Ошибка аппроксимации

График (синий) с его линейной аппроксимацией (красный) при a = 0. Ошибка аппроксимации - это зазор между кривыми, и она увеличивается для значений x дальше от 0.

{\ Displaystyle е (х) = е ^ {х}}

{\ Displaystyle P_ {1} (х) = 1 + х}

Ошибка аппроксимации в некоторых данных является расхождение между точным значением и некоторым приближением к ней. Ошибка аппроксимации может возникнуть по следующим причинам:

измерения в данном не является точным из - за инструменты. (например, точное показание листа бумаги составляет 4,5 см, но, поскольку линейка не использует десятичные дроби, вы округлите его до 5 см.) или
приближения

В математической области численного анализа , то устойчивость численная из алгоритма показывает , как ошибка распространяются по алгоритму.

Формальное определение [ править ]

Один из часто различает относительной погрешности и абсолютной С учетом некоторого значения V и его приближение V _ок , то абсолютная погрешность составляет

{\ Displaystyle \ epsilon = | v-v _ {\ текст {приблизительно}} | \,}

где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение . Если относительная погрешность составляет ${\ displaystyle v \ neq 0,}$

{\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ epsilon} {| v |}} = \ left | {\ frac {v-v _ {\ text {приблизительно}}} {v}} \ right | = \ left | 1 - {\ frac {v _ {\ text {приблизительно}}} {v}} \ right |,}

и ошибка процентов является

{\ displaystyle \ delta = 100 \% \ times \ eta = 100 \% \ times {\ frac {\ epsilon} {| v |}} = 100 \% \ times \ left | {\ frac {v-v _ {\ текст {приблизительно}}} {v}} \ right |.}

На словах абсолютная ошибка - это величина разницы между точным значением и приближением. Относительная ошибка - это абсолютная ошибка, деленная на величину точного значения. Ошибка в процентах - это относительная ошибка, выраженная в 100 единицах.

Граница ошибки - это верхний предел относительного или абсолютного размера ошибки аппроксимации.

Обобщения [ править ]

Эти определения могут быть расширены на случай, когда и являются n -мерными векторами , заменой модуля на n -норму . ^[1] ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {приблизительно}}}$

Примеры [ править ]

Например, если точное значение равно 50, а приближение - 49,9, тогда абсолютная ошибка составляет 0,1, а относительная ошибка составляет 0,1 / 50 = 0,002 = 0,2%. Другой пример: если при измерении стакана на 6 мл считанное значение будет 5 мл. Правильное показание составляет 6 мл, это означает, что процентная погрешность в данной конкретной ситуации округляется до 16,7%.

Относительная ошибка часто используется для сравнения приближений чисел разного размера; например, приближение числа 1000 с абсолютной ошибкой 3 в большинстве приложений намного хуже, чем приближение числа 1000000 с абсолютной ошибкой 3; в первом случае относительная погрешность составляет 0,003, а во втором - всего 0,000003.

Следует иметь в виду две особенности относительной ошибки. Во-первых, относительная ошибка не определена, когда истинное значение равно нулю, как оно указано в знаменателе (см. Ниже). Во-вторых, относительная погрешность имеет смысл только при измерении по шкале отношений (т. Е. Шкале с истинным значимым нулем), в противном случае она будет чувствительна к единицам измерения. Например, когда абсолютная погрешность измерения температуры по шкале Цельсия составляет 1 ° C, а истинное значение - 2 ° C, относительная погрешность составляет 0,5, а погрешность в процентах составляет 50%. Для того же случая, когда температура дана в шкале Кельвина , та же абсолютная ошибка 1 К с тем же истинным значением 275,15 К дает относительную ошибку 3,63 × 10.^{- 3} % и погрешность всего 0,363%. Температура Цельсия измеряется по шкале интервалов , тогда как шкала Кельвина имеет истинный ноль, как и шкала отношений.

Инструменты [ править ]

В большинстве индикаторных приборов точность гарантируется до определенного процента от полной шкалы. Пределы этих отклонений от указанных значений известны как предельные ошибки или гарантийные ошибки. ^[2]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Голуб, Джин ; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления - третье издание . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
^ Хелфрик, Альберт Д. (2005) Современные электронные приборы и методы измерения . п. 16. ISBN 81-297-0731-4

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Ошибка в процентах» . MathWorld .

[GOLUB_MAT_COMP2.2.3-1] Голуб, Джин ; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления - третье издание . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ISBN 0-8018-5413-X.

[2] Хелфрик, Альберт Д. (2005) Современные электронные приборы и методы измерения . п. 16. ISBN 81-297-0731-4

[1]