В формулировке ADM из общей теории относительности , пространство разделяется на пространственные ломтики и оси времени. В качестве основных переменных берется индуцированная метрика на пространственном срезе и сопряженном импульсе метрики , который связан с внешней кривизной и является мерой того, как индуцированная метрика эволюционирует во времени. [1] Это метрические канонические координаты .
В 1986 году Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, Аштекарские ( новые ) переменные, чтобы представить необычный способ переписать метрические канонические переменные на трехмерных пространственных срезах в терминах калибровочного поля SU (2) и его дополнительной переменной. [2]
Обзор
Переменные Аштекара обеспечивают так называемое представление связи канонической общей теории относительности, которое привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности [3] и, в свою очередь, петлевой квантовой гравитации и квантовой теории голономии . [4]
Введем набор из трех векторных полей , которые ортогональны, то есть
- .
В называются триада или дрей-бейн (дословный перевод с немецкого «трехногий»). В настоящее время существует два разных типа индексов, "космические" индексы. которые ведут себя как обычные индексы в искривленном пространстве, а "внутренние" индексы которые ведут себя как индексы плоского пространства (соответствующая "метрика", повышающая и понижающая внутренние индексы, просто ). Определите двойной дрей-бейн в виде
- .
Тогда у нас есть два отношения ортогональности
где - обратная матрица метрики (это происходит из-за подстановки формулы двойного дрей-бейн через дрей-бейн в и используя ортогональность дрей-бейнов).
а также
(это происходит из-за заключения контракта с участием и с использованием линейной независимости из). Тогда легко проверить из первого соотношения ортогональности (используя) что
мы получили формулу обратной метрики в терминах drei-beins - drei-beins можно рассматривать как «квадратный корень» из метрики (физический смысл этого состоит в том, что метрика , когда написано с точки зрения основы , локально плоская). На самом деле то, что действительно считается,
- ,
который включает уплотненный дрей-бейн вместо этого (уплотненный как ). Выздоравливает отпоказатель, умноженный на множитель, заданный его определителем. Ясно, что а также содержат ту же информацию, только переставленную. Теперь выбор дляне уникален, и фактически можно выполнить локальное в пространстве вращение относительно внутренних индексовбез изменения (обратной) метрики. Это происхождениекалибровочная инвариантность. Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, имеющими внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную ( ковариантную производную ), например ковариантную производную для объекта. будет
где - обычная связь Леви-Чивита иэто так называемая спиновая связь . Возьмем конфигурационную переменную равной
где а также . Уплотненный дрей-бейн - это сопряженная импульсная переменная этого трехмерного калибровочного поля SU (2) (или связи), в том, что он удовлетворяет скобке Пуассона
- .
Постоянная - параметр Иммирци , фактор, который перенормирует постоянную Ньютона . Уплотненный дрей-бейн можно использовать для восстановления метрики, как описано выше, а соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Переменные Аштекар соответствуют выбору(отрицательное значение мнимого числа ),тогда называется киральной спиновой связностью. Причина такого выбора спиновой связи заключалась в том, что Аштекар мог значительно упростить наиболее проблемное уравнение канонической общей теории относительности, а именно гамильтонову связь LQG ; этот выбор заставил его второй, внушающий страх, член исчезнуть, а оставшийся член стал полиномиальным от его новых переменных. Это породило новые надежды на каноническую программу квантовой гравитации. [5] Однако это действительно представляло определенные трудности. Хотя переменные Аштекара обладали преимуществом упрощения гамильтониана, у него есть проблема, заключающаяся в том, что переменные становятся сложными. [6] При квантовании теории трудно обеспечить восстановление реальной общей теории относительности в отличие от сложной общей теории относительности. Также гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана, то есть он работал с. Возникли серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор . Именно Томас Тиманн смог применить обобщение формализма Аштекара к реальным связям (принимает действительные значения) и, в частности, в 1996 году разработал способ упрощения исходного гамильтониана вместе со вторым членом. Он также смог продвинуть это гамильтоново ограничение на хорошо определенный квантовый оператор в рамках петлевого представления. [7] Для описания этих событий см. Запись на домашней странице Джона Баэза « Гамильтоновы ограничения в петлевом представлении квантовой гравитации» . [8]
Ли Смолин и Тед Якобсон и Джозеф Самуэль независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодуальную формулировку тетрадического принципа действия Палатини общей теории относительности. [9] [10] [11] Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом [12] и в терминах тетрад Хенно и др. [13]
Рекомендации
- ^ Gravitation Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, опубликованный WH Freeman и компанией. Нью-Йорк.
- ^ Аштекара, A (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма с физическим обзором . 57 (18): 2244–2247. Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A . DOI : 10.1103 / physrevlett.57.2244 . PMID 10033673 .
- ^ Rovelli, C .; Смолин, Л. (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическим обзором . 61 (10): 1155–1158. Bibcode : 1988PhRvL..61.1155R . DOI : 10.1103 / physrevlett.61.1155 . PMID 10038716 .
- ^ Дж. Ааструп; Дж. М. Гримструп (2015). «Квантовая теория голономии». Fortschritte der Physik . 64 (10): 783. arXiv : 1504.07100 . Bibcode : 2016ForPh..64..783A . DOI : 10.1002 / prop.201600073 .
- ^ См. Книгу « Лекции о непертурбативной канонической гравитации» для получения более подробной информации об этом и последующем развитии. Впервые опубликовано в 1991 году. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
- ↑ См. Часть III, главу 5 книги « Измерительные поля, узлы и гравитация» , Джон Баэз, Хавьер П. Муниайн. Впервые опубликовано в 1994 г. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
- ^ Тиманн, Т. (1996). "Формулировка без аномалий непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации". Физика Письма Б . Elsevier BV. 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc / 9606088 . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (96) 00532-1 . ISSN 0370-2693 .
- ^ Гамильтоново ограничение в петлевом представлении квантовой гравитации , http://math.ucr.edu/home/baez/hamiltonian/hamiltonian.html
- ^ Самуэль, Дж. (Апрель 1987 г.). «Лагранжева основа для формулировки Аштекара канонической гравитации» . Прамана - Физический журнал . Индийская национальная академия наук. 28 (4): L429-L432.
- ^ Джейкобсон, Тед; Смолин, Ли (1987). «Левосторонняя спиновая связь как переменная канонической гравитации». Физика Письма Б . Elsevier BV. 196 (1): 39–42. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (87) 91672-8 . ISSN 0370-2693 .
- ^ Якобсон, Т; Смолин, Л. (1988-04-01). «Ковариантное действие для формы канонической гравитации Аштекара». Классическая и квантовая гравитация . IOP Publishing. 5 (4): 583–594. DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 5/4/006 . ISSN 0264-9381 .
- ^ Гольдберг, Дж. Н. (1988-04-15). «Триадный подход к гамильтониану общей теории относительности». Physical Review D . Американское физическое общество (APS). 37 (8): 2116–2120. DOI : 10.1103 / physrevd.37.2116 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Henneaux, M .; Нельсон, Дж. Э .; Шомблонд, К. (1989-01-15). «Вывод аштекарских переменных из тетрадной гравитации». Physical Review D . Американское физическое общество (APS). 39 (2): 434–437. DOI : 10.1103 / physrevd.39.434 . ISSN 0556-2821 .
дальнейшее чтение
- Аштекар, Абхай (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма с физическим обзором . 57 (18): 2244–2247. Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.57.2244 . PMID 10033673 .