Макс

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  "Arg max"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Например, ненормализованная и нормализованная функция sinc, приведенная выше, имеют значение {0}, потому что обе достигают своего глобального максимального значения 1 при x  = 0. Ненормализованная функция sinc (красный цвет) имеет arg min равным {-4,49, 4,49}, приблизительно потому что он имеет 2 глобальных минимальных значения примерно -0,217 при x  = ± 4,49. Однако нормализованная функция sinc (синий цвет) имеет arg min примерно {-1,43, 1,43}, потому что их глобальные минимумы возникают при x  = ± 1,43, даже если минимальное значение такое же. ^[1]${\ displaystyle \ operatorname {argmax}}$

В математике , что аргументы максимумов (сокращенно Arg макс или Argmax ) являются точки, или элементов , из области некоторой функции , при которой значение функции является максимизируются . ^{[примечание 1]} В отличие от глобальных максимумов , которые относятся к наибольшим выходам функции, arg max относится к входам или аргументам , у которых выходы функции максимально велики.

Определение [ править ]

Для произвольного Set в упорядоченное множество и функции , то через некоторое подмножество из определяется${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle \ operatorname {argmax}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {argmax} _ {S} f: = {\ underset {x \ in S} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ in S ~ : ~ f (s) \ leq f (x) {\ text {для всех}} s \ in S \}.}$

Если или ясно из контекста, то часто не учитывается, как в Другими словами, это набор точек, для которых достигается наибольшее значение функции (если оно существует). может быть пустым набором , одиночным элементом или содержать несколько элементов. ${\ Displaystyle S = X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x ~: ~ f (s) \ leq f (x) {\ text {для всех }} s \ in S \}.}$${\ displaystyle \ operatorname {argmax}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ operatorname {Argmax}}$

В областях выпуклого анализа и вариационного анализа используется несколько иное определение в частном случае, когда - расширенные действительные числа . ^[2] В этом случае if идентично равно on then (то есть, ), а в противном случае определяется, как указано выше, где в этом случае также может быть записано как:${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}}$

где подчеркивается, что это равенство с участием выполняется только в том случае, если оно не тождественно на ^[2]${\displaystyle \inf {}_{S}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle S.}$

Arg min [ править ]

Аналогично определяется понятие (или ), обозначающее аргумент минимума . Например,${\displaystyle \operatorname {argmin} }$${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}$

- это точки, для которых достигается наименьшее значение. Это дополнительный оператор${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \operatorname {arg\,max} .}$

В частном случае, когда являются расширенными действительными числами , if идентично равно on then (то есть ), а в противном случае определяется, как указано выше, и, кроме того, в этом случае ( не идентично равным ) он также удовлетворяет:${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}.}$^[2]

Примеры и свойства [ править ]

Например, если это затем достигает своего максимального значения только в точке Таким образом ,${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 1-|x|,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x=0.}$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

Оператор отличается от оператора. При задании той же функции оператор возвращает максимальное значение функции вместо точки или точек, которые заставляют эту функцию достичь этого значения; другими словами${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle \max }$${\displaystyle \max }$

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$ это элемент в ${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

Как максимум может быть пустое множество (в этом случае максимальная не определено) или одноэлементный, но в отличие от макс не содержат несколько элементов: ^{[Примечание 2]} , например, если это тогда , но , поскольку функция принимает то же значение на каждом элементе${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {max} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 4x^{2}-x^{4},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

Эквивалентно, если это максимум, то это уровень, установленный на максимум:${\displaystyle M}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

Мы можем переставить, чтобы дать простую идентичность ^{[примечание 3]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

Если максимум достигается в одной точке , то этот пункт часто упоминается как и считается точкой, а не набор точек. Так, например, ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(а не одноэлементный набор ), поскольку максимальное значение is, которое имеет место для ^{[примечание 4].} Однако в случае, если максимум достигается во многих точках, его необходимо рассматривать как набор точек.${\displaystyle \{5\}}$${\displaystyle x(10-x)}$${\displaystyle 25,}$${\displaystyle x=5.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

Например

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

так как максимальное значение IS , которое происходит на этом интервале для или на всей прямой${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle x=0,2\pi }$${\displaystyle 4\pi .}$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$ так что бесконечный набор.

Функции обычно не должны достигать максимального значения, и поэтому иногда это пустой набор ; например, так как это неограниченная на вещественной прямой. В качестве другого примера, хотя и ограничено. Однако по теореме об экстремальном значении непрерывная функция с действительными значениями на отрезке имеет максимум и, следовательно, непустую${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$ arctan {\displaystyle \arctan } ${\displaystyle \pm \pi /2.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

См. Также [ править ]

• Аргумент функции
• Максимумы и минимумы
• Режим (статистика)
• Математическая оптимизация
• Ядро (линейная алгебра)
• Прообраз

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

Внешние ссылки [ править ]

• arg min и arg max в PlanetMath .