Масштабируемый размер

В теоретической физике , масштабирование размеров , или просто измерение , локальный оператор в квантовой теории поля характеризует перемасштабирование свойства оператора под пространственно - временные растяжениями . Если квантовая теория поля является масштабно инвариантна , размерами масштабирования операторов фиксированных чисел, в противном случае они являются функциями в зависимости от шкалы расстояний.${\ displaystyle x \ to \ lambda x}$

Масштабно-инвариантная квантовая теория поля [ править ]

В шкале инвариантной квантовой теории поля , по определению , каждый оператор O приобретает под дилатации фактор , где это число называется размерностью масштабирования O . Это, в частности, означает, что двухточечная корреляционная функция зависит от расстояния как . В более общем плане корреляционные функции нескольких локальных операторов должны зависеть от расстояний таким образом, чтобы${\ displaystyle x \ to \ lambda x}$${\ displaystyle \ lambda ^ {- \ Delta}}$${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle \ langle О (Икс) О (0) \ rangle}$${\ Displaystyle (х ^ {2}) ^ {- \ Delta}}$${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

Большинство масштабно-инвариантных теорий также конформно-инвариантны , что накладывает дополнительные ограничения на корреляционные функции локальных операторов. ^[1]

Теории свободного поля [ править ]

Свободные теории - это простейшие масштабно-инвариантные квантовые теории поля. В свободных теориях проводится различие между элементарными операторами, которые представляют собой поля, входящие в лагранжиан , и составными операторами, которые являются продуктами элементарных. Масштабирующая размерность элементарного оператора O определяется анализом размерностей из лагранжиана (в четырех измерениях пространства-времени она равна 1 для элементарных бозонных полей, включая векторные потенциалы, 3/2 для элементарных фермионных полей и т. Д.). Это масштабное измерение называется классическим измерением (термины каноническое измерение и инженерное измерениетакже используются). Составной оператор , полученный путем принимать произведение двух операторов размеров и является новым оператором, размерность которого равна сумма .${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$

Когда взаимодействия включены, масштабируемый размер получает поправку, называемую аномальным размером (см. Ниже).

Взаимодействующие теории поля [ править ]

Есть много масштабно-инвариантных квантовых теорий поля, которые не являются свободными теориями; они называются взаимодействующими. Масштабные размерности операторов в таких теориях не могут быть считаны из лагранжиана ; они также не обязательно (полу) целые числа. Например, в масштабной (и конформной) теории инвариантов, описывающей критические точки двумерной модели Изинга, существует оператор размерности 1/8. ^{[2] [1]}${\displaystyle \sigma }$

Операторное умножение тонко во взаимодействующих теориях по сравнению со свободными теориями. Расширение операторных двух операторов с размерами и , как правило , дает не единственный оператор , но бесконечно много операторов, и их размер не будет обычно равен . В приведенном выше примере двумерной модели Изинга оператор product дает оператор , размерность которого равна 1, а не вдвое больше . ^{[2] [1]}${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$${\displaystyle \sigma \times \sigma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \sigma }$

Немасштабная инвариантная квантовая теория поля [ править ]

Существует много квантовых теорий поля, которые, хотя и не являются точными масштабно-инвариантными, остаются приблизительно масштабно-инвариантными на большом диапазоне расстояний. Такие квантовые теории поля могут быть получены путем добавления к теориям свободного поля членов взаимодействия с малыми безразмерными связями. Например, в четырех измерениях пространства-времени можно добавить скалярные связи четвертой степени, связи Юкавы или калибровочные связи. Масштабные размерности операторов в таких теориях могут быть схематично выражены как , где - размерность, когда все связи установлены на ноль (т. Е. Классическая размерность), в то время как она называется аномальной размерностью и выражается в виде степенного ряда в связях, которые вместе обозначаются как . ^[3]${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)}$${\displaystyle \Delta _{0}}$${\displaystyle \gamma (g)}$${\displaystyle g}$Такое разделение масштабных размеров на классическую и аномальную части имеет смысл только тогда, когда связи небольшие, так что это небольшая поправка.${\displaystyle \gamma (g)}$

Как правило, из-за квантово-механических эффектов связи не остаются постоянными, а изменяются (на жаргоне квантовой теории поля , бегут ) с масштабом расстояния в соответствии с их бета-функцией . Следовательно, аномальный размер также зависит от масштаба расстояний в таких теориях. В частности, корреляционные функции локальных операторов больше не являются простыми степенями, а имеют более сложную зависимость от расстояний, как правило, с логарифмическими поправками.${\displaystyle g}$${\displaystyle \gamma (g)}$

Может случиться так, что эволюция связей приведет к значению, при котором бета-функция обращается в нуль. Затем на больших расстояниях теория становится масштабно-инвариантной , и аномальные размеры перестают работать. Такое поведение называется инфракрасной фиксированной точкой .${\displaystyle g=g_{*}}$

В очень особых случаях это может произойти, когда связи и аномальные размеры вообще не работают, так что теория масштабно инвариантна на всех расстояниях и для любого значения связи. Например, это происходит в суперсимметричной N = 4 теории Янга-Миллса .

Ссылки [ править ]