Относительное изменение и различие

В любой количественной науке термины относительное изменение и относительная разница используются для сравнения двух величин с учетом «размеров» сравниваемых вещей. Сравнение выражается в виде отношения и представляет собой безразмерное число . Умножив эти отношения на 100, они могут быть выражены в процентах, поэтому обычно используются термины процентное изменение , процентная (возрастная) разница или относительная процентная разница . Различие между «изменением» и «различием» зависит от того, считается ли одна из сравниваемых величинстандартное или справочное или начальное значение. Когда это происходит, используется термин относительное изменение (по отношению к контрольному значению), в противном случае термин относительная разница предпочтительнее. Относительная разница часто используется в качестве количественного показателя обеспечения качества и контроля качества для повторных измерений, когда ожидается, что результаты будут одинаковыми. Особый случай процентного изменения (относительное изменение, выраженное в процентах), называемое процентной ошибкой. имеет место при измерении ситуации, когда опорное значение является общепринятым или фактическое значение (возможно, теоретически определена), а значение сравнивается с экспериментально определена (путем измерения).

Определения [ править ]

Учитывая две числовые величины, х и у , их разность , Δ = х - у , можно назвать их фактическую разницу . Когда y является опорным значением (теоретическим / фактическим / правильным / принятым / оптимальным / начальным и т. Д. Значением; значение, с которым сравнивается x ), то Δ называется их фактическим изменением . Когда нет эталонного значения, знак Δ не имеет большого значения при сравнении двух значений, поскольку не имеет значения, какое из двух значений записывается первым, поэтому часто работают с | Δ | = | х - у| , абсолютная разность вместо Δ в этих ситуациях. Даже при наличии эталонного значения, если не имеет значения, больше или меньше сравниваемое значение, чем эталонное значение, вместо фактического изменения можно рассматривать абсолютную разницу.

Абсолютная разница между двумя значениями - не всегда хороший способ сравнить числа. Например, абсолютная разница в 1 между 6 и 5 более значительна, чем такая же абсолютная разница между 100 000 001 и 100 000 000. Мы можем скорректировать сравнение, чтобы учесть «размер» задействованных величин, определив для положительных значений _ссылки x :

${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{x_{\text{reference}}}}={\frac {\Delta }{x_{\text{reference}}}}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{x_{\text{reference}}}}.}$

Относительное изменение не определен , если опорное значение ( х _ссылка ) равна нулю.

Для значений, превышающих контрольное значение, относительное изменение должно быть положительным числом, а для меньших значений относительное изменение должно быть отрицательным. Приведенная выше формула ведет себя таким образом, только если _ссылка x положительна, и меняет это поведение на противоположное, если _ссылка x отрицательная. Например, если мы калибруем термометр, который показывает −6 ° C, тогда как он должен показывать −10 ° C, эта формула для относительного изменения (которое в данном случае называется относительной ошибкой ) дает ((−6) - (−10 )) / (-10) = 4 / -10 = -0,4 , но показание слишком высокое. Чтобы решить эту проблему, мы изменяем определение относительного изменения, чтобы оно работало правильно для всех ненулевых значений _ссылки x.:

${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{|x_{\text{reference}}|}}={\frac {\Delta }{|x_{\text{reference}}|}}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{|x_{\text{reference}}|}}.}$

Если отношение значения к контрольному значению (то есть большее или меньшее) не имеет значения в конкретном приложении, абсолютная разница может использоваться вместо фактического изменения в приведенной выше формуле для получения значения для относительное изменение, которое всегда неотрицательно.

Определение относительной разницы не так просто, как определение относительного изменения, поскольку не существует «правильного» значения для масштабирования абсолютной разницы. В результате есть много вариантов того, как определить относительную разницу, и какая из них используется, зависит от того, для чего используется сравнение. В целом можно сказать, что абсолютная разница | Δ | масштабируется некоторой функцией значений x и y , например f ( x , y ) . ^[1]

${\displaystyle {\text{Relative difference}}(x,y)={\frac {\text{Absolute difference}}{|f(x,y)|}}={\frac {|\Delta |}{|f(x,y)|}}=\left|{\frac {x-y}{f(x,y)}}\right|.}$

Как и в случае с относительным изменением, относительная разница не определена, если f ( x , y ) равно нулю.

Несколько общих вариантов для функции f ( x , y ) :

• макс (| х |, | у |),
• макс ( х , у ),
• мин (| х |, | у |),
• мин ( х , у ),
• ( x + y ) / 2 и
• (| х | + | у |) / 2.

Формулы [ править ]

Меры относительной разницы - это безразмерные числа, выраженные в виде дробей . Соответствующие значения процентной разницы можно получить, умножив эти значения на 100 (и добавив знак%, чтобы указать, что значение является процентным).

Один из способов определить относительную разницу двух чисел - это взять их абсолютную разницу, разделенную на максимальное абсолютное значение двух чисел.

${\displaystyle d_{r}={\frac {|x-y|}{\max(|x|,|y|)}}\,}$

если хотя бы одно из значений не равно нулю. Этот подход особенно полезен при сравнении значений с плавающей запятой в языках программирования на равенство с определенным допуском. ^[2] Другое приложение - вычисление ошибок аппроксимации, когда требуется относительная погрешность измерения.

Другой способ определить относительную разницу двух чисел - это взять их абсолютную разницу, разделенную на некоторое функциональное значение двух чисел, например, абсолютное значение их среднего арифметического :

${\displaystyle d_{r}={\frac {|x-y|}{\left({\frac {|x+y|}{2}}\right)}}\,.}$

Этот подход часто используется, когда два числа отражают изменение какого-то одного базового объекта. ^{[ необходима цитата ]} Проблема с вышеуказанным подходом возникает, когда функциональное значение равно нулю. В этом примере, если x и y имеют одинаковую величину, но противоположный знак, то

${\displaystyle {\frac {|x+y|}{2}}=0,}$

что вызывает деление на 0. Так что может быть лучше заменить знаменатель на среднее абсолютных значений x и  y : ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle d_{r}={\frac {|x-y|}{\left({\frac {|x|+|y|}{2}}\right)}}\,.}$

Ошибка в процентах [ править ]

Процентная погрешность - это частный случай процентной формы относительного изменения, вычисляемой как абсолютное изменение между экспериментальным (измеренным) и теоретическим (принятым) значениями и деленное на теоретическое (принятое) значение.

${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$

Термины «экспериментальный» и «теоретический», используемые в приведенном выше уравнении, обычно заменяются аналогичными терминами. Другие термины, используемые для экспериментальных, могут быть «измеренными», «рассчитанными» или «фактическими», а другой термин, используемый для теоретических, может быть «принят». Экспериментальная ценность - это то, что было получено с помощью вычислений и / или измерений, и ее точность проверяется на соответствие теоретическому значению, значению, принятому научным сообществом, или значению, которое может рассматриваться как цель для успешного результата.

Хотя при обсуждении процентной ошибки обычно используется версия относительного изменения с абсолютным значением, в некоторых ситуациях может быть полезно удалить абсолютные значения, чтобы предоставить больше информации о результате. Таким образом, если экспериментальное значение меньше теоретического значения, ошибка в процентах будет отрицательной. Этот отрицательный результат дает дополнительную информацию о результате эксперимента. Например, экспериментальное вычисление скорости света и получение отрицательной процентной ошибки говорит о том, что экспериментальное значение - это скорость, которая меньше скорости света. Это большое отличие от получения положительной процентной ошибки, что означает, что экспериментальное значение - это скорость, превышающая скорость света (нарушая теорию относительности) и заслуживает освещения в печати.

Уравнение процентной ошибки при переписывании путем удаления абсолютных значений принимает следующий вид:

${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$

Важно отметить, что два значения в числителе не переключаются . Следовательно, очень важно сохранить порядок, указанный выше: вычесть теоретическое значение из экспериментального значения, а не наоборот.

Изменение в процентах [ править ]

Процентное изменение является способом выразить изменение переменного. Он представляет собой относительное изменение между старым значением и новым. ^[3]

Например, если дом сегодня стоит 100 000 долларов, а через год после того, как его стоимость повысится до 110 000 долларов, процентное изменение его стоимости может быть выражено как

${\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}$

Тогда можно сказать, что стоимость дома выросла на 10%.

В более общем смысле, если V ₁ представляет старое значение, а V ₂ - новое,

${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100.}$

Некоторые калькуляторы напрямую поддерживают это с помощью функции %CHили Δ%.

Когда рассматриваемая переменная сама по себе является процентным соотношением, лучше говорить об ее изменении, используя процентные пункты , чтобы избежать путаницы между относительной разницей и абсолютной разницей .

Пример процентов от процентов [ править ]

Если банк повысит процентную ставку по сберегательному счету с 3% до 4%, утверждение, что «процентная ставка увеличена на 1%», будет двусмысленным, и его следует избегать. Абсолютное изменение в этой ситуации составляет 1 процентный пункт (4% - 3%), но относительное изменение процентной ставки составляет:

${\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}$

Таким образом, следует сказать, что либо процентная ставка была увеличена на 1 процентный пункт, либо что процентная ставка была увеличена на 1 процентный пункт. ${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}\%.}$

В общем, термин «процентная точка (и)» указывает на абсолютное изменение или разницу в процентах, в то время как знак процента или слово «процент» относится к относительному изменению или разнице. ^[4]

Примеры [ править ]

Сравнения [ править ]

Автомобиль M стоит 50 000 долларов, а автомобиль L - 40 000 долларов. Мы хотим сравнить эти затраты. ^[5] Что касается автомобиля L , то абсолютная разница составляет 10 000 долларов = 50 000–40 000 долларов . То есть, автомобиль M стоит $ 10000 больше , чем автомобиль L . Относительная разница составляет,

${\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,}$

и мы говорим , что машина M стоит 25% больше , чем автомобиль L . Также принято выражать сравнение в виде отношения, которое в этом примере имеет вид

${\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,}$

и мы говорим , что машина M стоит 125% от стоимости автомобиля L .

В этом примере стоимость автомобиля L считалась эталонным значением, но мы могли бы сделать выбор иным способом и рассматривать стоимость автомобиля M в качестве эталонного значения. Абсолютная разница теперь - $ 10 000 = $ 40 000 - $ 50 000 , так как автомобиль L стоит $ 10000 меньше , чем автомобиль М . Относительная разница,

${\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%}$

также отрицательно , так как автомобиль L стоит 20% меньше , чем автомобиль М . Коэффициент формы сравнения,

${\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%}$

говорит, что автомобиль L стоит 80% от стоимости автомобиля M.

Именно использование слов «из» и «меньше / больше чем» позволяет различать соотношения и относительные различия. ^[6]

Логарифмическая шкала [ править ]

Изменение количества также можно выразить логарифмически. Использование натурального логарифма (ln) и нормализации с коэффициентом 100, как это сделано для процента, согласуется с определением процентного изменения для очень небольших изменений (называемых "изменение журнала" в таблицах ниже):

${\displaystyle D=100\cdot \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\approx 100\cdot {\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}={\text{Percentage change}}{\text{ when }}\left|{\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\right|\ll 1}$

Использование логарифмической шкалы имеет преимущества. Во-первых, величина изменения, выраженная таким образом, одинакова независимо от того, выбрана ли V ₁ или V ₂ в качестве эталона, поскольку . Напротив, ошибка аппроксимации становится более значительной по мере расхождения V ₂ и V ₁ . Например:${\displaystyle \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=-1\cdot \ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$${\displaystyle {\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\approx -1\cdot {\frac {V_{1}-V_{2}}{V_{2}}}}$

Еще одно преимущество состоит в том, что общее изменение после серии изменений равно сумме изменений при логарифмическом выражении. В процентах суммирование изменений является только приближением, с большей ошибкой для больших изменений. Например:

См. Также [ править ]

• Ошибка аппроксимации
• Ошибки и неточности в статистике
• Относительное стандартное отклонение
• Логарифмическая шкала

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Беннет, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики: количественный подход к рассуждению (3-е изд.), Бостон: Пирсон, ISBN 0-321-22773-5
• «Понимание измерений и построения графиков» (PDF) . Государственный университет Северной Каролины . 2008-08-20. Архивировано из оригинального (PDF) 15 июня 2010 года . Проверено 5 мая 2010 .
• «Разница в процентах - ошибка в процентах» (PDF) . Государственный университет Иллинойса, факультет физики. 2004-07-20 . Проверено 5 мая 2010 .
• Торнквист, Лео; Вартия, Пентти; Vartia, Yrjö (1985), "Как должна Относительные изменения можно измерить?", Американский Статистик , 39 (1): 43-46, DOI : 10,2307 / 2683905