Стек (математика)

В математике стек или 2-пучок , грубо говоря, пучок , который принимает значения в категориях , а не множеств. Стеки используются для формализации некоторых основных конструкций теории спуска и для построения тонких стеков модулей, когда тонких пространств модулей не существует.

Теория спуска занимается обобщениями ситуаций, когда изоморфные , совместимые геометрические объекты (такие как векторные расслоения на топологических пространствах ) могут быть «склеены» в рамках ограничения топологического базиса. В более общем случае ограничения заменяются откатами ; волокнистые категории затем образуют хорошую основу для обсуждения возможности такого склеивания. Интуитивно понятный смысл стека состоит в том, что это расслоенная категория, в которой «работают все возможные склейки». Спецификация склейки требует определения покрытий, в отношении которых могут быть рассмотрены склейки. Оказывается, что общий язык описания этих покрытий - языкТопология Гротендика . Таким образом, стек формально задается как расслоенная категория над другой базовой категорией, где основа имеет топологию Гротендика и где расслоенная категория удовлетворяет нескольким аксиомам, которые гарантируют существование и единственность определенных склейок относительно топологии Гротендика.

Обзор [ править ]

Стеки являются базовой структурой алгебраических стеков (также называемых стеками Артина) и стеков Делиня – Мамфорда, которые обобщают схемы и алгебраические пространства и особенно полезны при изучении пространств модулей . Есть включения: схемы ⊆ алгебраические пространства ⊆ стеки Делиня – Мамфорда ⊆ алгебраические стеки (стеки Артина) ⊆ стеки.

Edidin (2003) и Fantechi (2001) дают краткие вводные сведения о стеках, Gómez (2001) , Olsson (2007) и Vistoli (2005) дают более подробные представления, а Laumon & Moret-Bailly (2000) описывают более продвинутую теорию. .

Мотивация и история [ править ]

Концепция стеков берет свое начало в определении данных эффективного спуска в Гротендике (1959) . В письме Серру 1959 г. Гротендик заметил, что фундаментальным препятствием для построения хороших пространств модулей является существование автоморфизмов. Основная мотивация для стеков заключается в том, что если пространство модулей для некоторой проблемы не существует из-за существования автоморфизмов, все еще может быть возможно построить стек модулей.

Мамфорд (1965) изучал группу Пикара стека модулей эллиптических кривых до того, как стеки были определены. Стеки были впервые определены Жиро ( 1966 , 1971 ), а термин «стек» был введен Делинем и Мамфордом (1969) для оригинального французского термина «чемпион», означающего «поле». В этой статье они также представили стеки Делиня – Мамфорда , которые они назвали алгебраическими стеками, хотя термин «алгебраический стек» теперь обычно относится к более общим стекам Артина, введенным Артином  ( 1974 ).

При определении частных схем по групповым действиям часто бывает невозможно, чтобы частное было схемой и все же удовлетворяло желаемым свойствам для частного. Например, если несколько точек имеют нетривиальные стабилизаторы, то категориального фактора не будет среди схем.

Точно так же пространства модулей кривых, векторных расслоений или других геометрических объектов часто лучше всего определять как стеки, а не схемы. При построении пространств модулей часто сначала строят большее пространство, параметризуя рассматриваемые объекты, а затем вычисляя фактор по групповому действию, чтобы учесть объекты с автоморфизмами, которые были пересчитаны.

Определения [ править ]

Абстрактные стеки [ править ]

Категория с функтором в категорию называется расслаивающимся категорию над , если для любого морфизма в и любом объект из с изображением (под функтором), есть откат из пути . Это означает морфизм с изображением, такой, что любой морфизм с изображением может быть факторизован как уникальный морфизм в , в котором функтор отображается в . Элемент называется откатом от вдоль и единственна с точностью до канонического изоморфизма.${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g:z\to y}$${\displaystyle G=F\circ H}$${\displaystyle g=f\circ h}$${\displaystyle h:z\to x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x=F^{*}y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$

Категория c называется предварительным стеком над категорией C с топологией Гротендика, если она расслоена над C и для любого объекта U из C и объектов x , y из c с изображением U , функтор над категорией C / U на множества переводя F : V → U в Hom ( F * x , F * y) является пучком. Эта терминология не согласуется с терминологией для пучков: предварительные штабели являются аналогами разделенных предварительных пучков, а не предварительных пучков. Некоторым авторам это требуется как свойство стеков, а не предварительных сумм.

Категория c называется стеком над категорией C с топологией Гротендика, если она является предварительным стеком над C и все данные спуска эффективны. Спуск точка привязка состоит примерно из покрытия объекта V из С семейством V _я , элементы х _I в слое над V _я и морфизмы е _джи между ограничениями х _я и х _J , чтобы V _Ij = V _I × _VV _j, удовлетворяющее условию совместимости f _ki = f _kj f _ji . Спуск точка привязка называется эффективной , если элементы х _я , по существу , прообразы элемента х с изображением V .

Стек называется стеком в группоидах или (2,1) -пучком, если он также расслоен в группоидах, что означает, что его волокна (прообразы объектов C ) являются группоидами. Некоторые авторы используют слово «стек» для обозначения более ограничительного понятия стека в группоидах.

Алгебраические стеки [ править ]

Алгебраическое стек или стек артинов является стек в группоидах X над fppf сайтом таким образом, что диагональное отображение из X представимо и существует гладкое сюръекцию из (стек , связанных с) схемой к X. Морфизма Y X стеков является представимо, если для любого морфизма S X из (стека, ассоциированного с) схемы в X, расслоенное произведение Y  × _X S изоморфно (стека, ассоциированного с) алгебраическому пространству . Волокнистый продукт стеков определяются с помощью обычного универсального свойства${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$  , и изменив требование коммутации диаграмм на требование 2-коммутируемости . См. Также морфизм алгебраических стеков для получения дополнительной информации.

Мотивация представимости диагонали следующая: диагональный морфизм представим тогда и только тогда, когда для любой пары морфизмов алгебраических пространств их расслоенное произведение представимо.${\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}$

Стек Делинь-Мамфорд является алгебраическим стека Х такое , что существует этальная сюръекция от схемы к X . Грубо говоря, стеки Делиня – Мамфорда можно рассматривать как алгебраические стеки, объекты которых не имеют бесконечно малых автоморфизмов.

Локальная структура алгебраических стеков [ править ]

С момента появления алгебраических стеков ожидалось, что они являются локально факторными стеками вида где - линейно редуктивная алгебраическая группа . Недавно было доказано, что это так: ^[1] для квазиотделенного алгебраического стека локально конечного типа над алгебраически замкнутым полем , стабилизаторы которого аффинны, и гладкой и замкнутой точки с линейно редуктивной группой стабилизаторов , существует этальное покрытие из частного GIT , где , таким образом, что диаграмма${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

декартова, и существует этальный морфизм

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

индуцирующий изоморфизм групп стабилизаторов в точках и .${\displaystyle w}$${\displaystyle x}$

Примеры [ править ]

Элементарные примеры [ править ]

• Каждый пучок из категории с топологией Гротендика можно канонически превратить в стек. Для объекта вместо набора существует группоид, элементы которого являются элементами, а стрелки - морфизмом идентичности.${\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$
• Более конкретно, пусть - контравариантный функтор${\displaystyle h}$

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

Тогда этот функтор определяет следующую категорию${\displaystyle H}$

1. объект - это пара, состоящая из схемы в и элемента${\displaystyle (X\to S,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Sch/S)^{op}}$${\displaystyle x\in h(X)}$
2. морфизм состоит из морфизма в таких , что .${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$${\displaystyle \phi :X\to Y}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle h(\phi )(y)=x}$

Через забывание функтора , категория является категория расслаивается над . Например, если - схема в , то она определяет контравариантный функтор и соответствующая расслоенная категория является${\displaystyle p:H\to (Sch/S)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}$стек , связанный с X . Стеки (или предварительные стеки) могут быть построены как вариант этой конструкции. Фактически любая схемас квазикомпактной диагональю представляет собой алгебраический стек, связанный со схемой .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Стеки объектов [ править ]

• Группа стека .
• Модули стек векторных расслоений : категория векторных расслоений V → S является стеком по категории топологических пространств S . Морфизм из V → S в W → T состоит из непрерывных отображений из S в T и из V в W(линейные по слоям) такие, что очевидный квадрат коммутирует. Условие того, что это расслоенная категория, следует из того, что можно выполнять обратные образы векторных расслоений над непрерывными отображениями топологических пространств, а условие, что данные спуска эффективны, следует из того, что можно построить векторное расслоение над пространством, склеивая векторные расслоения на элементы открытой крышки.
• Стек квазикогерентных пучков на схемах (относительно fpqc-топологии и более слабых топологий)
• Стек аффинных схем на базовой схеме (опять же относительно топологии fpqc или более слабой)

Конструкции со стеками [ править ]

Коэффициенты стека [ править ]

Если это схема и действует гладкая аффинная групповая схема , то существует фактор-алгебраический стек , ^[2] переводящий схему в группоид -торсоров над -схемой с -эквивариантными отображениями в . Явно, учитывая пространство с -action, сформировать стек, который (интуитивно говоря) отправляет пространство в группоид диаграмм отката.${\displaystyle X}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle Y\to S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

где - -эквивариантный морфизм пространств и - главное -расслоение. Морфизмы в этой категории - это просто морфизмы диаграмм, где стрелки в правой части равны, а стрелки в левой части являются морфизмами главных -расслоений.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle Z\to Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Классификация стопок [ править ]

Частный случай этого, когда X является точкой, дает классифицирующий стек BG гладкой аффинной групповой схемы G : он назван так, потому что категория , слой над Y , в точности является категорией главных -расслоений над . Следует отметить , что сам по себе может рассматриваться как стек, то модули стек основного G -расслоений на Y .${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$

Важный подпример из этой конструкции - это стек модулей главных -расслоений. Поскольку данные главного -расслоения эквивалентны данным рангового векторного расслоения, они изоморфны стеку модулей ранговых векторных расслоений .${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle n}$ n {\displaystyle n} V e c t n {\displaystyle Vect_{n}}

Стек модулей линейных пучков [ править ]

Стек модулей линейных расслоений таков, поскольку каждое линейное расслоение канонически изоморфно главному -расслоению. Учитывая линейный пакет, относительная спецификация${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle L\in {\text{Pic}}(S)}$

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}(L)\to S}$

дает геометрическое линейное расслоение. После удаления нулевой секции появляется связанная связка. И наоборот, из представления можно восстановить связанный линейный пучок.${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}$

Гербы [ править ]

Жерб является стеком в группоидах , который всегда имеет непустое категорию. например, тривиальный герб, который сопоставляет каждой схеме группоид главных -расслоений над схемой для некоторой группы .${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Относительная спецификация и проект [ править ]

Если является квазикогерентным пучком алгебр в алгебраической стеке X над схемой S , то есть стек Spec ( ) , обобщающая конструкцию спектра Spec ( A ) коммутативного кольцом А . Объект Spec ( A ) задаются S -схема T , объект х из X ( T ), и морфизм пучков алгебр из й * ( А ) к координате кольца O ( T ) от Т .

Если является квази-когерентным пучком градуированных алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S , то есть стек Рго ( ) , обобщающее построение проективной схемы Рго ( А ) из градуированного кольца A .

Стеки модулей [ править ]

Модули кривых [ править ]

• Мамфорд (1965) изучил набор модулей M 1,1 эллиптических кривых и показал, что его группа Пикара циклическая порядка 12. Для эллиптических кривых над комплексными числами соответствующий набор аналогичен фактору верхней полуплоскости по формуле действие модульной группы .
• Пространство модулей алгебраических кривых, определенное как универсальное семейство гладких кривых данного рода , не существует как алгебраическое многообразие, потому что, в частности, существуют кривые, допускающие нетривиальные автоморфизмы. Однако существует стек модулей, который является хорошей заменой несуществующего тонкого пространства модулей гладких кривых рода . В более общем случае существует стек модулей кривых рода с отмеченными точками. В общем случае это алгебраический стек и стек Делиня – Мамфорда для или или (другими словами, когда группы автоморфизмов кривых конечны). Этот стек модулей имеет пополнение, состоящее из набора модулей устойчивых кривых (для заданных и${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle g=1,n\geq 1}$${\displaystyle g=0,n\geq 3}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$) , Который собственно над Spec Z . Например, классифицирующий стек проективной общей линейной группы. (В определении есть тонкость , поскольку для его построения нужно использовать алгебраические пространства, а не схемы.)${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Пространства модулей Концевича [ править ]

Другой широко изучаемый класс пространств модулей - это пространства модулей Концевича, параметризующие пространство стабильных отображений между кривыми фиксированного рода в фиксированное пространство , образ которых представляет фиксированный класс когомологий. Эти пространства модулей обозначаются ^[3]${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

и могут иметь дикое поведение, например быть сокращаемыми стопками, компоненты которых не равны по размерам. Например, ^[3] стек модулей

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

имеет гладкие кривые, параметризованные открытым подмножеством . На границе пространства модулей, где кривые могут вырождаться в приводимые кривые, есть подгруппа, параметризующая приводимые кривые с компонентом рода и компонентом рода, пересекающимися в одной точке, и карта отправляет кривую рода в точку. Поскольку все такие кривые рода параметризованы , и существует дополнительный выбор размерности того, где эти кривые пересекаются на кривой рода , компонент границы имеет размерность .${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 10}$

Другие стеки модулей [ править ]

• Стек Picard обобщает различный Пикар .
• Модули стека формальных групповых законов классифицирует формальные законы группы .
• Ind-схема , такие как бесконечное проективное пространство и формальная схема является стек.
• Модули стопка shtukas используется в геометрической программе Ленглендса . (См. Также штуки .)

Геометрические стеки [ править ]

Взвешенные проективные стеки [ править ]

Построение весовых проективных пространств включает в себя фактормногообразие некоторых по a- действию. В частности, действие отправляет кортеж${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

и фактор этого действия дает взвешенное проективное пространство . Поскольку вместо этого его можно рассматривать как частное по стеку, взвешенный проективный стек ^{[4] стр. 30} является${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

Взяв множество исчезающих весовых многочленов в линейном расслоении, мы получим стековое взвешенное проективное многообразие.${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$

Наборные кривые [ править ]

Стековые кривые , или орбикривые, могут быть построены путем стекового фактора морфизма кривых по группе монодромии покрытия по общим точкам. Например, возьмем проективный морфизм

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

что в общем является etale . Фактор стека области по дает стек с точками стека, которые имеют стабилизирующую группу в корнях пятой степени из единицы в -грамме. Это потому, что это те точки, где крышка разветвляется. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \mu _{5}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$${\displaystyle x/y}$

Неаффинный стек [ править ]

Примером неаффинного стека является полустрока с двумя исходными точками стека. Его можно построить как копредел двух включений .${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$

Квазикогерентные пучки на алгебраических стеках [ править ]

На алгебраическом стеке можно построить категорию квазикогерентных пучков, аналогичную категории квазикогерентных пучков над схемой.

Квазикогерентный пучок - это примерно такой пучок, который локально выглядит как пучок модуля.над кольцом. Первая проблема состоит в том, чтобы решить, что подразумевается под «локально»: это включает в себя выбор топологии Гротендика, и для этого есть много возможных вариантов, каждый из которых имеет некоторые проблемы, но ни один из них не кажется полностью удовлетворительным. Топология Гротендика должна быть достаточно сильной, чтобы стек был локально аффинным в этой топологии: схемы являются локально аффинными в топологии Зариского, поэтому это хороший выбор для схем, обнаруженных Серром, алгебраические пространства и стеки Делиня-Мамфорда локально аффинны в топологии etale топологии, поэтому обычно для них используется этальная топология, в то время как алгебраические стеки являются локально аффинными в гладкой топологии, поэтому в этом случае можно использовать гладкую топологию. Для общих алгебраических стеков этальная топология не имеет достаточного количества открытых множеств: например,если G - гладкая связная группа, то единственными этальными покрытиями классифицирующего стека BG являются объединения копий BG, которых недостаточно, чтобы дать правильную теорию квазикогерентных пучков.

Вместо использования гладкой топологии для алгебраических стеков часто используется ее модификация, называемая топологией Lis-Et (сокращение от Lisse-Etale: lisse - французский термин для гладкой), которая имеет те же открытые множества, что и гладкая топология, но открытые покрытия даются эталем, а не гладкими отображениями. Обычно это приводит к эквивалентной категории квазикогерентных пучков, но ее проще использовать: например, ее легче сравнить с этальной топологией на алгебраических пространствах. Топология Лис-Эт имеет тонкую техническую проблему: морфизм между стеками, как правило, не дает морфизма между соответствующими топоями. (Проблема в том, что, хотя можно построить пару сопряженных функторов f _* , f*, что необходимо для геометрического морфизма топоев, функтор f *, вообще говоря, не остается точным. Эта проблема известна тем, что вызвала некоторые ошибки в опубликованных статьях и книгах. ^[5] ) Это означает, что построение отката квазикогерентного пучка при морфизме стеков требует дополнительных усилий.

Также возможно использование более тонких топологий. Наиболее разумные «достаточно большие» топологии Гротендика, кажется, приводят к эквивалентным категориям квазикогерентных пучков, но чем крупнее топология, тем сложнее с ней работать, поэтому обычно предпочитают использовать меньшие топологии, если у них достаточно открытых множеств. Например, большая топология fppf приводит по существу к той же категории квазикогерентных пучков, что и топология Лис-Эта, но имеет тонкую проблему: естественное вложение квазикогерентных пучков в модули O _X в этой топологии не является точным ( он не сохраняет ядра вообще).

Другие типы стека [ править ]

Дифференцируемые стеки и топологические стеки определяются аналогично алгебраическим стекам, за исключением того, что основная категория аффинных схем заменяется категорией гладких многообразий или топологических пространств.

В более общем смысле можно определить понятие n -пучка или n –1 стека, который примерно представляет собой своего рода пучок, принимающий значения в n –1 категориях. Есть несколько неэквивалентных способов сделать это. 1-связки - это связки, а 2-связки - это стопки. Их называют более высокими стеками .

Очень похожее и аналогичное расширение - развитие теории стека на недискретных объектах (т. Е. Пространство на самом деле является спектром в алгебраической топологии). Полученные стековые объекты называются производными стеками (или спектральными стеками). В разрабатываемой книге Джейкоба Лурье « Спектральная алгебраическая геометрия» изучается обобщение, которое он называет спектральным стеком Делиня – Мамфорда . По определению, это окольцованное ∞-топос , что этально-локально этален спектр из Й ∞ -кольца (это понятие вбирает , что из в производной схеме , по крайней мере , в нулевой характеристике.)

Теоретико-множественные проблемы [ править ]

Есть некоторые незначительные теоретические проблемы множеств с обычным основанием теории стеков, потому что стеки часто определяются как определенные функторы категории множеств и, следовательно, не являются множествами. Есть несколько способов справиться с этой проблемой:

• Можно работать с вселенными Гротендика: тогда стек является функтором между классами некоторой фиксированной вселенной Гротендика, поэтому эти классы и стеки являются наборами в более крупной вселенной Гротендика. Недостатком этого подхода является то, что нужно предполагать существование достаточного количества вселенных Гротендика, что, по сути, является большой кардинальной аксиомой.
• Можно определить стеки как функторы для набора наборов достаточно большого ранга и тщательно отслеживать ранги различных наборов, которые он использует. Проблема в том, что это требует дополнительной, довольно утомительной бухгалтерии.
• Можно использовать принципы отражения из теории множеств, утверждающие, что можно найти модели множеств любого конечного фрагмента аксиом ZFC, чтобы показать, что можно автоматически находить множества, которые являются достаточно близкими приближениями к универсуму всех множеств.
• Можно просто игнорировать проблему. Это подход многих авторов.

См. Также [ править ]

• Алгебраический стек
• Чау-группа стека
• Стек Делин-Мамфорд
• Глоссарий алгебраической геометрии
• Погоня за стеками
• Факторное пространство алгебраического стека
• Кольцо модульных форм
• Симплициальная предпучка
• Stacks Project
• Торический стек

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Педагогический [ править ]

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дан; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гётче, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки , архивировано из оригинала 05.05.2008.
• Гомез, Томас (1999), Алгебраические стеки , arXiv : math / 9911199 , Bibcode : 1999math ..... 11199G - это пояснительная статья, описывающая основы стеков с примерами.
• Эдидин, Дэн (2003), "Что такое ... стек?" (PDF) , Уведомления AMS , 50 (4): 458–459

Путеводители по литературе [ править ]

• https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1974), "Версальные деформации и алгебраические стеки", Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165-189, Bibcode : 1974InMat..27..165A , DOI : 10.1007 / BF01390174 , ISSN  0020-9910 , МР  0399094 , S2CID  122887093
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), "Неприводимость пространства кривых данного рода" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi : 10.1007 / BF02684599 , ISSN  1618-1913 , Руководство по ремонту  0262240 , S2CID  16482150
• Фантечи, Барбара (2001), «Стеки для всех» (PDF) , Европейский математический конгресс, том I , Progr. Math., 201 , Базель: Birkhäuser, стр. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3, MR  1905329
• Жиро, Жан (1964), "Méthode de la descente" , Société Mathématique de France. Бюллетень. Добавка. Mémoire , 2 : viii + 150, MR  0190142
• Жиро, Жан (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2 , диссертация, Париж
• Жиро, Жан (1971), Cohomologie non abélienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7
• Гомес, Томас Л. (2001), «Алгебраические стеки», Индийская академия наук. Ход работы. Математические науки , 111 (1): 1–31, arXiv : math / 9911199 , doi : 10.1007 / BF02829538 , MR  1818418 , S2CID  373638
• Гротендик, Александр (1959). "Technique de descente et teorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats" . Séminaire Bourbaki . 5 (Exposé 190).
• Лаумон, Жерар; Морет-Байи, Лоран (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных исследований по математике, 39 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3, MR  1771927К сожалению, в этой книге используется неверное утверждение, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-étale topoi. Некоторые из этих ошибок были исправлены Olsson (2007) .
• Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2008), «Шесть операций над пучками на стеках Артина. I. Конечные коэффициенты», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 107 (1): 109–168, arXiv : math / 0512097 , doi : 10.1007 / s10240-008-0011-6 , MR  2434692 , S2CID  371801
• Мамфорд, Дэвид (1965), "Группы Пикара проблем модулей" , в Schilling, OFG (ed.), Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Нью-Йорк: Harper & Row, стр. 33– 81, MR  0201443
• Олссон, Мартин Кристиан (2007), Геращенко, Антон (редактор), Примечания к курсу для Math 274: Стеки (PDF)
• Ольссон, Мартин (2016), Алгебраические пространства и стеки , Публикации коллоквиума, 62 , Американское математическое общество, ISBN 978-1470427986
• Вистоли, Анджело (2005), "Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Math. Surveys Monogr., 123 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 1–104, arXiv : math / 0412512 , Bibcode : 2004math ..... 12512V , MR  2223406

Дальнейшее чтение [ править ]

• Морава, Джек (2012). «Теории о чем угодно». arXiv : 1202.0684 [ math.CT ].

Внешние ссылки [ править ]

• стек в nLab
• спуск в nLab
• де Йонг, Айз Йохан, Stacks Project
• Фултон, Уильям, что такое стек? , Видеолекция и заметки ИИГС
• Тоен, Бертран (2007), Cours de Master 2: Champs algébriques (2006-2007)
• "Хорошие вводные ссылки на алгебраические стеки?"