Уэлемент
В теории множеств , разделе математики , urelement или ur-element (от немецкого префикса ur- , «изначальный») — это объект, который не является множеством , но может быть элементом множества. Его также называют атомом или индивидуумом .
Существует несколько различных, но по существу эквивалентных способов трактовки ure-элементов в теории первого порядка .
Один из способов — работать в теории первого порядка с двумя сортами, множествами и элементами, где a ∈ b определено только тогда, когда b — множество. В этом случае, если U — элемент, то нет смысла говорить , хотя и вполне правомерно.
Другой способ — работать в односортной теории с унарным отношением , используемым для различения множеств и элементов. Поскольку непустые наборы содержат элементы, а urelements — нет, унарное отношение необходимо только для того, чтобы отличить пустой набор от urelements. Обратите внимание, что в этом случае аксиому экстенсиональности необходимо сформулировать так, чтобы она применялась только к объектам, не являющимся элементами.
Эта ситуация аналогична трактовке теорий множеств и классов . В самом деле, urelements в некотором смысле двойственны собственным классам : urelements не могут иметь членов, тогда как правильные классы не могут быть членами. Иными словами, urelements — это минимальные объекты, в то время как собственные классы являются максимальными объектами по отношению принадлежности (которое, конечно, не является отношением порядка, так что эту аналогию не следует понимать буквально).
Теория множеств Цермело 1908 г. включала urelements, и, следовательно, это версия, которую мы сейчас называем ZFA или ZFCA (т.е. ZFA с аксиомой выбора ). [1] Вскоре стало понятно, что в контексте этой и близкородственных аксиоматических теорий множеств urelements не нужны, потому что их можно легко смоделировать в теории множеств без urelements. [2] Таким образом, стандартные изложения канонических аксиоматических теорий множеств ZF и ZFC не упоминают urelements. ( Исключение см. в Suppes. [ 3] ) ., и вариант теории множеств фон Неймана – Бернайса – Гёделя, описанный Мендельсоном. [4] В теории типов объект типа 0 можно назвать urelement; отсюда и название «атом».