. Это дает то преимущество, что модель действительна для любой заданной точки в области модели. Однако это также предполагает, что область не так легко разделить на области, например, с различной гидравлической проводимостью, как при моделировании с помощью сетки ячеек. Хотя есть некоторые решения, которые имеют дело с этим, например, существуют решения для реализации вертикально изменяющихся свойств или структур в водоносном горизонте в модели AEM. [7] [8] [9]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Strack, Отто DL, 1943- (1989). Механика подземных вод . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-365412-5. OCLC  16276592 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  2. ^ Strack Отто DL (август 2017). Аналитическая механика подземных вод . Кембриджское ядро . DOI : 10.1017 / 9781316563144 . ISBN 9781316563144. Проверено 20 апреля 2020 .
  3. ^ Haitjema, HM (Henk M.) (1995). Аналитический элемент моделирования потока подземных вод . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-08-049910-9. OCLC  162129095 .
  4. ^ Janković, I .; Fiori, A .; Даган, Г. (2006). «Моделирование потока и переноса в сильно неоднородных трехмерных водоносных горизонтах: эргодичность, гауссовость и аномальное поведение - 1. Концептуальные вопросы и численное моделирование» . Исследование водных ресурсов . 42 (6): W06D12. Bibcode : 2006WRR .... 42.6D12J . DOI : 10.1029 / 2005WR004734 . ISSN 1944-7973 . 
  5. ^ Хант, Рэндалл Дж. (2006). «Приложения моделирования подземных вод с использованием метода аналитических элементов». Подземные воды . 44 (1): 5–15. DOI : 10.1111 / j.1745-6584.2005.00143.x . ISSN 1745-6584 . PMID 16405461 .  
  6. ^ Кремер, Стивен Р. (2007). «Аналитический элемент моделирования подземных вод как исследовательская программа (с 1980 по 2006 годы)». Подземные воды . 45 (4): 402–408. DOI : 10.1111 / j.1745-6584.2007.00314.x . ISSN 1745-6584 . PMID 17600570 .  
  7. ^ Баккер, Марк; Strack, Отто DL (10 февраля 2003 г.). «Аналитические элементы для многоводоносного течения» . Журнал гидрологии . 271 (1): 119–129. DOI : 10.1016 / S0022-1694 (02) 00319-0 . ISSN 0022-1694 . 
  8. ^ Strack, ODL; Ауск, Б.К. (август 2015 г.). «Формулировка вертикально интегрированного потока грунтовых вод в стратифицированном прибрежном водоносном горизонте: СТРАТИФИКАЦИЯ ПРИБРЕЖНОГО ВОДОСТОЧНОГО ПОТОКА» . Исследование водных ресурсов . 51 (8): 6756–6775. DOI : 10.1002 / 2015WR016887 .
  9. ^ Толлер, Эрик А.Л .; Strack, Отто DL (2019). «Межфазный поток с вертикально изменяющейся гидравлической проводимостью». Исследование водных ресурсов . 55 (11): 8514–8525. DOI : 10.1029 / 2019WR024927 . ISSN 1944-7973 . 

Читать далее [ править ]

  • Haitjema, HM (1995). Аналитический элемент моделирования потока подземных вод . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3.
  • Страк, ODL (1989). Механика подземных вод . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall.
  • Фиттс, CR (2012). Наука о грунтовых водах (2-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Elsevier / Academic Press. ISBN 9780123847058.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вики Сообщества по аналитическим элементам
  • Веб-сайт Fitts Geolsolutions, AnAqSim (аналитический симулятор водоносного горизонта) и AnAqSimEDU (бесплатно)