Неопределенность u можно выразить несколькими способами. Его можно определить абсолютной погрешностью Δ x . Неопределенности также можно определить с помощью относительной ошибки (Δ x ) / x , которая обычно записывается в процентах. Чаще всего, неопределенность в количестве количественно в терминах стандартного отклонения , сг , что положительный квадратный корень из дисперсии . Тогда значение величины и ее погрешность выражаются в виде интервала x ± u . Если статистическое распределение вероятности переменной известно или может предполагаться, можно вывести доверительные границы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляет примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет охватывать истинное значение примерно в 68% от случаи.
Если неопределенность коррелируется то ковариационная должны быть приняты во внимание. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть скоррелированы. Во-вторых, когда лежащие в основе значения коррелируются по совокупности, неопределенности средних значений по группе будут коррелированы. [1]
Линейные комбинации
Позволять - набор из m функций, которые являются линейными комбинациями переменные с коэффициентами комбинации :
или в матричной записи,
Кроме того, пусть ковариационной матрицы из х = ( х 1 , ..., х п ) обозначим через и обозначим среднее значение как :
Тогда матрица дисперсии-ковариации функции f определяется выражением
В обозначениях компонентов уравнение
читает
Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки по x не коррелированы, общее выражение упрощается до
где - дисперсия k -го элемента вектора x . Обратите внимание, что даже если ошибки по x могут быть некоррелированными, ошибки по f, как правило, коррелированы; другими словами, даже если - диагональная матрица, это вообще полная матрица.
Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a - вектор-строка):
Каждый член ковариации можно выразить через коэффициент корреляции от , так что альтернативное выражение для дисперсии f имеет вид
В случае, если переменные в x не коррелированы, это еще больше упрощается до
В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим
Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , распространение интервала может быть выполнено для вычисления интервалов, которые содержат все согласованные значения переменных. При вероятностном подходе функция f обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора первого порядка , хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов . [2] Расширение Тейлора будет:
где обозначает частную производную от ф к по отношению к я -й переменной, оцениваемые по среднему значению всех компонент вектора х . Или в матричной записи ,
где J - матрица Якоби . Поскольку f 0 является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов A ki и A kj частными производными, а также . В матричной записи [3]
То есть якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с.
Упрощение
Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных дает инженерам и ученым-экспериментаторам общую формулу для расчета распространения ошибок, формулу дисперсии: [4]
где представляет собой стандартное отклонение функции , представляет собой стандартное отклонение , представляет собой стандартное отклонение , и так далее.
Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента и поэтому это хорошая оценка стандартного отклонения так долго как достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация должно быть близко к внутри окрестности радиуса . [5]
Пример
Любая нелинейная дифференцируемая функция, , двух переменных, а также , может быть расширен как
следовательно:
где стандартное отклонение функции , стандартное отклонение , стандартное отклонение а также ковариация между а также .
В частном случае, когда , . потом
или же
где корреляция между а также .
Когда переменные а также некоррелированы, . потом
Предостережения и предупреждения
Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования разложения в усеченный ряд. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленной для log (1+ x ), увеличивается с увеличением x , поскольку расширение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близко к нулю.
В частном случае обратного или обратного , где следует стандартному нормальному распределению , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии. [7]
Однако в несколько более общем случае сдвинутой обратной функции для следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсами и среднее имеет реальную ценность. [8]
Соотношения
Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.
Примеры формул
В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций реальных переменных. , со стандартными отклонениями ковариация. Действительные коэффициенты a и b считаются точно известными (детерминированными), т. Е..
В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» A и B следует понимать как ожидаемые значения (т. Е. Значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность), и следует понимать значение функции, вычисленное при математическом ожидании .
Автокорреляции А обозначается; только если вариация точна (), что его самовычитание имеет нулевую дисперсию .
Для некоррелированных переменных () члены ковариации также равны нулю, так как . В этом случае выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает
По делу у нас также есть выражение Гудмана [2] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это
и поэтому у нас есть:
Примеры расчетов
Функция обратной тангенса
Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.
Определять
где это абсолютная неопределенность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна
Следовательно, наша распространенная неопределенность равна
где - распространенная абсолютная неопределенность.
Измерение сопротивления
Практическое применение является эксперимент , в котором измеряется ток , I , и напряжение , В , на резисторе , с тем , чтобы определить сопротивление , R , с использованием закона Ома , R = V / I .
Учитывая измеряемые переменные с неопределенностями, I ± σ I и V ± σ V , и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисляемой величины σ R составляет:
Смотрите также
Тщательность и точность
Автоматическая дифференциация
Дельта-метод
Снижение точности (навигация)
Ошибки и неточности в статистике
Экспериментальный анализ неопределенности
Интервальный конечный элемент
Погрешность измерения
Анализ границ вероятности
Значимость арифметики
Количественная оценка неопределенности
Случайно-нечеткая переменная
Рекомендации
^ Киршнер, Джеймс. «Инструментарий анализа данных № 5: Анализ неопределенности и распространение ошибок» (PDF) . Лаборатория сейсмологии Беркли . Калифорнийский университет . Проверено 22 апреля 2016 года .
^ а бГудман, Лео (1960). «О точной дисперсии товаров». Журнал Американской статистической ассоциации . 55 (292): 708–713. DOI : 10.2307 / 2281592 . JSTOR 2281592 .
^ Очоа1, Бенджамин; Белонги, Серж «Распространение ковариации для управляемого сопоставления». Архивировано 20 июля 2011 г.в Wayback Machine.
^Ку, HH (октябрь 1966 г.). «Замечания по использованию формул распространения ошибок» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . 70C (4): 262. DOI : 10,6028 / jres.070c.025 . ISSN 0022-4316 . Проверено 3 октября 2012 года .
^Клиффорд, AA (1973). Многомерный анализ ошибок: руководство по распространению ошибок и расчетам в многопараметрических системах . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0470160558.[ требуется страница ]
^Ли, SH; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 37 (3): 239–253. DOI : 10.1007 / s00158-008-0234-7 . S2CID 119988015 .
^Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1 . Вайли. п. 171. ISBN. 0-471-58495-9.
^Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций . 332 (11): 2750–2776. DOI : 10.1016 / j.jsv.2012.12.009 .
^«Сводка распространения ошибок» (PDF) . п. 2. Архивировано из оригинального (PDF) 13 декабря 2016 года . Проверено 4 апреля 2016 .
^«Распространение неопределенности с помощью математических операций» (PDF) . п. 5 . Проверено 4 апреля 2016 .
^«Стратегии оценки дисперсии» (PDF) . п. 37 . Проверено 18 января 2013 .
^ а бХаррис, Дэниел С. (2003), Количественный химический анализ (6-е изд.), Macmillan, стр. 56, ISBN 978-0-7167-4464-1
^«Учебник по распространению ошибок» (PDF) . Предгорный колледж . 9 октября 2009 . Проверено 1 марта 2012 .
дальнейшее чтение
Бевингтон, Филип Р .; Робинсон, Д. Кейт (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории , Springer, стр. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически прогнозировать ошибки измерения , CreateSpace
Rouaud, M. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (сокращенное издание)
Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
Ван, СМ; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространения неопределенностей». Метрология . 42 (5): 406–410. DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 42/5/011 . ISSN 0026-1394 .
Внешние ссылки
Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
ГУМ , Руководство по выражению неопределенности в измерениях
EPFL Введение в распространение ошибок , вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx '
пакет неопределенностей , программа / библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
пакет soerp , программа / библиотека на Python для прозрачного выполнения вычислений * второго порядка * с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Проверено 13 февраля 2013 года .
Калькулятор неопределенности Распространение неопределенности для любого выражения