Дельта-метод

В статистике дельта- метод - это результат, касающийся приблизительного распределения вероятностей для функции асимптотически нормальной статистической оценки на основе знания предельной дисперсии этой оценки.

Дельта-метод был получен из распространения ошибки , и его идея была известна в начале 19 века. ^[1] Его статистическое применение можно проследить еще в 1928 году Т.Л. Келли . ^[2] Формальное описание метода было представлено Дж. Л. Дубом в 1935 г. ^[3] Роберт Дорфман также описал его версию в 1938 г. ^[4]

В то время как дельта-метод легко обобщается на многомерные условия, тщательная мотивация метода легче продемонстрировать в одномерных терминах. Грубо говоря, если существует последовательность случайных величин $X n$ , удовлетворяющая

где θ и σ ² — конечнозначные константы и обозначают сходимость по распределению , то ${\xrightarrow {D}}$

Демонстрация этого результата довольно проста в предположении, что $g$ ′ $($ $θ$ $)$ непрерывна . Для начала воспользуемся теоремой о среднем значении (т. е. приближением первого порядка ряда Тейлора с использованием теоремы Тейлора ):

где лежит между $X$ $n$ и θ . Обратите внимание, что, поскольку и , это должно быть так и поскольку $g'$ $($ $θ$ $)$ непрерывно, применение теоремы о непрерывном отображении дает ${\tilde {\theta }}$ $X_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta$ $|{\tilde {\theta }}-\theta |<|X_{n}-\theta |$ ${\tilde {\theta }}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta$