Распространение неопределенности

В статистике , распространение неопределенности (или распространения ошибки ) является влияние переменных ' неопределенности (или ошибки , более конкретно , случайные ошибки ) на неопределенности в функции на их основе. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность u можно выразить несколькими способами. Его можно определить абсолютной погрешностью Δ x . Неопределенности также можно определить с помощью относительной ошибки (Δ x ) / x , которая обычно записывается в процентах. Чаще всего, неопределенность в количестве количественно в терминах стандартного отклонения , сг , что положительный квадратный корень из дисперсии . Тогда значение величины и ее ошибка выражаются в виде интервала x ± u . Если статистическое распределение вероятностейЕсли переменная известна или может предполагаться, можно вывести доверительные границы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляет примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет охватывать истинное значение примерно в 68% от случаи.

Если неопределенность коррелируется то ковариационная должны быть приняты во внимание. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть скоррелированы. Во-вторых, когда лежащие в основе значения коррелируются по совокупности, неопределенности средних значений по группе будут коррелированы. ^[1]

Линейные комбинации [ править ]

Позвольте быть набор из m функций, которые являются линейными комбинациями переменных с коэффициентами комбинации :${\ displaystyle \ {f_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle A_ {k1}, A_ {k2}, \ dots, A_ {kn}, (k = 1, \ dots, m)}$

${\ displaystyle f_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ki} x_ {i},}$

или в матричной записи,

${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ mathbf {Ax}.}$

Кроме того, пусть ковариационная матрица из й  = ( х ₁ , ...,  х _п ) будут обозначать :${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{12}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{13}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

Тогда матрица дисперсии-ковариации функции f имеет вид${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl},}$

или в матричной записи,

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.}$

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки по x не коррелированы, общее выражение упрощается до

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$

где - дисперсия k -го элемента вектора x . Обратите внимание, что даже если ошибки по x могут быть некоррелированными, ошибки по f, как правило, коррелированы; другими словами, даже если это диагональная матрица, в общем случае это полная матрица.${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a - вектор-строка):

${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$

Каждый член ковариации может быть выражен в терминах коэффициента корреляции пути , так , что альтернативное выражение для дисперсии F является${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

В случае, если переменные в x не коррелированы, это еще больше упрощается до

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$

В простейшем случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим

${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$

Нелинейные комбинации [ править ]

Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , распространение интервала может быть выполнено для вычисления интервалов, которые содержат все согласованные значения переменных. При вероятностном подходе функция f обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора первого порядка , хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов . ^[2] Расширение Тейлора будет:

${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$

где обозначает частную производную от ф _к по отношению к я -й переменной, оцениваемые по среднему значению всех компонент вектора х . Или в матричной записи ,${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$

где J - матрица Якоби . Поскольку f ⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов A _ki и A _kj частными производными, и . В матричной записи ^[3]${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$

То есть якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с .${\displaystyle \mathrm {J=A} }$

Упрощение [ править ]

Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных дает инженерам и ученым-экспериментаторам общую формулу для расчета распространения ошибок, формулу дисперсии: ^[4]

${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$

где представляет стандартное отклонение функции , представляет стандартное отклонение , представляет стандартное отклонение и т. д.${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle y}$

Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента, и поэтому она является хорошей оценкой стандартного отклонения до тех пор, пока оно достаточно мало. В частности, линейное приближение должно быть близко к внутренней окрестности радиуса . ^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$

Пример [ править ]

Любая нелинейная дифференцируемая функция двух переменных и может быть разложена как${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b}$

следовательно:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab}}$

где - стандартное отклонение функции , - стандартное отклонение , - стандартное отклонение и - ковариация между и .${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

В частном случае , . потом${\displaystyle f=ab}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b,{\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$

или же

${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$

где - соотношение между и .${\displaystyle \rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Когда переменные и некоррелированны, . потом${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \rho _{ab}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$

Предостережения и предупреждения [ править ]

Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования разложения в усеченный ряд. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленной для log (1+ x ), увеличивается с увеличением x , поскольку расширение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близко к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; ^[6] подробности см. В Методологиях количественной оценки неопределенности для прямого распространения неопределенности .

Взаимные и сдвинутые взаимные [ править ]

В частном случае обратного или обратного , когда следует стандартное нормальное распределение , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии. ^[7]${\displaystyle 1/B}$${\displaystyle B=N(0,1)}$

Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции для следования общему нормальному распределению статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом и средним значением является действительной. ^[8]${\displaystyle 1/(p-B)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$

Коэффициенты [ править ]

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул [ править ]

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций реальных переменных с ковариацией стандартных отклонений и точно известными (детерминированными) действительными константами (a и b не связаны с A и B) (т. Е. ). В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» следует понимать ожидаемые значения (т. Е. Значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность) и следует понимать как значение функции, вычисленное при ожидаемом значении .${\displaystyle A,B\!}$${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},\,}$ ${\displaystyle \sigma _{AB}}$${\displaystyle a,b\,}$${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0}$${\displaystyle A,B\!}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A,B\!}$

Функция	Дисперсия	Стандартное отклонение
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=aA+bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-aA,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2a^{2}\sigma _{A}^{2}(1-\rho _{A})}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {2}}\left|a\right|\sigma _{A}(1-\rho _{A})^{1/2}}$
${\displaystyle f=AB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[9] [10]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[11]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$[12]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$[12]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[13]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|(b\ln(a)\sigma _{A})\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}$

Для некоррелированных переменных ( ) члены ковариации также равны нулю, так как .${\displaystyle \rho _{AB}=0}$${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}\,}$

Автокорреляции А обозначается ; только если вариация точна ( ), ее самовычитание имеет нулевую дисперсию .${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \rho _{A}=1}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$

В этом случае выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает

${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$

Для этого случая у нас также есть выражение Гудмана ^[2] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это${\displaystyle f=AB}$

${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2})}$

и поэтому у нас есть:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}}$

Примеры расчетов [ править ]

Функция обратной касательной [ править ]

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять

${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$

где - абсолютная неопределенность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна${\displaystyle \Delta _{x}}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна

${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$

где - абсолютная распространенная неопределенность.${\displaystyle \Delta _{f}}$

Измерение сопротивления [ править ]

Практическое применение является эксперимент , в котором измеряется ток , I , и напряжение , В , на резисторе , с тем , чтобы определить сопротивление , R , с использованием закона Ома , R = V / I .

Учитывая измеряемые переменные с неопределенностями, I ± σ _I и V ± σ _V , и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисляемой величины σ _R составляет:

${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$

См. Также [ править ]

• Тщательность и точность
• Автоматическая дифференциация
• Дельта-метод
• Снижение точности (навигация)
• Ошибки и неточности в статистике
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Интервальный конечный элемент
• Погрешность измерения
• Анализ границ вероятности
• Значимость арифметики
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бевингтон, Филип Р .; Робинсон, Д. Кейт (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность в физических измерениях: введение в анализ данных в физической лаборатории , Springer, стр. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически прогнозировать ошибки измерения , CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (сокращенное издание)
• Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
• Ван, СМ; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространения неопределенностей». Метрология . 42 (5): 406–410. DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 42/5/011 . ISSN  0026-1394 .

Внешние ссылки [ править ]

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
• ГУМ , Руководство по выражению неопределенности в измерениях
• EPFL Введение в распространение ошибок , вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx '
• пакет неопределенностей , программа / библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• пакет soerp , программа / библиотека на Python для прозрачного выполнения вычислений * второго порядка * с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Проверено 13 февраля 2013 года .
• Калькулятор неопределенности Распространение неопределенности для любого выражения