В геометрии , то двойные кружки две специальные кружки , связанные с арбелос . Арбелос определяется тремя коллинеарными точками A , B и C и представляет собой криволинейную треугольную область между тремя полукругами , диаметрами которых являются AB , BC и AC . Если арбелос разделен на две меньшие области линейным сегментом, проходящим через среднюю точку A , B и C , перпендикулярно линии ABC, то каждая из двух двойных окружностей лежит внутри одной из этих двух областей, касаясь ее двух полукруглых сторон и сегмента расщепления.
Эти круги впервые появились в Книге лемм , которая показала (предложение V), что эти две окружности конгруэнтны . [1] Табит ибн Курра , который перевел эту книгу на арабский язык, приписал ее греческому математику Архимеду . На основании этого утверждения двойные круги и несколько других им конгруэнтных кругов в Арбелосе также были названы кругами Архимеда . Однако эта атрибуция была подвергнута сомнению в более поздних исследованиях. [2]
Строительство
В частности, пусть , , а также быть тремя углами арбелоса, с между а также . Позволятьточка , где большой полукруг перехватывает линию , перпендикулярные к через точку . Сегментделит арбелос на две части. Двойные круги - это две окружности, вписанные в эти части, каждая из которых касается одного из двух меньших полукругов, к отрезку, и до самого большого полукруга. [3]
Каждая из двух окружностей однозначно определяется своими тремя касаниями. Построение его - частный случай проблемы Аполлония .
Также были найдены альтернативные подходы к построению двух окружностей, конгруэнтных двойным окружностям. [4] [5] Эти круги также называются архимедовыми кругами. Они включают в себя круг Bankoff , Шох круги и Woo круги .
Характеристики
Пусть a и b диаметры двух внутренних полукругов, так что внешний полукруг имеет диаметр a + b . Тогда диаметр каждого двойного круга равен [3]
В качестве альтернативы, если внешний полукруг имеет единичный диаметр, а внутренние круги имеют диаметры а также , диаметр каждой двойной окружности [3]
Наименьший круг, охватывающий оба двойных круга, имеет ту же площадь, что и арбелос. [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Томас Литтл Хит (1897), Работы Архимеда . Издательство Кембриджского университета. Предложение 5 из книги лемм . Цитата: « Пусть AB будет диаметром полукруга, C - любой точкой на AB и CD перпендикулярно ей, и пусть полукруги будут описаны внутри первого полукруга и имеют AC, CB в качестве диаметров. с разных сторон и каждый касается двух полукругов, нарисованные таким образом круги будут равны ".
- ^ Боас, Гарольд П. (2006). «Размышления об Арбелосе» . Американский математический ежемесячник . 113 (3): 241. DOI : 10,1080 / 00029890.2006.11920301 . S2CID 14528513 .
Источником утверждения, что Архимед изучил и назвал арбелос, является Книга Лемм , также известная как Liber assumptorum из названия латинского перевода семнадцатого века арабского перевода девятого века утерянного греческого оригинала. Хотя этот сборник из пятнадцати предложений включен в стандартные издания работ Архимеда, редакторы признают, что автором Книги лемм был не Архимед, а скорее некий анонимный более поздний составитель, который действительно обращается к Архимеду в третьем лице.
- ^ а б в г Weisstein, Eric W. " " Круги Архимеда. "От MathWorld-A Wolfram Web Resource" . Проверено 10 апреля 2008 .
- ^ Флор ван Ламоэн (2014), Каталог более пятидесяти архимедовых кругов . Онлайновый документ, по состоянию на 08.10.2014.
- ^ Флор ван Ламоэн (2014), Круги (A61a) и (A61b): пара Дао . Онлайновый документ, по состоянию на 08.10.2014.