Количественная оценка неопределенности

Количественная оценка неопределенности ( UQ ) - это наука о количественной характеристике и сокращении неопределенностей как в вычислительных, так и в реальных приложениях. Он пытается определить, насколько вероятны определенные результаты, если некоторые аспекты системы точно не известны. Примером может служить прогноз ускорения человеческого тела при лобовом столкновении с другим автомобилем: даже если скорость была точно известна, небольшие различия в производстве отдельных автомобилей, насколько туго затянут каждый болт и т. Д. приведет к разным результатам, которые можно предсказать только в статистическом смысле.

Многие проблемы естествознания и инженерии также изобилуют источниками неопределенности. Компьютерные эксперименты по компьютерному моделированию являются наиболее распространенным подходом к изучению проблем количественной оценки неопределенности. ^[1]^[2]^[3]

Источники неопределенности [ править ]

Неопределенность может входить в математические модели и экспериментальные измерения в различных контекстах. Один из способов классифицировать источники неопределенности - это рассмотреть: ^[4]

Неопределенность параметра: Это происходит из параметров модели, которые являются входными данными для компьютерной модели (математической модели), но точные значения которых неизвестны экспериментаторам и не могут контролироваться в физических экспериментах, или чьи значения не могут быть точно выведены статистическими методами . Некоторыми примерами этого являются локальное ускорение свободного падения в эксперименте с падающим объектом, различные свойства материала в анализе методом конечных элементов для инженерии и неопределенность множителя в контексте оптимизации макроэкономической политики .
Параметрическая изменчивость: Это происходит из-за изменчивости входных переменных модели. Например, размеры обрабатываемой детали в процессе производства могут отличаться от тех, что были спроектированы и указаны в инструкциях, что может привести к изменчивости ее характеристик.
Структурная неопределенность: Это также известно как неадекватность модели, систематическая ошибка модели или несоответствие модели. Это происходит из-за незнания физики, лежащей в основе проблемы. Это зависит от того, насколько точно математическая модель описывает истинную систему для реальной ситуации, учитывая тот факт, что модели почти всегда являются лишь приближением к реальности. Одним из примеров является моделирование процесса падения объекта с использованием модели свободного падения; Сама модель неточна, так как всегда существует воздушное трение. В этом случае, даже если в модели нет неизвестного параметра, все равно ожидается расхождение между моделью и истинной физикой.
Алгоритмическая неопределенность: Также известна как числовая неопределенность или дискретная неопределенность. Этот тип возникает из-за численных ошибок и численных приближений в каждой реализации компьютерной модели. Большинство моделей слишком сложны, чтобы их можно было точно решить. Например, метод конечных элементов или метод конечных разностей может использоваться для аппроксимации решения уравнения в частных производных (которое вводит числовые ошибки). Другими примерами являются численное интегрирование и усечение бесконечной суммы, которые являются необходимыми приближениями при численной реализации.
Экспериментальная неопределенность: Также известная как ошибка наблюдения, это происходит из-за изменчивости экспериментальных измерений. Неопределенность эксперимента неизбежна, и ее можно заметить, повторяя измерение много раз, используя одни и те же настройки для всех входных данных / переменных.
Неопределенность интерполяции: Это происходит из-за отсутствия доступных данных, собранных в результате компьютерного моделирования и / или экспериментальных измерений. Для других входных параметров, для которых нет данных моделирования или экспериментальных измерений, необходимо интерполировать или экстраполировать, чтобы предсказать соответствующие отклики.

Алеаторическая и эпистемическая неопределенность [ править ]

Неопределенность иногда подразделяют на две категории ^[5]^{[6], которые} заметно проявляются в медицинских приложениях. ^[7]

Алеаторическая неопределенность: Алеаторическая неопределенность также известна как статистическая неопределенность и представляет собой неизвестные, которые различаются каждый раз, когда мы проводим один и тот же эксперимент. Например, один выстрел из стрелы из механического лука, который точно дублирует каждый запуск (одинаковое ускорение, высота, направление и конечная скорость), не все попадет в одну и ту же точку на цели из-за случайных и сложных вибраций древка стрелы, знание которых невозможно определить в достаточной степени, чтобы исключить возникающий разброс точек удара. Аргумент здесь, очевидно, заключается в определении «не может». Тот факт, что мы не можем проводить достаточные измерения с помощью наших доступных в настоящее время измерительных устройств, не исключает обязательно наличие такой информации, которая переместила бы эту неопределенность в категорию, указанную ниже. Алеаторический происходит от латинского слова alea или кости, обозначающего азартную игру.
Эпистемическая неопределенность: Эпистемическая неопределенность также известна как систематическая неопределенность и возникает из-за вещей, которые можно в принципе знать, но не знают на практике. Это может быть связано с тем, что измерение неточно, потому что модель не учитывает определенные эффекты или потому, что определенные данные были намеренно скрыты. Примером источника этой неопределенности может быть сопротивление в эксперименте, предназначенном для измерения ускорения свободного падения у поверхности земли. Обычно используемое ускорение свободного падения 9,8 м / с ^ 2 игнорирует эффекты сопротивления воздуха, но сопротивление воздуха для объекта может быть измерено и включено в эксперимент, чтобы уменьшить результирующую неопределенность в вычислении ускорения свободного падения.

В реальных приложениях присутствуют оба вида неопределенностей. Количественная оценка неопределенности предназначена для явного выражения обоих типов неопределенности по отдельности. Количественная оценка алеаторических неопределенностей может быть относительно простой, когда традиционная (частотная) вероятность является наиболее простой формой. Часто используются такие методы, как метод Монте-Карло . Распределение вероятностей может быть представлено его моментами (в гауссовском случае достаточно среднего значения и ковариации , хотя, как правило, даже знание всех моментов до произвольно высокого порядка по-прежнему не определяет однозначно функцию распределения) или, в последнее время, выражением такие методы, какКарунен – Лёв и разложения полиномиального хаоса . Для оценки эпистемических неопределенностей предпринимаются попытки понять (отсутствие) знаний о системе, процессе или механизме. Представление эпистемической неопределенности может быть основано на таких методах, как анализ вероятностных границ , нечеткая логика или теории свидетельств / убеждений, такие как субъективная логика или теория Демпстера – Шафера (где эпистемическая неопределенность представлена как пустота убеждений).

В математике неопределенность часто описывают с помощью распределения вероятностей . С этой точки зрения эпистемическая неопределенность означает отсутствие уверенности в том, каково соответствующее распределение вероятностей, а алеаторическая неопределенность означает отсутствие уверенности в том, какой будет случайная выборка, полученная из распределения вероятностей.

Два типа задач количественной оценки неопределенности [ править ]

Существует два основных типа проблем при количественной оценке неопределенности: первая - это прямое распространение неопределенности (когда различные источники неопределенности распространяются по модели для прогнозирования общей неопределенности в ответе системы), а другая - обратное.оценка неопределенности модели и неопределенности параметров (когда параметры модели калибруются одновременно с использованием данных испытаний). Исследования по первой проблеме получили широкое распространение, и для ее решения было разработано большинство методов анализа неопределенности. С другой стороны, последняя проблема привлекает все большее внимание в сообществе инженеров-проектировщиков, поскольку количественная оценка неопределенности модели и последующие прогнозы истинной реакции (ей) системы представляют большой интерес при проектировании надежных систем.

Прямое распространение неопределенности [ править ]

Распространение неопределенности - это количественная оценка неопределенностей в выходных данных системы, возникающих из-за неопределенных входных данных. Он фокусируется на влиянии на выходы параметрической изменчивости, указанной в источниках неопределенности. Целями анализа распространения неопределенности могут быть:

Для оценки моментов низкого порядка выходных данных, то есть среднего значения и дисперсии .
Оценить надежность выходных данных. Это особенно полезно в проектировании надежности, где выходные данные системы обычно тесно связаны с производительностью системы.
Оценить полное распределение вероятностей выходов. Это полезно в сценарии оптимизации полезности, когда для расчета полезности используется полное распределение.

Количественная оценка обратной неопределенности [ править ]

Учитывая некоторые экспериментальные измерения системы и некоторые результаты компьютерного моделирования на основе ее математической модели, обратная количественная оценка неопределенности оценивает расхождение между экспериментом и математической моделью (что называется коррекцией смещения ) и оценивает значения неизвестных параметров в модели, если есть любые (что называется калибровкой параметров или просто калибровкой ). Обычно это гораздо более сложная проблема, чем прямое распространение неопределенности; однако это очень важно, поскольку обычно реализуется в процессе обновления модели. Существует несколько сценариев количественной обратной оценки неопределенности:

Результат коррекции смещения, включая обновленную модель (среднее значение прогноза) и доверительный интервал прогноза.

Только коррекция смещения [ править ]

Коррекция смещения позволяет количественно оценить неадекватность модели , то есть расхождение между экспериментом и математической моделью. Общая формула обновления модели для коррекции смещения:

{\ displaystyle y ^ {e} (\ mathbf {x}) = y ^ {m} (\ mathbf {x}) + \ delta (\ mathbf {x}) + \ varepsilon}

где обозначает экспериментальные измерения как функцию нескольких входных переменных , обозначает реакцию компьютерной модели (математической модели), обозначает аддитивную функцию расхождения (также известную как функция смещения) и обозначает экспериментальную неопределенность. Цель состоит в том, чтобы оценить функцию несоответствия , и в качестве побочного продукта итоговая обновленная модель . Доверительный интервал прогноза предоставляется с обновленной моделью в качестве количественной оценки неопределенности. ${\ Displaystyle у ^ {е} (\ mathbf {х})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle у ^ {м} (\ mathbf {х})}$ ${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {x})}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {x})}$ ${\ Displaystyle у ^ {м} (\ mathbf {x}) + \ дельта (\ mathbf {x})}$

Только калибровка параметров [ править ]

Калибровка параметра оценивает значения одного или нескольких неизвестных параметров в математической модели. Общая формулировка обновления модели для калибровки:

y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\varepsilon

где обозначает отклик компьютерной модели, который зависит от нескольких неизвестных параметров модели , и обозначает истинные значения неизвестных параметров в ходе экспериментов. Цель состоит в том, чтобы либо оценить , либо придумать распределение вероятностей, которое охватывает наилучшие сведения об истинных значениях параметров. $y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})$ ${\boldsymbol {\theta }}$ ${\boldsymbol {\theta }}^{*}$ ${\boldsymbol {\theta }}^{*}$ ${\boldsymbol {\theta }}^{*}$

Коррекция смещения и калибровка параметров [ править ]

Он рассматривает неточную модель с одним или несколькими неизвестными параметрами, и его формулировка обновления модели объединяет эти два вместе:

y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon

Это наиболее полная формулировка обновления модели, которая включает все возможные источники неопределенности, и для ее решения требуется приложить максимум усилий.

Селективные методики количественной оценки неопределенности [ править ]

Было проведено много исследований для решения задач количественной оценки неопределенности, хотя большинство из них связано с распространением неопределенности. В течение последних одного-двух десятилетий также был разработан ряд подходов к задачам обратной количественной оценки неопределенности, которые оказались полезными для большинства задач малого и среднего масштаба.

Методики прямого распространения неопределенности [ править ]

Существующие подходы к распространению неопределенности включают вероятностные подходы и не вероятностные подходы. Существует пять основных категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности: ^[8]

Методы, основанные на моделировании: моделирование методом Монте-Карло , выборка по важности , адаптивная выборка и т. Д.
Методы, основанные на локальном расширении: ряды Тейлора, метод возмущений и т. Д. Эти методы имеют преимущества при работе с относительно небольшой изменчивостью входа и выходами, которые не выражают высокой нелинейности. Эти линейные или линеаризованные методы подробно описаны в статье Распространение неопределенности .
Методы, основанные на функциональном расширении: разложение Неймана, ортогональное разложение или разложение Карунена – Лоэва (KLE) с полиномиальным разложением хаоса (PCE) и вейвлет-разложениями в качестве частных случаев.
Методы, основанные на наиболее вероятных точках (MPP): метод надежности первого порядка (FORM) и метод надежности второго порядка (SORM).
Методы, основанные на численном интегрировании: полное факторное численное интегрирование (FFNI) и уменьшение размерности (DR).

Для невероятностных подходов, интервальный анализа , ^[9] Fuzzy теории , теория возможностей и теория доказательств являются один из наиболее широко используются.

Вероятностный подход считается наиболее строгим подходом к анализу неопределенностей в инженерном проектировании благодаря его согласованности с теорией анализа решений. Его краеугольным камнем является вычисление функций плотности вероятности для выборочной статистики. ^[10] Это может быть выполнено строго для случайных величин, которые могут быть получены как преобразования гауссовских переменных, что приводит к точным доверительным интервалам.

Методики обратной количественной оценки неопределенности [ править ]

Frequentist [ править ]

В регрессионного анализа и методом наименьших квадратов проблемы, стандартная ошибка из оценок параметров легко доступны, который может быть расширен в доверительный интервал .

Байесовский [ править ]

В рамках байесовской модели существует несколько методологий для обратной количественной оценки неопределенности . Наиболее сложным направлением является решение задач как с коррекцией смещения, так и с калибровкой параметров. Проблемы, связанные с такими проблемами, включают не только влияние неадекватности модели и неопределенности параметров, но также отсутствие данных как компьютерного моделирования, так и экспериментов. Распространенная ситуация состоит в том, что параметры ввода не совпадают для экспериментов и моделирования.

Модульный байесовский подход [ править ]

Подходом к обратной количественной оценке неопределенности является модульный байесовский подход. ^[4]^[11] Модульный байесовский подход получил свое название от четырехмодульной процедуры. Помимо текущих доступных данных, следует назначить предварительное распределение неизвестных параметров.

Модуль 1: Гауссовское моделирование процесса для компьютерной модели.

Чтобы решить проблему отсутствия результатов моделирования, компьютерная модель заменяется моделью гауссовского процесса (GP).

y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{m}(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m}^{2}R^{m}(\cdot ,\cdot ){\big )}

где

R^{m}{\big (}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}),(\mathbf {x} ',{\boldsymbol {\theta }}'){\big )}=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{m}(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}\exp \left\{-\sum _{k=1}^{r}\omega _{d+k}^{m}(\theta _{k}-\theta _{k}')^{2}\right\}.

$d$ - размерность входных переменных и - размерность неизвестных параметров. Хотя заранее определено, известное как гиперпараметры модели GP, необходимо оценивать с помощью оценки максимального правдоподобия (MLE) . Этот модуль можно рассматривать как обобщенный метод кригинга . $r$ $\mathbf {h} ^{m}(\cdot )$ $\left\{{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m},\omega _{k}^{m},k=1,\ldots ,d+r\right\}$

Модуль 2: Моделирование гауссовского процесса для функции невязки.

Аналогично первому модулю функция несоответствия заменяется моделью GP.

\delta (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{\delta }(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta }^{2}R^{\delta }(\cdot ,\cdot ){\big )}

где

R^{\delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{\delta }(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}.

Вместе с априорным распределением неизвестных параметров и данными компьютерных моделей и экспериментов можно получить оценки максимального правдоподобия для . В то же время обновляется и модуль 1. $\left\{{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta },\omega _{k}^{\delta },k=1,\ldots ,d\right\}$ ${\boldsymbol {\beta }}^{m}$

Модуль 3: Апостериорное распределение неизвестных параметров.

Теорема Байеса применяется для вычисления апостериорного распределения неизвестных параметров:

p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}},{\boldsymbol {\varphi }})\propto p({\rm {{data}\mid {\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }})p({\boldsymbol {\theta }})}}

где включает все фиксированные гиперпараметры в предыдущих модулях. ${\boldsymbol {\varphi }}$

Модуль 4: Прогнозирование экспериментального отклика и функции несоответствия.

Полностью байесовский подход [ править ]

Полностью байесовский подход требует, чтобы были назначены не только априорные значения для неизвестных параметров, но также и для других гиперпараметров . Он выполняет следующие шаги: ^[12] ${\boldsymbol {\theta }}$ ${\boldsymbol {\varphi }}$

Вывести апостериорное распределение ; $p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})$
Интегрируйте и получите . Этот единственный шаг завершает калибровку; ${\boldsymbol {\varphi }}$ $p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}})$
Прогнозирование экспериментального отклика и функции несоответствия.

Однако у такого подхода есть существенные недостатки:

В большинстве случаев это трудноразрешимая функция . Следовательно, интеграция становится очень сложной. Более того, если априорные значения для других гиперпараметров не выбраны тщательно, сложность численного интегрирования возрастает еще больше. $p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})$ ${\boldsymbol {\varphi }}$ ${\boldsymbol {\varphi }}$
На этапе прогнозирования прогноз (который должен, по крайней мере, включать ожидаемое значение откликов системы) также требует численного интегрирования. Марковская цепь Монте-Карло (MCMC) часто используется для интеграции; однако это дорого с точки зрения вычислений.

Полностью байесовский подход требует огромного количества вычислений и еще не может быть практичным для работы в самых сложных ситуациях моделирования. ^[12]

Известные проблемы [ править ]

Теории и методологии распространения неопределенности установлены гораздо лучше, чем с обратной количественной оценкой неопределенности. Для последнего остаются нерешенными несколько трудностей:

Проблема размерности: вычислительные затраты резко возрастают с увеличением размерности проблемы, то есть количества входных переменных и / или количества неизвестных параметров.
Проблема идентифицируемости: ^[13] Множественные комбинации неизвестных параметров и функции несоответствия могут дать одно и то же экспериментальное предсказание. Следовательно, невозможно различить / идентифицировать разные значения параметров.

Случайные события до количественной неопределенности [ править ]

При броске одного шестигранного кубика вероятность выпадения от одного до шести равна. Интервал с вероятностью охвата 90% расширяет весь выходной диапазон. При броске 5 кубиков и наблюдении за суммой результатов ширина интервала с достоверностью 88,244% составляет 46,15% от диапазона. Интервал становится уже по сравнению с диапазоном с большим количеством бросков костей. На наши реальные события влияют многочисленные вероятностные события, и влияние всех вероятностных событий можно предсказать с помощью узкого интервала с высокой вероятностью охвата; большинство ситуаций. ^[14]

См. Также [ править ]

Компьютерный эксперимент
Требуются дальнейшие исследования
Количественная оценка маржи и неопределенностей

Ссылки [ править ]

^ Сакс, Джером; Уэлч, Уильям Дж .; Митчелл, Тоби Дж .; Винн, Генри П. (1989). «Дизайн и анализ компьютерных экспериментов» . Статистическая наука . 4 (4): 409–423. DOI : 10,1214 / сс / 1177012413 . JSTOR 2245858 .
^ Ronald L. Иман, Джон С. Элтон, «Исследование неопределенности и анализ чувствительности Методы компьютерных моделей», анализ рисков , том 8, выпуск 1, страницы 71-90, март 1988, DOI : 10.1111 / j.1539- 6924.1988.tb01155.x
^ WE Walker, P. Harremoës, J. Rotmans, JP van der Sluijs, MBA van Asselt, P. Janssen и MP Krayer von Krauss, "Defining Uncertainty: A Conceptual Basis for Uncertainty Management in Model-Based Decision Support", Integrated Assessment , том 4, выпуск 1, 2003, DOI : 10,1076 / iaij.4.1.5.16466
^ а б Кеннеди, Марк К .; О'Хаган, Энтони (2001). «Байесовская калибровка компьютерных моделей» . Журнал Королевского статистического общества, серия B (статистическая методология) . 63 (3): 425–464. DOI : 10.1111 / 1467-9868.00294 .
^ Дер Кюрегян, Армен; Дитлевсен, Уве (2009). «Алеаторный или эпистемологический? Имеет ли значение?». Структурная безопасность . 31 (2): 105–112. DOI : 10.1016 / j.strusafe.2008.06.020 .
^ Matthies, Hermann G. (2007). «Количественная оценка неопределенности: современное вычислительное представление вероятности и приложений». Экстремальные техногенные и природные опасности в динамике конструкций . Безопасность НАТО через научную серию. С. 105–135. DOI : 10.1007 / 978-1-4020-5656-7_4 . ISBN 978-1-4020-5654-3.
^ Абхайя Индраяны, медицинская Биостатистика , Second Edition, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, стр 8, +673
^ SH Ли и В. Чен , "Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика", том 37 структурной и междисциплинарной оптимизации , номер 3 (2009), 239–253, doi : 10.1007 / s00158-008- 0234-7
^ Jaulin, L .; Kieffer, M .; Didrit, O .; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ . Springer. ISBN 1-85233-219-0.
^ Арнаут, Л. Р. Неопределенность измерения в реверберационных камерах - I. Статистика выборки. Технический отчет TQE 2, 2nd. изд., сек. 3.1, Национальная физическая лаборатория, 2008 г.
^ Марк К. Кеннеди, Энтони О'Хаган, Дополнительные сведения о байесовской калибровке компьютерных моделей , Шеффилд, Университет Шеффилда: 1–13, 2000
^ Б Ф. Лю, MJ Bayarri и JOBerger, "Модульность в байесовского анализа, с акцентом на анализ компьютерных моделей", байесовский анализ (2009) 4, номер 1, стр 119-150,. DOI : 10.1214 / 09-BA404
^ Пол Д. Арендт, Дэниел В. Апли, Вей Чен , Дэвид Лэмб и Дэвид Горсич, «Улучшение идентифицируемости в калибровке модели с использованием множественных откликов», Журнал механического проектирования , 134 (10), 100909 (2012); DOI : 10,1115 / 1,4007573
^ HM Dipu Кабир, Аббас Хосрави Саэид Nahavandi Абдолла Kavousi-Fard, «Частичное Состязательность Обучение нейронной сетиоснове неопределенности Количественное», «IEEE Transactions по новым темам ввычислительной разведки», DOI : 10,1109 / TETCI.2019.2936546

[1] Сакс, Джером; Уэлч, Уильям Дж .; Митчелл, Тоби Дж .; Винн, Генри П. (1989). «Дизайн и анализ компьютерных экспериментов» . Статистическая наука . 4 (4): 409–423. DOI : 10,1214 / сс / 1177012413 . JSTOR 2245858 .

[2] Ronald L. Иман, Джон С. Элтон, «Исследование неопределенности и анализ чувствительности Методы компьютерных моделей», анализ рисков , том 8, выпуск 1, страницы 71-90, март 1988, DOI : 10.1111 / j.1539- 6924.1988.tb01155.x

[3] WE Walker, P. Harremoës, J. Rotmans, JP van der Sluijs, MBA van Asselt, P. Janssen и MP Krayer von Krauss, "Defining Uncertainty: A Conceptual Basis for Uncertainty Management in Model-Based Decision Support", Integrated Assessment , том 4, выпуск 1, 2003, DOI : 10,1076 / iaij.4.1.5.16466

[KennedyOHagan-4] а б Кеннеди, Марк К .; О'Хаган, Энтони (2001). «Байесовская калибровка компьютерных моделей» . Журнал Королевского статистического общества, серия B (статистическая методология) . 63 (3): 425–464. DOI : 10.1111 / 1467-9868.00294 .

[5] Дер Кюрегян, Армен; Дитлевсен, Уве (2009). «Алеаторный или эпистемологический? Имеет ли значение?». Структурная безопасность . 31 (2): 105–112. DOI : 10.1016 / j.strusafe.2008.06.020 .

[6] Matthies, Hermann G. (2007). «Количественная оценка неопределенности: современное вычислительное представление вероятности и приложений». Экстремальные техногенные и природные опасности в динамике конструкций . Безопасность НАТО через научную серию. С. 105–135. DOI : 10.1007 / 978-1-4020-5656-7_4 . ISBN 978-1-4020-5654-3.

[7] Абхайя Индраяны, медицинская Биостатистика , Second Edition, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, стр 8, +673

[8] SH Ли и В. Чен , "Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика", том 37 структурной и междисциплинарной оптимизации , номер 3 (2009), 239–253, doi : 10.1007 / s00158-008- 0234-7

[9] Jaulin, L .; Kieffer, M .; Didrit, O .; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ . Springer. ISBN 1-85233-219-0.

[10] Арнаут, Л. Р. Неопределенность измерения в реверберационных камерах - I. Статистика выборки. Технический отчет TQE 2, 2nd. изд., сек. 3.1, Национальная физическая лаборатория, 2008 г.

[11] Марк К. Кеннеди, Энтони О'Хаган, Дополнительные сведения о байесовской калибровке компьютерных моделей , Шеффилд, Университет Шеффилда: 1–13, 2000

[Liu-12] Б Ф. Лю, MJ Bayarri и JOBerger, "Модульность в байесовского анализа, с акцентом на анализ компьютерных моделей", байесовский анализ (2009) 4, номер 1, стр 119-150,. DOI : 10.1214 / 09-BA404

[13] Пол Д. Арендт, Дэниел В. Апли, Вей Чен , Дэвид Лэмб и Дэвид Горсич, «Улучшение идентифицируемости в калибровке модели с использованием множественных откликов», Журнал механического проектирования , 134 (10), 100909 (2012); DOI : 10,1115 / 1,4007573

[14] HM Dipu Кабир, Аббас Хосрави Саэид Nahavandi Абдолла Kavousi-Fard, «Частичное Состязательность Обучение нейронной сетиоснове неопределенности Количественное», «IEEE Transactions по новым темам ввычислительной разведки», DOI : 10,1109 / TETCI.2019.2936546

[1]