Особенность BKL

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Рис. 1. Сферическое тело, испытывающее хаотическую динамику BKL (Mixmaster), близкую к сингулярности, согласно правилам ур. 35 . Моделирование проводилось в системе Mathematica с исходным кодом . Похожую анимированную симуляцию Дэвида Гарфинкля можно найти в ^[1] .${\ displaystyle u = {\ sqrt {13}}}$

Часть серии по
Физическая космология
Большой взрыв  · Вселенная Возраст вселенной Хронология Вселенной
Ранняя вселенная Эпоха Планка Эпоха великого объединения Электрослабая эпоха Эпоха кварков Адронная эпоха Эпоха лептона Фотонная эпоха Нуклеосинтез Большого взрыва Инфляция Темные века Звездная эра Фоны Космический фоновый радиационный фон (CBR) Фон гравитационных волн (ФГВ) Космический микроволновый фон (CMB)  · Космический нейтринный фон (CNB) Космический инфракрасный фон (ИНБ)
Расширение  · Будущее Закон Хаббла  · Красное смещение Расширение Вселенной Ускоряющееся расширение Вселенной Сопутствующие и правильные расстояния Метрика FLRW  · Уравнения Фридмана Неоднородная космология Хронология далекого будущего Будущее расширяющейся Вселенной Конечная судьба вселенной Тепловая смерть вселенной Большой разрыв Большой хруст Большой отскок Распад ложного вакуума Маленький Рип Распад протона Виртуальная черная дыра
Компоненты  · Структура Составные части Лямбда-CDM модель Барионная материя Экзотическая материя Вырожденная материя Нейтроний КХД имеет значение Странное дело Отрицательное вещество Энергия Отрицательная энергия Нулевая энергия Энергия вакуума Радиация Фоновое излучение Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темная материя Холодная темная материя Теплая темная материя Смешанная темная материя Горячая темная материя Светлая темная материя Самовзаимодействующая темная материя Скалярное поле темной материи Темное излучение Темная жидкость Темный поток Зеркальная материя Состав Форма вселенной Реионизация  · Формирование структуры Формирование галактики Мультивселенная Вселенная Наблюдаемая Вселенная Объем Хаббла Крупномасштабная конструкция Большая группа квазаров Нить галактики Сверхскопление Скопление галактик Группа галактик Местная группа Галактика Ореол темной материи Звездное скопление Солнечная система Планетная система Пустота
Эксперименты Бумеранг Исследователь космического фона (COBE) Обзор темной энергии Евклид Проект Illustris Обсерватория Веры К. Рубин Космическая обсерватория Планка Слоан цифровой обзор неба (SDSS) Обзор красного смещения галактики 2dF ("2dF") ВселеннаяМашина Микроволновой датчик анизотропии Уилкинсона (WMAP)
Ученые Ааронсон Альфвен Альфер Бхарадвадж Коперник де Ситтер Дике Эддингтон Элерс Эйнштейн Эллис Фридман Галилео Гамов Гут Хокинг Хаббл Лемэтр Linde Mather Ньютон Penzias Вбивать в голову Шмидт Шварцшильд Smoot Старобинский Steinhardt Suntzeff Сюняев Толман Уилсон Зельдович
История темы Открытие космического микроволнового фонового излучения История теории большого взрыва Религиозные интерпретации теории большого взрыва Хронология космологических теорий
Категория  Астрономический портал
v т е

В Викибуке Общая теория относительности есть страница на тему: сингулярность BKL.

Белинский-Халатникова-Лифшиц (BKL) особенность представляет собой модель динамической эволюции Вселенной вблизи начальной гравитационной сингулярности , описываемой анизотропным , хаотично решения поля уравнения тяготения Эйнштейна . ^[2] Согласно этой модели, Вселенная хаотически колеблется вокруг гравитационной сингулярности, в которой время и пространство становятся равными нулю. Эта особенность физически реальна в том смысле, что она является необходимым свойством решения и появится также в точном решении.этих уравнений. Сингулярность не создается искусственно предположениями и упрощениями, сделанными другими специальными решениями, такими как решения Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера , квазиизотропные решения и решения Казнера .

Модель названа в честь авторов Владимира Белинского , Исаака Халатникова и Евгения Лифшица , которые тогда работали в Институте теоретической физики им . Ландау .

В картине, разработанной BKL, есть несколько важных элементов. Эти:

• Вблизи сингулярности эволюция геометрии в различных пространственных точках отделяется, так что решения уравнений в частных производных могут быть аппроксимированы решениями обыкновенных дифференциальных уравнений относительно времени для надлежащим образом определенных пространственных масштабных факторов. Это называется гипотезой БКЛ .
• Для большинства типов материи влияние полей материи на динамику геометрии становится незначительным вблизи сингулярности. Или, говоря словами Джона Уиллера , «материя не имеет значения» вблизи сингулярности. Первоначальная работа BKL оказывала незначительное влияние на всю материю, но позже они выдвинули теорию, что «жесткая материя» (уравнение состояния p = ε), эквивалентная безмассовому скалярному полю, может иметь модифицирующий эффект на динамику вблизи сингулярности.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие асимптотику, происходят из класса пространственно однородных решений, которые составляют динамику Mixmaster : сложная колебательная и хаотическая модель, которая проявляет свойства, аналогичные тем, которые обсуждались BKL.

Изучение динамики Вселенной в окрестности космологической сингулярности стало быстро развивающейся областью современной теоретической и математической физики. Обобщение модели БКЛ на космологическую сингулярность в многомерных космологических моделях (типа Калуцы – Клейна ) носит хаотический характер в пространствах-временах, размерность которых не превышает десяти, тогда как в пространствах-временах более высоких размерностей Вселенная после прохождения конечного числа колебания переходит в монотонный сжимающий режим казнеровского типа. ^{[3] [4] [5]}

Развитие космологических исследований на основе моделей суперструн выявило некоторые новые аспекты динамики в окрестности сингулярности. ^{[6] [7] [8]} В этих моделях механизмы смены казнеровских эпох вызываются не гравитационными взаимодействиями, а влиянием других имеющихся полей. Было доказано, что космологические модели, основанные на шести основных моделях суперструн и модели супергравитации с D = 11, демонстрируют хаотическую динамику БКЛ по направлению к сингулярности. Была обнаружена связь между осцилляторными BKL-подобными космологическими моделями и специальным подклассом бесконечномерных алгебр Ли - так называемыми гиперболическими алгебрами Каца – Муди . ^{[9][10] [11]}

Введение [ править ]

В основе современной космологии лежат специальные решения уравнений поля Эйнштейна, найденные Александром Фридманом в 1922–1924 годах. Вселенная считается однородной (пространство имеет одинаковые метрические свойства (меры) во всех точках) и изотропной (пространство имеет одинаковые меры во всех направлениях). Решения Фридмана допускают две возможные геометрии пространства: замкнутая модель с шарообразным пространством с изгибом наружу ( положительная кривизна ) и открытая модель с седловидным пространством с изгибом внутрь ( отрицательная кривизна).). В обеих моделях Вселенная не стоит на месте, она постоянно либо расширяется (становится больше), либо сжимается (сжимается, становится меньше). Это подтвердил Эдвин Хаббл, который установил красное смещение Хаббла удаляющихся галактик. Сегодняшний консенсус состоит в том, что изотропная модель , в общем, дает адекватное описание текущего состояния Вселенной; однако изотропия нынешней Вселенной сама по себе не является основанием ожидать, что она адекватна для описания ранних стадий эволюции Вселенной . В то же время очевидно, что в реальном мире однородностьэто, в лучшем случае, только приближение. Даже если можно говорить об однородном распределении плотности материи на расстояниях, больших по сравнению с межгалактическим пространством, эта однородность исчезает на меньших масштабах. С другой стороны, предположение об однородности заходит очень далеко в математическом аспекте: оно делает решение высокосимметричным, что может придавать определенные свойства, которые исчезают при рассмотрении более общего случая.

Еще одним важным свойством изотропной модели является неизбежное существование сингулярности времени : течение времени не является непрерывным, но останавливается или обращается вспять после того, как время достигает очень большого или очень малого значения. Между сингулярностями время течет в одном направлении: от сингулярности ( стрелы времени ). В открытой модели есть одна сингулярность времени, поэтому время ограничено на одном конце, но неограничено на другом, в то время как в закрытой модели есть две сингулярности, которые ограничивают время на обоих концах ( Большой взрыв и Большое сжатие ).

Единственными физически интересными свойствами пространства-времени (такими как сингулярности) являются те, которые являются стабильными , т. Е. Те свойства, которые все еще проявляются, когда начальные данные слегка возмущены. Сингулярность может быть стабильной и при этом не представлять физического интереса: стабильность является необходимым, но не достаточным условием для физической релевантности. Например, сингулярность может быть стабильной только в окрестности наборов исходных данных, соответствующих сильно анизотропным вселенным. Поскольку реальная Вселенная теперь, по-видимому, почти изотропна, такая сингулярность не могла возникнуть в нашей Вселенной. Достаточным условием того, чтобы устойчивая особенность представляла физический интерес, является требование, чтобы особенность была общей.(или вообще). Грубо говоря, устойчивая сингулярность является общей, если она возникает около каждого набора начальных условий, а негравитационные поля ограничиваются определенным образом «физически реалистичными» полями, так что уравнения Эйнштейна, различные уравнения состояния и т. Д. предполагается, что они сохранят эволюционировавшие пространства-время. Может случиться так, что сингулярность устойчива при небольших вариациях истинных гравитационных степеней свободы , и все же она не является общей, поскольку сингулярность каким-то образом зависит от системы координат или, скорее, от выбора начальной гиперповерхности, от которой пространство-время развивается.

Для системы нелинейных дифференциальных уравнений , таких как уравнения Эйнштейна , общее решение не определено однозначно. В принципе, может быть несколько общих интегралов , и каждый из них может содержать только конечное подмножество всех возможных начальных условий . Каждый из этих интегралов может содержать все необходимые независимые функции, которые, однако, могут подчиняться некоторым условиям (например, некоторым неравенствам). Таким образом, наличие общего решения с особенностью не исключает существования других дополнительных общих решений, не содержащих особенности. Например, нет причин сомневаться в существовании общего решения без особенности, описывающего изолированное тело с относительно небольшой массой.

Невозможно найти общий интеграл для всего пространства и на все времена. Однако для решения задачи в этом нет необходимости: достаточно изучить решение вблизи особенности. Это позволило бы также решить еще один аспект проблемы: особенности пространственно - временной метрики эволюции в общем решении , когда он достигает физической сингулярности, понимаемой в качестве отправной точки , где плотность материи и инварианты по кривизны Римана тензора становятся бесконечными.

Существование сингулярности физического времени [ править ]

Одна из основных проблем, изучаемых группой Ландау (к которой принадлежит BKL), заключалась в том, обязательно ли релятивистские космологические модели содержат сингулярность времени или сингулярность времени является артефактом предположений, используемых для упрощения этих моделей. Независимость сингулярности от предположений симметрии означала бы, что временные сингулярности существуют не только в частных, но и в общих решениях уравнений Эйнштейна. Разумно предположить, что если сингулярность присутствует в общем решении, должны быть некоторые указания, основанные только на самых общих свойствах уравнений Эйнштейна, хотя самих по себе этих указаний может быть недостаточно для характеристики сингулярности.

Критерием общности решений является количество содержащихся в них независимых пространственных координатных функций. К ним относятся только «физически независимые» функции, количество которых не может быть уменьшено никаким выбором системы отсчета . В общем решении таких функций должно быть достаточно, чтобы полностью определить начальные условия (распределение и движение материи, распределение гравитационного поля ) в некоторый момент времени, выбранный в качестве начального. Это число четыре для пустого (вакуумного) пространства и восемь для пространства, заполненного материей и / или излучением. ^{[12] [13]}

Предыдущая работа группы Ландау; ^{[14] [15] [16],} рассмотренные в ^[12] ) привели к выводу, что общее решение не содержит физической особенности. Этот поиск более широкого класса решений с особенностью проводился, по сути, методом проб и ошибок, поскольку отсутствовал систематический подход к изучению уравнений Эйнштейна. Полученный таким образом отрицательный результат сам по себе неубедителен; решение с необходимой степенью общности сделало бы его недействительным и в то же время подтвердило бы любые положительные результаты, относящиеся к конкретному решению.

В то время единственным известным признаком существования физической сингулярности в общем решении была форма уравнений Эйнштейна, записанных в синхронной системе отсчета , то есть в системе, в которой собственное время x ⁰ = t синхронизировано. по всему пространству; в этом кадре элемент пространственного расстояния dl отделен от временного интервала dt . ^{[примечание 1]} Уравнение Эйнштейна

${\ displaystyle R_ {0} ^ {0} = T_ {0} ^ {0} - {\ tfrac {1} {2}} T}$

( ур.1 )

запись в синхронной системе отсчета дает результат, в котором детерминант метрики g неизбежно обращается в ноль за конечное время независимо от каких-либо предположений о распределении материи. ^{[12] [13]}

Однако попытки найти общую физическую сингулярность были упущены после того, как стало ясно, что упомянутая выше сингулярность связана с определенным геометрическим свойством синхронной системы отсчета: пересечением координат временной линии. Это пересечение происходит на некоторых окружающих гиперповерхностях, которые являются четырехмерными аналогами каустических поверхностей в геометрической оптике ; g обращается в ноль именно на этом пересечении. ^[16] Следовательно, хотя эта особенность является общей, она фиктивна, а не физическая; он исчезает при изменении системы отсчета. Это, по-видимому, отговорило исследователей от дальнейших исследований в этом направлении.

Прошло несколько лет, прежде чем интерес к этой проблеме снова возрос, когда Пенроуз  ( 1965 ) опубликовал свои теоремы, связывающие существование сингулярности неизвестного характера с некоторыми очень общими предположениями, не имеющими ничего общего с выбором системы отсчета. Другие аналогичные теоремы были позже найдены Хокингом ^{[17] [18]} и Герохом ^[19] (см. Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях ). Это возродило интерес к поиску особых решений.

Обобщенное однородное решение [ править ]

В пространстве, которое одновременно является однородным и изотропным, метрика определяется полностью, оставляя свободным только знак кривизны. Допущение только однородности пространства без дополнительной симметрии, такой как изотропия, оставляет значительно больше свободы в выборе метрики. Следующее относится к пространственной части метрики в данный момент времени t, предполагая синхронный фрейм, так что t является одинаковым синхронизированным временем для всего пространства.

Гипотеза BKL [ править ]

В своей работе 1970 года ^[2] BKL заявил, что по мере приближения к сингулярности члены, содержащие производные по времени в уравнениях Эйнштейна, преобладают над членами, содержащими пространственные производные . С тех пор это известно как гипотеза БКЛ и подразумевает, что уравнения в частных производных Эйнштейна (УЧП) хорошо аппроксимируются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), поэтому динамика общей теории относительности фактически становится локальной и колебательной. Временная эволюция полей в каждой пространственной точке хорошо аппроксимируется однородными космологиями в классификации Бианки.

Разделив производные по времени и по пространству в уравнениях Эйнштейна, например, способом, использованным выше для классификации однородных пространств, и затем установив члены, содержащие производные по пространству, равными нулю, можно определить так называемую усеченную теорию система (усеченные уравнения). ^[20] Тогда гипотеза BKL может быть уточнена:

Слабая гипотеза : по мере приближения к сингулярности члены, содержащие производные по пространству в уравнениях Эйнштейна, пренебрежимо малы по сравнению с членами, содержащими производные по времени. Таким образом, по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к найденным путем приравнивания производных членов к нулю. Таким образом, слабая гипотеза говорит, что уравнения Эйнштейна могут быть хорошо аппроксимированы усеченными уравнениями в окрестности особенности. Обратите внимание, что это не означает, что решения полных уравнений движения будут приближаться к решениям усеченных уравнений по мере приближения к сингулярности. Это дополнительное условие отражено в сильной версии следующим образом.

Сильная гипотеза : по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к уравнениям усеченной теории, и, кроме того, решения полных уравнений хорошо аппроксимируются решениями усеченных уравнений.

Вначале гипотеза BKL казалась зависящей от координат и довольно неправдоподобной. Барроу и Типлер, ^{[21] [22]}например, среди десяти критических замечаний к исследованиям BKL можно отнести неуместный (по их мнению) выбор синхронного кадра как средства разделения производных времени и пространства. Гипотеза БКЛ иногда перефразировалась в литературе как утверждение, что вблизи сингулярности важны только производные по времени. Такое утверждение, принятое за чистую монету, неверно или, в лучшем случае, вводит в заблуждение, поскольку, как показано в самом анализе BKL, пространственно-подобными градиентами метрического тензора нельзя пренебрегать для общих решений чистой гравитации Эйнштейна в четырех пространственно-временных измерениях и Фактически играют решающую роль в возникновении колебательного режима. Однако существуют переформулировки теории Эйнштейна в терминах новых переменных, включающих соответствующие градиенты, например, в переменных типа Аштекар,для чего верно утверждение о доминирующей роли производных по времени.^[20] Верно, что в каждой пространственной точке можно получить эффективное описание сингулярности в терминах конечномерной динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями относительно времени, но пространственные градиенты действительно входят в эти уравнения нетривиально.

Последующий анализ, проведенный большим количеством авторов, показал, что гипотеза BKL может быть сделана точной, и к настоящему времени в ее поддержку имеется внушительное количество числовых и аналитических свидетельств. ^[23] Будет справедливо сказать, что мы все еще довольно далеки от доказательства сильной гипотезы. Но в более простых моделях был достигнут выдающийся прогресс. В частности, Бергер, Гарфинкль, Монкриф, Изенберг, Уивер и другие показали, что в классе моделей по мере приближения к сингулярности решения полных уравнений Эйнштейна приближаются к «усеченным» (усеченным) уравнениям, в которых доминируют «скоростные члены». пренебрегая пространственными производными. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Андерссон и Рендалл ^[28]показал, что для гравитации, связанной с безмассовым скалярным полем или жесткой жидкостью, для каждого решения усеченных уравнений существует решение для полных уравнений поля, которое сходится к усеченному решению по мере приближения к сингулярности, даже в отсутствие симметрии. Эти результаты были обобщены, чтобы также включить калибровочные поля p-формы . ^[29] В этих усеченных моделях динамика проще, что позволяет точно сформулировать гипотезу, которая может быть доказана. В общем случае, наиболее убедительные доказательства на сегодняшний день получены в результате численной эволюции. Бергер и Монкриф ^[30] начали программу по анализу космологических сингулярностей общего вида. В то время как первоначальная работа была сосредоточена на случаях редукции симметрии, ^[31] совсем недавно Гарфинкль^[32] выполнил численную эволюцию пространства-времени без симметрии, в которой, опять же, поведение миксмастера очевидно. Наконец, дополнительное подтверждение гипотезы пришло из численного исследования поведения тестовых полей вблизи сингулярности черной дыры Шварцшильда. ^[33]

Решение Kasner [ править ]

Подход BKL к анизотропным (в отличие от изотропных) однородных пространств начинается с обобщения точного частного решения, полученного Каснером ^[34] для поля в вакууме, в котором пространство однородно и имеет евклидову метрику, которая зависит от времени согласно в метрику Каснера

${\ displaystyle dl ^ {2} = t ^ {2p_ {1}} dx ^ {2} + t ^ {2p_ {2}} dy ^ {2} + t ^ {2p_ {3}} dz ^ {2} }$

( ур. 2 )

( dl - линейный элемент ; dx , dy , dz - бесконечно малые смещения в трех пространственных измерениях , а t - период времени, прошедший с некоторого начального момента t ₀ = 0). Здесь p ₁ , p ₂ , p ₃ - любые три числа, удовлетворяющие следующим условиям Казнера

${\ displaystyle p_ {1} + p_ {2} + p_ {3} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = 1.}$

( ур. 3 )

Из-за этих соотношений только одно из трех чисел является независимым (два уравнения с тремя неизвестными ). Все три числа никогда не совпадают; два числа совпадают только в наборах значений и (0, 0, 1). ^{[примечание 3]} Во всех остальных случаях числа разные, одно число отрицательное, а два других положительные. Это частично доказывается возведением в квадрат обеих частей первого условия ур. 3 и развивающий квадрат:${\ textstyle (- {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, {\ frac {2} {3}})}$

${\ displaystyle \ left (p_ {1} + p_ {2} + p_ {3} \ right) ^ {2} = \ left (p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} \ right) + \ left (2p_ {1} p_ {2} + 2p_ {2} p_ {3} + 2p_ {1} p_ {3} \ right) = 1}$

Член равен 1 по второму условию ур. 3 и, следовательно, член со смешанными продуктами должен быть равен нулю. Это возможно, если хотя бы один из p ₁ , p ₂ , p ₃ отрицательный.${\ displaystyle \ left (p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} \ right)}$

Если числа расположены в порядке возрастания, p ₁ < p ₂ < p ₃ , они меняются интервалами (рис. 4).

${\ displaystyle {\ begin {matrix} - {\ tfrac {1} {3}} \ leq p_ {1} \ leq 0, \\\ 0 \ leq p_ {2} \ leq {\ tfrac {2} {3} }}, \\ {\ frac {2} {3}} \ leq p_ {3} \ leq 1. \ end {matrix}}}$

( ур.4 )

Метрическая уравнение Каснера. 2 соответствует плоскому однородному, но анизотропному пространству, в котором все объемы увеличиваются со временем таким образом, что линейные расстояния по двум осям y и z увеличиваются, а расстояние по оси x уменьшается. Момент t = 0 вызывает особенность решения; сингулярности в метрике при t = 0 нельзя избежать никаким преобразованием системы отсчета. В особенности инварианты четырехмерного тензора кривизны уходят на бесконечность. Исключение составляет случай p ₁ = р ₂ = 0, р ₃= 1; эти значения соответствуют плоскому пространству-времени: преобразование t sh z = ζ, t ch z = τ превращает метрику Казнера ( уравнение 2 ) в галилееву .

BKL параметризует числа p ₁ , p ₂ , p ₃ через один независимый (действительный) параметр u ( параметр Лифшица-Халатникова ^[35] ) следующим образом.

${\displaystyle p_{1}(u)={\frac {-u}{1+u+u^{2}}},\ p_{2}(u)={\frac {1+u}{1+u+u^{2}}},\ p_{3}(u)={\frac {u(1+u)}{1+u+u^{2}}}}$

( ур.5 )

Параметризация индекса Казнера кажется загадочной, пока не задумаешься о двух ограничениях на индексы eq. 3 . Оба ограничения фиксируют общий масштаб индексов, поэтому могут изменяться только их соотношения . Естественно выбрать одно из этих соотношений в качестве нового параметра, что можно сделать шестью различными способами. Выбрав, например, u = u ₃₂ = p ₃ / p ₂ , легко выразить через него все шесть возможных соотношений. Сначала исключение p ₃ = up ₂ , а затем использование линейного ограничения для исключения p ₁ = 1 - p ₂- до ₂ = 1 - (1 + у ) р ₂ , квадратичная ограничение сводится к квадратному уравнению в р _-

${\displaystyle \left[1-\left(1+u\right)p_{2}\right]^{2}+p_{2}^{2}+\left(up_{2}\right)^{2}=1}$

( ур. 5а )

с корнями p ₂ = 0 (очевидно) и p ₂ = (1 + u ) / (1 + u + u ² ), из которых затем получаются p ₁ и p ₃ обратной подстановкой . Можно определить шесть таких параметров u _ab = p _a / p _b , для которых p _c ≤ p _b ≤ p _a, когда ( c , b , a ) - циклическая перестановкаиз (1, 2, 3). ^[36]

Все различные значения p ₁ , p ₂ , p _3, упорядоченные, как указано выше, получены с u, работающим в диапазоне u ≥ 1. Значения u <1 приводятся в этот диапазон в соответствии с

${\displaystyle p_{1}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{1}(u),\ p_{2}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{3}(u),\ p_{3}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{2}(u)}$

( ур.6 )

В обобщенном решении форма, соответствующая ур. 2 применяется только к асимптотической метрики (метрики вблизи сингулярности т = 0), соответственно, на основные точки зрения его разложения в ряд по степеням от т . В синхронной системе отсчета это записывается в виде ур. 1 с дистанционным элементом

${\displaystyle dl^{2}=\left(a^{2}l_{\alpha }l_{\beta }+b^{2}m_{\alpha }m_{\beta }+c^{2}n_{\alpha }n_{\beta }\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }}$

( ур.7 )

где

${\displaystyle a=t^{p_{l}},\ b=t^{p_{m}},\ c=t^{p_{n}}}$

( ур. 8 )

Трехмерный векторы л , м , п определяют направления , при котором пространстве расстояние меняется со временем по силе законов э. 8 . Эти векторы, а также числа p _l , p _m , p _n, которые, как и раньше, связаны уравнением. 3 , являются функциями пространственных координат. Мощности p _l , p _m , p _n не располагаются в порядке возрастания, зарезервированы символы p ₁ , p ₂ , p₃ для чисел в ур. 5, которые остаются расположенными в порядке возрастания. Определитель метрики экв. 7 это

${\displaystyle -g=a^{2}b^{2}c^{2}v^{2}=t^{2}v^{2}}$

( ур.9 )

где v = l [ mn ]. Удобно ввести следующие величины ^{[примечание 4]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {l} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {l} }{v}},\ \mu ={\frac {\mathbf {m} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {m} }{v}},\ \nu ={\frac {\mathbf {n} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {n} }{v}}.}$

( ур.10 )

Метрика пространства в ур. 7 является анизотропным, потому что степени t в ур. 8 не могут иметь одинаковые значения. При приближении к сингулярности при t = 0 линейные расстояния в каждом элементе пространства уменьшаются в двух направлениях и увеличиваются в третьем направлении. Объем элемента уменьшается пропорционально t .

Метрика Казнера вводится в уравнения Эйнштейна путем подстановки соответствующего метрического тензора γ _αβ из ур. 7 без определения априори зависимости a , b , c от t : ^{[примечание 1]}

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

где точка над символом обозначает дифференциацию по времени. Уравнение Эйнштейна ур. 11 принимает вид

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0.}$

( ур.14 )

Все его члены имеют второй порядок для большой (при t → 0) величины 1 / t . В уравнениях Эйнштейна ур. 12 , термины такого порядка появляются только из терминов, дифференцированных по времени. Если компоненты P _αβ не содержат членов порядка выше двух, то

${\displaystyle -R_{l}^{l}={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{m}^{m}={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{n}^{n}={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}=0}$

( ур.15 )

где индексы l , m , n обозначают компоненты тензора в направлениях l , m , n . ^[12] Эти уравнения вместе с ур. 14 дают выражения ур. 8 с степенями, которые удовлетворяют ур. 3 .

Однако наличие одной отрицательной степени среди 3 степеней p _l , p _m , p _n приводит к появлению членов из P _αβ с порядком больше t ^-2 . Если отрицательная степень равна p _l ( p _l = p ₁ <0), то P _αβ содержит координатную функцию λ и уравнение. 12 стать

${\displaystyle {\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0.\\\end{aligned}}}$

( ур.16 )

Здесь вторые члены имеют порядок t ^{−2 ( p _m + p _n - p _l ),} где p _m + p _n - p _l = 1 + 2 | п _л | > 1. ^{[примечание 5]} Чтобы удалить эти условия и восстановить метрическую ур. 7 , на координатные функции необходимо наложить условие λ = 0.

Остальные три уравнения Эйнштейна ур. 13 содержат только производные по времени первого порядка от метрического тензора. Они дают три независимых от времени отношения, которые должны быть наложены в качестве необходимых условий на координатные функции в формуле. 7 . Это вместе с условием λ = 0 дает четыре условия. Эти условия связывают десять различных координатных функций: три компонента каждого из векторов l , m , n и одну функцию в степенях t (любую из функций p _l , p _m , p _n , которые связаны условиями уравнение 3). При вычислении числа физически произвольных функций необходимо учитывать, что используемая здесь синхронная система допускает не зависящие от времени произвольные преобразования трех пространственных координат. Следовательно, окончательное решение содержит всего 10 - 4 - 3 = 3 физически произвольных функции, что на единицу меньше, чем требуется для общего решения в вакууме.

Степень общности, достигаемая на этом этапе, не уменьшается путем введения материи; материя записывается в метрическую уравнение. 7 и вносит четыре новые функции координат, необходимые для описания начального распределения его плотности и трех компонентов его скорости. Это позволяет определять эволюцию материи просто по законам ее движения в априори заданном гравитационном поле, которые являются уравнениями гидродинамики

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {-g}}\sigma u^{i}\right)=0,}$

( ур.17 )

${\displaystyle (p+\varepsilon )u^{k}\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {1}{2}}u^{l}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}\right\rbrace =-{\frac {\partial p}{\partial x^{i}}}-u_{i}u^{k}{\frac {\partial p}{\partial x^{k}}},}$

( ур.18 )

где u ⁱ - 4-мерная скорость, ε и σ - плотности энергии и энтропии вещества (см. также ^[37] и; ^[38] также; ^[39] для подробностей см. ^[40] ). Для ультрарелятивистского уравнения состояния p = ε / 3 энтропия σ ~ ε ^1/4 . Основные термины в ур. 17 и ур. 18 - это те, которые содержат производные по времени . Из ур. 17 и пространственные компоненты ур. 18 один имеет

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

в результате чего

${\displaystyle abcu_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}=\mathrm {const} ,\ u_{\alpha }\varepsilon ^{\frac {1}{4}}=\mathrm {const} ,}$

( ур.19 )

где «const» - не зависящие от времени величины. Кроме того, из тождества u _i u ⁱ = 1 (поскольку все ковариантные компоненты u _α одного порядка)

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

где u _n - составляющая скорости вдоль направления n , связанная с наивысшей (положительной) степенью t (предполагая, что p _n = p ₃ ). Из приведенных выше соотношений следует, что

${\displaystyle \varepsilon \sim {\frac {1}{a^{2}b^{2}}},\ u_{\alpha }\sim {\sqrt {ab}}}$

( ур.20 )

или же

${\displaystyle \varepsilon \sim t^{-2(p_{1}+p_{2})}=t^{-2(1-p_{3})},\ u_{\alpha }\sim t^{\frac {(1-p_{3})}{2}}.}$

( ур.21 )

Приведенные выше уравнения можно использовать для подтверждения того, что компоненты тензора энергии-импульса материи, стоящие в правой части уравнений

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

действительно, на 1 / t ниже, чем главные члены в их левых частях. В уравнениях наличие вещества приводит только к изменению соотношений, налагаемых на составляющие их координатные функции. ^[12]${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$

Тот факт, что ε становится бесконечным по закону ур. 21 подтверждает, что в решении уравнения. 7 рассматривается физическая особенность при любых значениях мощностей p ₁ , p ₂ , p _3, кроме (0, 0, 1). Для этих последних значений сингулярность является нефизической и может быть устранена путем изменения системы отсчета.

Вымышленная особенность, соответствующая степеням (0, 0, 1), возникает в результате пересечения координат временной линии над некоторой двумерной « фокальной поверхностью ». Как указано в ^[12], синхронная система отсчета всегда может быть выбрана таким образом, чтобы это неизбежное пересечение временной линии происходило именно на такой поверхности (вместо трехмерной каустической поверхности). Следовательно, решение с такой одновременной для всего пространства вымышленной сингулярностью должно существовать с полным набором произвольных функций, необходимых для общего решения. Вблизи точки t = 0 он допускает регулярное разложение по целым степеням t . Для анализа этого случая см. ^[41]

Колебательный режим к сингулярности [ править ]

Общее решение по определению полностью стабильно; иначе Вселенная не существовала бы. Любое возмущение равносильно изменению начальных условий в некоторый момент времени; поскольку общее решение допускает произвольные начальные условия, возмущение не может изменить своего характера. Если посмотреть под таким углом, четыре условия, наложенные на координатные функции в решении ур. 7 бывают разных типов: три условия, которые возникают из уравнений${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$= 0 являются «естественными»; они являются следствием структуры уравнений Эйнштейна. Однако дополнительное условие λ = 0, которое приводит к потере одной производной функции, имеет совершенно другой тип: неустойчивость, вызванная возмущениями, может нарушить это условие. Действие такого возмущения должно перевести модель в другой, более общий режим. Возмущение нельзя считать малым: переход в новый режим выходит за пределы очень малых возмущений.

Анализ поведения модели при пертурбативном воздействии, выполненный BKL, выявляет сложный колебательный режим при приближении к сингулярности. ^{[2] [42] [43] [44]} Они не могли дать всех подробностей этого режима в широком контексте общего случая. Однако BKL объяснил наиболее важные свойства и характер решения на конкретных моделях, которые позволяют проводить далеко идущие аналитические исследования.

Эти модели основаны на метрике однородного пространства определенного типа. Предположение об однородности пространства без какой-либо дополнительной симметрии оставляет большую свободу в выборе метрики. Все возможные однородные (но анизотропные) пространства классифицируются, согласно Бьянки , на несколько типов Бьянки (Типы I - IX) . ^[45] (см. Также Обобщенное однородное решение ) BKL исследуют только пространства типов Бианки VIII и IX.

Если метрика имеет форму ур. 7 , для каждого типа однородных пространств существует некоторая функциональная связь между опорными векторами l , m , n и пространственными координатами. Конкретная форма этого отношения не важна. Важным фактом является то, что для пространств типов VIII и IX величины λ, μ, ν eq. 10 - константы, а все «смешанные» продукты l rot m , l rot n , m rot l и т. Д.. нули. Для пространств типа IX величины λ, μ, ν имеют один и тот же знак, и можно записать λ = μ = ν = 1 (одновременная смена знаков трех констант ничего не меняет). Для пространств типа VIII две константы имеют знак, противоположный знаку третьей константы; можно записать, например, λ = - 1, μ = ν = 1. ^{[примечание 6]}

Таким образом, изучение влияния возмущения на «моду Казнера» ограничивается изучением влияния λ-содержащих членов в уравнениях Эйнштейна. Пространства VIII и IX типов - наиболее подходящие модели для такого исследования. Поскольку все 3 величины λ, μ, ν в этих типах Бианки отличны от нуля, условие λ = 0 не выполняется независимо от того, какое направление l , m , n имеет отрицательную степенную зависимость от времени.

Уравнения Эйнштейна для космических моделей Типа VIII и Типа IX следующие ^{[46] [примечание 1]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {\left({\dot {a}}bc\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\lambda ^{2}a^{4}-\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\mu ^{2}b^{4}-\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {\left(ab{\dot {c}}\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\nu ^{2}c^{4}-\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}\right]=0,\\\end{aligned}}}$

( уравнение 22 )

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0}$

( ур.23 )

(остальные компоненты , , , , , тождественно равны нули). Эти уравнения содержат только функции времени; это условие должно выполняться во всех однородных пространствах. Здесь уравнение. 22 и ур. 23 точны, и их применимость не зависит от того, насколько близко они находятся к сингулярности при t = 0. ^{[примечание 7]}${\displaystyle R_{l}^{0}}$${\displaystyle R_{m}^{0}}$${\displaystyle R_{n}^{0}}$${\displaystyle R_{l}^{m}}$${\displaystyle R_{l}^{n}}$${\displaystyle R_{m}^{n}}$

Производные по времени в уравнении. 22 и ур. 23 примут более простой вид, если подставить а , b , с их логарифмы α, β, γ:

${\displaystyle a=e^{\alpha },\ b=e^{\beta },\ c=e^{\gamma },}$

( ур.24 )

подставив переменную t вместо τ согласно:

${\displaystyle dt=abc\ d\tau .}$

( ур.25 )

Тогда (нижние индексы обозначают дифференцирование по τ):

${\displaystyle {\begin{aligned}2\alpha _{\tau \tau }&=\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\lambda ^{2}a^{4}=0,\\2\beta _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\mu ^{2}b^{4}=0,\\2\gamma _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}-\nu ^{2}c^{4}=0,\\\end{aligned}}}$

( ур.26 )

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta +\gamma \right)_{\tau \tau }=\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }.}$

( ур.27 )

Складывая уравнения ур. 26 и подставив в левую часть сумму (α + β + γ) _{τ τ} согласно ур. 27 , можно получить уравнение, содержащее только первые производные, которые являются первым интегралом системы eq. 26 :

${\displaystyle \alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }={\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}a^{4}+\mu ^{2}b^{4}+\nu ^{2}c^{4}-2\lambda \mu a^{2}b^{2}-2\lambda \nu a^{2}c^{2}-2\mu \nu b^{2}c^{2}\right).}$

( ур.28 )

Это уравнение играет роль связующего условия, накладываемого на начальное состояние уравнения. 26 . Режим Kasner eq. 8 является решением уравнения. 26 при игнорировании всех терминов в правой части. Но такая ситуация не может продолжаться (при t → 0) бесконечно, потому что среди этих членов всегда есть растущие. Таким образом, если отрицательная мощность находится в функции a ( t ) ( p _l = p ₁ ), то возмущение казнеровской моды будет возникать с помощью членов λ ² a ⁴ ; остальные члены будут уменьшаться с уменьшением t. Если бы только растущие члены остались в правых частях уравнения. 26 , получаем систему:

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }=-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha },\ \beta _{\tau \tau }=\gamma _{\tau \tau }={\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha }}$

( ур.29 )

(сравните уравнение 16 ; ниже подставлено λ ² = 1). Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики из начального состояния, в котором она описывается уравнением. 8 с заданным набором мощностей (при p _l <0); пусть p _l = р ₁ , p _m = р ₂ , p _n = р ₃ так, чтобы

${\displaystyle a\sim t^{p_{1}},\ b\sim t^{p_{2}},\ c\sim t^{p_{3}}.}$

( ур.30 )

потом

${\displaystyle abc=\Lambda t,\ \tau =\Lambda ^{-1}\ln t+\mathrm {const} }$

( ур.31 )

где Λ постоянная. Начальные условия для ур. 29 переопределяются как

${\displaystyle \alpha _{\tau }=\Lambda p_{1},\ \beta _{\tau }=\Lambda p_{2},\ \gamma _{\tau }=\Lambda p_{3}\ \mathrm {at} \ \tau \to \infty }$

( ур.32 )

Уравнения ур. 29 легко интегрируются; решение, удовлетворяющее условию ур. 32 это

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}={\frac {2|p_{1}|\Lambda }{\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau )}},\\b^{2}=b_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\\c^{2}=c_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\end{cases}}}$

( ур.33 )

где b ₀ и c ₀ - еще две константы.

Легко видеть, что асимптотика функций ур. 33 при t → 0 - уравнение. 30 . Асимптотические выражения этих функций и функции t (τ) при τ → −∞ имеют вид ^{[примечание 8]}

${\displaystyle a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.}$

Выражая a , b , c как функции от t , мы имеем

${\displaystyle a\sim t^{p'_{l}},b\sim t^{p'_{m}},c\sim t^{p'_{n}}}$

( ур.34 )

где

${\displaystyle p'_{l}={\frac {|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}},p'_{m}=-{\frac {2|p_{1}|-p_{2}}{1-2|p_{1}|}},p'_{n}={\frac {p_{3}-2|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}}.}$

( ур.35 )

потом

${\displaystyle abc=\Lambda 't,\ \Lambda '=(1-2|p_{1}|)\Lambda .}$

( ур.36 )

Вышеизложенное показывает, что возмущение действует таким образом, что оно меняет одну моду Каснера на другую моду Каснера, и в этом процессе отрицательная мощность t меняется с направления l на направление m : если раньше было p _l <0, то теперь оно меняется. p ' _m <0. При этом изменении функция a ( t ) проходит через максимум, а b ( t ) проходит через минимум; b , который раньше был убывающим, теперь увеличивается: a от увеличения становится убывающим; и убывающая c ( t) далее уменьшается. Само возмущение (λ ² a ^4α в уравнении 29 ), которое раньше увеличивалось, теперь начинает уменьшаться и затухать. Дальнейшая эволюция аналогичным образом вызывает увеличение возмущения от членов с μ ² (вместо λ ² ) в уравнении. 26 , очередная смена режима Каснера и так далее.

Удобно записать уравнение правила подстановки мощности . 35 с помощью уравнения параметризации . 5 :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {if} &p_{l}=p_{1}(u)&p_{m}=p_{2}(u)&p_{n}=p_{3}(u)\\\mathrm {then} &p'_{l}=p_{2}(u-1)&p'_{m}=p_{1}(u-1)&p'_{n}=p_{3}(u-1)\end{matrix}}}$

( ур.37 )

Большая из двух положительных сил остается положительной.

BKL называют это переключение отрицательной силы между направлениями эпохой Каснера . Ключом к пониманию характера эволюции метрики при приближении к сингулярности является именно этот процесс смены казнеровских эпох с переключением степеней p _l , p _m , p _n по правилу eq. 37 .

Последовательные чередования ур. 37 с переворотом отрицательной степени p ₁ между направлениями l и m (эпохи Казнера) продолжается обеднением всей части исходного u до момента, когда u <1. Значение u <1 преобразуется в u > 1 согласно экв. 6 ; в этот момент отрицательная степень равна p _l или p _{m, в} то время как p _n становится меньшим из двух положительных чисел ( p _n = p ₂). Следующая серия эпох Каснера переворачивает отрицательную мощность между направлениями n и l или между n и m . При произвольном ( иррациональном ) начальном значении u этот процесс чередования продолжается неограниченно. ^{[примечание 9]}

При точном решении уравнений Эйнштейна степени p _l , p _m , p _n теряют свой первоначальный точный смысл. Это обстоятельство вносит некоторую «размытость» в определение этих чисел (а вместе с ними и параметра u ), которая хоть и небольшая, но делает бессмысленным анализ любых определенных (например, рациональных ) значений u . Следовательно, только те законы, которые касаются произвольных иррациональных значений u, имеют какое-либо конкретное значение.

Большие периоды, в течение которых шкалы пространственных расстояний по двум осям колеблются, а расстояния по третьей оси монотонно уменьшаются, называются эрами ; объемы уменьшаются по закону, близкому к ~ t . При переходе от одной эры к другой направление, в котором расстояния монотонно уменьшаются , меняется с одной оси на другую. Порядок этих переходов приобретает асимптотический характер случайного процесса . Такой же случайный порядок характерен и для чередования длин последовательных эр (под длиной эры BKL понимают номер казнеровской эпохи, содержащейся в эре, а не временной интервал).

Каждой эре ( s -й эре) соответствует ряд значений параметра u, начиная с наибольшего,, и через значения - 1, - 2, ..., доходя до наименьшего, <1. Тогда${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$${\displaystyle u_{\min }^{(s)}}$

${\displaystyle u_{\min }^{(s)}=x^{(s)},\ u_{\max }^{(s)}=k^{(s)}+x^{(s)},}$

( ур.41 )

то есть k ^{( s )} = [ ], где скобки означают всю часть значения. Число k ^{( s )} - это длина эры, измеряемая количеством казнеровских эпох, содержащихся в эре. Для следующей эпохи${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

${\displaystyle u_{\max }^{(s+1)}={\frac {1}{x^{(s)}}},\ k^{(s+1)}=\left[{\frac {1}{x^{(s)}}}\right].}$

( ур.42 )

В безграничном ряду чисел u , составленном по этим правилам, есть бесконечно малые (но никогда не нулевые) значения x ^{( s )} и, соответственно, бесконечно большие длины k ^{( s )} .

При приближении к t = 0 эрный ряд становится более плотным. Однако естественной переменной для описания хода этой эволюции является не мировое время t , а его логарифм ln t , с помощью которого весь процесс достижения сингулярности расширяется до −∞.

Согласно ур. 33 одна из функций a , b , c , проходящая через максимум при переходе между казнеровскими эпохами, на пике своего максимума равна

${\displaystyle a_{\max }={\sqrt {2\Lambda |p_{1}(u)|}}}$

( ур.38 )

где предполагается, что a _max велико по сравнению с b ₀ и c ₀ ; в экв. 38 u - значение параметра в казнеровскую эпоху до перехода. Отсюда видно, что пики последовательных максимумов в течение каждой эры постепенно снижаются. Действительно, в следующую казнеровскую эпоху этот параметр будет иметь значение u ' = u - 1, и Λ подставляется согласно ур. 36 с Λ '= Λ (1-2 | p ₁ ( u ) |). Следовательно, отношение двух последовательных максимумов равно

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};}$

и наконец

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}={\sqrt {\frac {u-1}{u}}}\equiv {\sqrt {\frac {u'}{u}}}.}$

( ур.39 )

Вышеупомянутые решения являются решениями уравнений Эйнштейна в вакууме. Что касается чистой казнеровской моды, то вещество не меняет качественных свойств этого раствора и может быть записано в него без учета его реакции на поле. Однако, если сделать это для обсуждаемой модели, понимаемой как точное решение уравнений Эйнштейна, результирующая картина эволюции материи не будет иметь общего характера и будет специфичной для высокой симметрии, неизбежной для данной модели. Математически эта специфика связана с тем фактом, что для обсуждаемой здесь геометрии однородного пространства компоненты тензора Риччи тождественно равны нулю, и поэтому уравнения Эйнштейна не допускают движения материи (что дает ненулевые компоненты тензора энергии-импульса напряжения${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$${\displaystyle T_{\alpha }^{0}}$). Другими словами, синхронная система отсчета также должна двигаться вместе с веществом. Если заменить в ур. 19 u _α = 0, u ⁰ = 1, становится ε ~ ( abc ) ^−4/3 ~ t ^−4/3 .

Этой трудности можно избежать, если включить в модель только основные члены предельной (при t → 0) метрики и записать в нее материю с произвольным начальным распределением плотностей и скоростей. Тогда ход эволюции материи определяется ее общими законами движения ур. 17 и ур. 18, что приводит к уравнению. 21 . В каждую казнеровскую эпоху плотность увеличивается по закону

${\displaystyle \varepsilon =t^{-2(1-p_{3})},}$

( ур.40 )

где p ₃ , как и выше, является наибольшим из чисел p ₁ , p ₂ , p ₃ . Плотность материи монотонно увеличивается на протяжении всей эволюции к сингулярности.

Метрическая эволюция [ править ]

Очень большие значения u соответствуют степеням Каснера

${\displaystyle p_{1}\approx -{\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx {\frac {1}{u}},\ p_{3}\approx 1-{\frac {1}{u^{2}}},}$

( ур.43 )

которые близки к значениям (0, 0, 1). Два значения, близкие к нулю, также близки друг к другу, и поэтому изменения в двух из трех типов «возмущений» (члены с λ, μ и ν в правых частях уравнения 26 ) равны тоже очень похоже. Если в начале такой долгой эры эти члены очень близки по абсолютным значениям в момент перехода между двумя казнеровскими эпохами (или искусственно созданы путем задания начальных условий), то они будут оставаться близкими в течение большей части длины всей эпоха. В этом случае (BKL называют это случаем малых колебаний ) анализ, основанный на действии одного типа возмущений, становится некорректным; необходимо учитывать одновременное действие двух типов возмущений.

Два возмущения [ править ]

Рассмотрим длительную эпоху, в течение которой две функции a , b , c (пусть это будут a и b ) претерпевают небольшие колебания, а третья функция ( c ) монотонно убывает. Последняя функция быстро становится маленькой; Рассмотрим решение как раз в той области, где можно игнорировать c по сравнению с a и b . Расчеты сначала выполняются для космической модели типа IX путем замены соответственно λ = μ = ν = 1. ^[43]

После игнорирования функции c первые 2 уравнения eq. 26 дать

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }=0,\,}$

( ур.44 )

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }-\beta _{\tau \tau }=e^{4\beta }-e^{4\alpha },\,}$

( ур.45 )

и экв. 28 можно использовать как третье уравнение, которое принимает вид

${\displaystyle \gamma _{\tau \tau }\left(\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }\right)=-\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+{\frac {1}{4}}\left(e^{2\alpha }-e^{2\beta }\right)^{2}.}$

( ур.46 )

Решение уравнения. 44 записывается в виде

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

где α ₀ , ξ ₀ - положительные константы, а τ ₀ - верхний предел эры для переменной τ. Далее удобно ввести новую переменную (вместо τ)

${\displaystyle \xi =\xi _{0}\exp \left[{\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)\right].}$

( ур.47 )

потом

${\displaystyle \alpha +\beta =\ln {\frac {\xi }{\xi _{0}}}+2\ln a_{0}.}$

( ур.48 )

Уравнения ур. 45 и ур. 46 преобразуются введением переменной χ = α - β:

${\displaystyle \chi _{\xi \xi }={\frac {\chi _{\xi }}{\xi }}+{\frac {1}{2}}\operatorname {sh} 2\chi =0,}$

( ур.49 )

${\displaystyle \gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\operatorname {ch} 2\chi -1\right).}$

( ур.50 )

Уменьшение τ от τ ₀ до −∞ соответствует уменьшению ξ от ξ ₀ до 0. Рассматриваемая здесь длинная эра с близкими a и b (то есть с малым χ) получается, если ξ ₀ является очень большим количество. Действительно, при больших ξ решение уравнения 49 в первом приближении на 1 / ξ равно

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta ={\frac {2A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right),}$

( ур.51 )

где A - постоянная; множитель делает χ небольшой величиной, поэтому его можно подставить в ур. 49 по sh 2χ ≈ 2χ. ^{[примечание 10]}${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$

Из ур. 50 человек получает

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

После определения α и β из ур. 48 и ур. 51 и раскладывая e ^α и e ^β последовательно в соответствии с приведенным выше приближением, в конечном итоге получаем: ^{[примечание 11]}

${\displaystyle {\begin{cases}a\\b\end{cases}}=a_{0}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi _{0}}}}\left[1\pm {\frac {A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right)\right],}$

( ур.52 )

${\displaystyle c=c_{0}e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.}$

( ур.53 )

Связь между переменной ξ и временем t получается интегрированием определения dt = abc d τ, которое дает

${\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}=e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.}$

( ур.54 )

Константа c ₀ (значение с при ξ = ξ ₀ ) теперь должна быть c ₀ α ₀ ·${\displaystyle \ll }$

Рис. 5. Пространство типа Бьянки VIII (открытое), испытывающее хаотическую динамику BKL (Mixmaster), близкую к сингулярности, согласно правилам ур. 35 с начальным . Особенность находится в центральном выступе поверхности гиперболоида.${\displaystyle u={\sqrt {13}}}$

Теперь рассмотрим область ξ 1. Здесь основные члены в решении уравнения. 49 являются:${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

где k - постоянная в диапазоне - 1 < k <1; это условие гарантирует, что последний член в ур. 49 мала (sh 2χ содержит ξ ^{2 k} и ξ ^{−2 k} ). Тогда после определения α, β и t получаем

${\displaystyle a\sim \xi ^{\frac {1+k}{2}},\ b\sim \xi ^{\frac {1-k}{2}},\ c\sim \xi ^{-{\frac {1-k^{2}}{4}}},\ t\sim \xi ^{\frac {3+k^{2}}{4}}.}$

( ур.55 )

Это снова режим Казнера с отрицательной t- степенью, присутствующей в функции c ( t ). ^{[примечание 12]}

Эти результаты показывают эволюцию, качественно аналогичную описанной выше. В течение длительного периода времени, который соответствует значительному уменьшению значения ξ, две функции a и b колеблются, оставаясь близкими по величине ; при этом обе функции a и b медленно ( ) убывают. Период колебаний постоянен по переменной ξ: Δξ = 2π (или, что то же самое, с постоянным периодом по логарифмическому времени: Δ ln t = 2π Α ² ). Третья функция c монотонно убывает по закону, близкому к c = c ₀ t / t ₀${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$.

Эта эволюция продолжается до ξ ≈1 и формулы ур. 52 и ур. 53 больше не применимы. Его временная длительность соответствует изменению t от t ₀ до значения t ₁ , связанного с ξ ₀ согласно

${\displaystyle A^{2}\xi _{0}=\ln {\frac {t_{0}}{t_{1}}}.}$

( ур.56 )

Связь между ξ и t за это время можно представить в виде

${\displaystyle {\frac {\xi }{\xi _{0}}}={\frac {\ln {\tfrac {t}{t_{1}}}}{\ln {\tfrac {t_{0}}{t_{1}}}}}.}$

( ур.57 )

После этого, как видно из ур. 55 убывающая функция c начинает увеличиваться, в то время как функции a и b начинают уменьшаться. Эта казнеровская эпоха продолжается до членов c ² / a ² b ² в ур. 22 становится ~ t ^2, и начинается следующая серия колебаний.

Закон изменения плотности в течение обсуждаемой долгой эпохи получается заменой уравнения. 52 в экв. 20 :

${\displaystyle \varepsilon \sim \left({\frac {\xi _{0}}{\xi }}\right)^{2}.}$

( ур.58 )

Когда ξ изменяется от ξ ₀ до ξ ≈1, плотность увеличивается в раз.${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$

Следует подчеркнуть, что, хотя функция c ( t ) изменяется по закону, близкому к c ~ t , метрическая уравнение 52 не соответствует метрике Казнера со степенями (0, 0, 1). Последнее соответствует точному решению, найденному Таубом ^[47], которое допускается уравнениями. 26 - 27 и в котором

${\displaystyle a^{2}=b^{2}={\frac {p}{2}}{\frac {\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}{\mathrm {ch} ^{2}(p\tau +\delta _{2})}},\;c^{2}={\frac {2p}{\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}},}$

( ур.59 )

где p , δ ₁ , δ ₂ постоянны. В асимптотической области τ → −∞ отсюда можно получить a = b = const, c = const. t после замены е ^рτ = t . В этой метрике особенность при t = 0 нефизическая.

Давайте теперь опишем аналогичное исследование модели Типа VIII, подставив в уравнения. экв. 26 ' -' 28 λ = −1, μ = ν = 1. ^[44]

Если в течение длительных эпох, функция монотонно убывает является , ничего не меняется в предыдущем анализе: не обращая внимания на ² на правой стороне уравнений 26 и 28 , восходит к тем же уравнениям 49 и 50 (с измененной записью). Однако некоторые изменения происходят, если монотонно убывающая функция равна b или c ; пусть будет c .

Как и раньше, у вас есть уравнение 49 с теми же символами, и, следовательно, предыдущие выражения eq. 52 для функций a (ξ) и b (ξ), но уравнение 50 заменяется на

${\displaystyle \gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\mathrm {ch} 2\chi +1\right).}$

( ур. 60 )

Главный член при больших ξ теперь становится

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

чтобы

${\displaystyle {\frac {c}{c_{0}}}={\frac {t}{t_{0}}}=e^{-{\frac {1}{8}}\left(\xi _{0}^{2}-\xi ^{2}\right)}.}$

( ур.61 )

Значение c как функция времени t снова составляет c = c ₀ t / t _0, но зависимость ξ от времени изменяется. Длина длинной эры зависит от ξ ₀ согласно

${\displaystyle \xi _{0}={\sqrt {8\ln {\frac {t}{t_{0}}}}}.}$

( ур.62 )

С другой стороны, значение ξ ₀ определяет количество колебаний функций a и b в течение эры (равно ξ ₀ / 2π). Учитывая длину эры в логарифмическом времени (т.е. при заданном отношении t ₀ / t ₁ ), количество колебаний для Типа VIII будет, вообще говоря, меньше, чем для Типа IX. Теперь для периода колебаний Δ ln t = πξ / 2; в отличие от типа IX, период непостоянен на протяжении всей долгой эры и медленно уменьшается вместе с ξ.

Малое время [ править ]

Длинные эпохи нарушают «регулярный» ход эволюции, что затрудняет изучение эволюции временных интервалов, охватывающих несколько эпох. Однако можно показать, что такие «аномальные» случаи возникают при спонтанной эволюции модели к особой точке в асимптотически малых временах t на достаточно больших расстояниях от начальной точки с произвольными начальными условиями. Даже в длинных эпохах обе колебательные функции при переходах между казнеровскими эпохами остаются настолько разными, что переход происходит под действием только одного возмущения. Все результаты этого раздела в равной степени относятся к моделям типов VIII и IX. ^[48]

В каждую казнеровскую эпоху abc = Λ t , т.е. α + β + γ = ln Λ + ln t . При переходе от одной эпохи (с данным значением параметра u ) к следующей эпохе постоянная Λ умножается на 1 + 2 p ₁ = (1 - u + u ² ) / (1 + u + u ² ) < 1. Таким образом, происходит систематическое уменьшение Λ. Но важно, чтобы среднее (по длинам kэр) значение всего изменения ln Λ за эру конечно. На самом деле расхождение среднего значения могло быть связано только с слишком быстрым увеличением этой вариации с увеличением k . При большом значении параметра u ln (1 + 2 p ₁ ) ≈ −2 / u . Для большого k максимальное значение u ^(max) = k + x ≈ k. Следовательно, все изменение ln Λ в течение эры дается суммой вида

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

записаны только члены, соответствующие большим значениям u . При увеличении k эта сумма увеличивается как ln k . Но вероятность появления эры большой длины k уменьшается как 1 / k ₂ согласно ур. 76 ; следовательно, среднее значение суммы, указанной выше, конечно. Следовательно, систематическое изменение величины ln Λ за большое количество эпох будет пропорционально этому числу. Но это видно в ур. 85 видно, что при t → 0 число s увеличивается просто как ln | ln t |. Таким образом, в асимптотическом пределе сколь угодно малого tчленом ln Λ действительно можно пренебречь по сравнению с ln t . В этом приближении ^{[примечание 13]}

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-\Omega ,\,}$

( ур.63 )

где Ω обозначает «логарифмическое время»

${\displaystyle \Omega =-\ln t.\,}$

( ур.64 )

а процесс смены эпох можно рассматривать как серию кратковременных вспышек. Величины максимумов осциллирующих масштабных функций также подвержены систематическому изменению. Из ур. 39 при u ≫ 1 следует, что . Таким же образом, как это было сделано выше для величины ln Λ, отсюда можно сделать вывод, что среднее уменьшение высоты максимумов в течение эры конечно, а общее уменьшение за большое количество эр увеличивается при t → 0 просто как ln Ω. В то же время происходит понижение минимумов и, соответственно, увеличение амплитуды колебаний ( уравнение 77${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$) пропорционально Ω. В соответствии с принятым приближением снижением максимумов пренебрегают по сравнению с увеличением амплитуд, так что α _max = 0, β _max = 0, γ _max = 0 для максимальных значений всех колебательных функций и величин α, β , γ проходят только через отрицательные значения, которые связаны друг с другом в каждый момент времени соотношением eq. 63 .

Учитывая такое мгновенное изменение эпох, переходные периоды игнорируются как малые по сравнению с длиной эпохи; это условие действительно выполняется. ^{[примечание 14]} Замена максимумов α, β и γ нулями требует, чтобы величины ln (| p ₁ | Λ) были малы по сравнению с амплитудами колебаний соответствующих функций. Как было сказано выше , при переходе между эпохами | п ₁ | значения могут стать очень маленькими, а их величина и вероятность появления не связаны с амплитудами колебаний в соответствующий момент. Поэтому в принципе можно достичь столь малого | п ₁| значения, что вышеуказанное условие (нулевые максимумы) нарушено. Такое резкое падение α _max может привести к различным особым ситуациям, в которых переход между эпохами Казнера по правилу ур. 37 становится неправильным (включая ситуации, описанные выше ). Эти «опасные» ситуации могут нарушить законы, используемые для статистического анализа ниже. Однако, как уже упоминалось, вероятность таких отклонений асимптотически сходится к нулю; этот вопрос будет рассмотрен ниже.

Рассмотрим эру, которая содержит k казнеровских эпох с параметром u, пробегающим значения

${\displaystyle u_{n}=k+x-1-n,\quad n=0,1,\cdots ,k-1,}$

( ур.65 )

и пусть α и β - осциллирующие функции в течение этой эры (рис. 4). ^{[примечание 15]}

Начальные моменты казнеровских эпох с параметрами u _n равны Ω _n . В каждый начальный момент одно из значений α или β равно нулю, а другое имеет минимум. Значения α или β в последовательных минимумах, то есть в моменты Ω _n, равны

${\displaystyle \alpha _{n}=-\delta _{n}\Omega _{n}\,}$

( ур.66 )

(не различая минимумов α и β). Значения δ _n, которые измеряют эти минимумы в соответствующих единицах Ω _n, могут находиться в диапазоне от 0 до 1. Функция γ монотонно уменьшается в течение этой эры; согласно ур. 63 его значение в момент Ω _n равно

${\displaystyle \gamma _{n}=-\Omega _{n}(1-\delta _{n}).\,}$

( ур.67 )

В эпоху, начинающуюся в момент Ω _n и заканчивающуюся в момент Ω _{n +1,} одна из функций α или β возрастает от −δ _n Ω _n до нуля, а другая убывает от 0 до −δ _{n +1} Ω _{n +1} линейным образом. законы соответственно:

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$ а также ${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

что приводит к рекуррентному соотношению

${\displaystyle \delta _{n+1}\Omega _{n+1}={\frac {1+u_{n}}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {1+u_{0}}{u_{n}}}\delta _{0}\Omega _{0}}$

( ур.68 )

а для логарифмической длины эпохи

${\displaystyle \Delta _{n+1}\equiv \Omega _{n+1}-\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})(1+u_{n-1})}{f(u_{n-1})u_{n}}}\Delta _{n},}$

( ур.69 )