Теорема бисекции Бартлетты является электрической теоремой в анализе сети приписываемого Альберта Чарльз Бартлетт . Теорема показывает, что любую симметричную двухпортовую сеть можно преобразовать в решетчатую . [1] Теорема часто встречается в теории фильтров, где решетчатая сеть иногда известна как X-секция фильтра, следуя общепринятой в теории фильтров практике именования секций после буквенных букв, с которыми они имеют сходство.
Теорема, первоначально сформулированная Бартлеттом, требовала, чтобы две половины сети были топологически симметричными. Позднее Вильгельм Кауэр распространил эту теорему на все электрически симметричные сети. То есть физическая реализация сети не имеет значения. Требуется только, чтобы его отклик в обеих половинах был симметричным. [2]
Приложения
Фильтры топологии решетки не очень распространены. Причина этого в том, что для них требуется больше компонентов (особенно катушек индуктивности ), чем для других конструкций. Гораздо более популярна лестничная топология . Однако они обладают свойством внутренней сбалансированности, и в сбалансированной версии другой топологии , такой как тройники, на самом деле может потребоваться больше катушек индуктивности. Одно приложение для всех частот фильтров коррекции фазы на симметричных линиях связи. Эта теорема также используется при разработке кварцевых фильтров на радиочастотах. Здесь лестничные топологии обладают некоторыми нежелательными свойствами, но общая стратегия проектирования состоит в том, чтобы начинать с лестничной реализации из-за ее простоты. Затем теорема Бартлетта используется для преобразования проекта в промежуточный этап в качестве шага к окончательной реализации (с использованием преобразователя для создания несбалансированной версии решетчатой топологии). [3]
Определение и доказательство
![Bartlett1.svg](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/0/0c/Bartlett1.svg/250px-Bartlett1.svg.png)
Определение
Начните с двухпортовой сети N с плоскостью симметрии между двумя портами . Затем прорежьте N через его плоскость симметрии, чтобы сформировать два новых идентичных двухпортовых отверстия, ½N. Подключите два идентичных генератора напряжения к двум портам N. Из симметрии ясно, что ток не будет течь через любую ветвь, проходящую через плоскость симметрии. Импеданс, измеренный на порте N при этих обстоятельствах, будет таким же, как и импеданс, измеренный, если бы все ветви, проходящие через плоскость симметрии, были разомкнутыми. Следовательно, это тот же импеданс, что и полное сопротивление холостого хода ½N. Назовем это сопротивление.
Теперь рассмотрим сеть N с двумя одинаковыми генераторами напряжения, подключенными к портам, но с противоположной полярностью. Подобно тому, как суперпозиция токов через ветви в плоскости симметрии должна быть равна нулю в предыдущем случае, по аналогии и с применением принципа двойственности , суперпозиция напряжений между узлами в плоскости симметрии также должна быть равна нулю в этом случае. Таким образом, входное сопротивление такое же, как полное сопротивление короткого замыкания ½N. Назовем это сопротивление.
Теорема Бартлетта о делении пополам утверждает, что сеть N эквивалентна решетчатой сети с рядами ветвей и перекрестные ветви . [4]
![Bartlett2.svg](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/f/f3/Bartlett2.svg/250px-Bartlett2.svg.png)
Доказательство
Рассмотрим показанную решетчатую сеть с идентичными генераторами E, подключенными к каждому порту. Из симметрии и суперпозиции видно, что в ветвях серии нет тока.. Таким образом, эти ответвления можно удалить и оставить разомкнутой цепи без какого-либо воздействия на остальную цепь. Это оставляет контур цепи с напряжением 2E и импедансом подача тока в петлю;
и входное сопротивление;
как и требуется для эквивалентности оригинальному двухпортовому.
Точно так же реверсирование одного из генераторов приводит к тому же аргументу, в петле с импедансом и входное сопротивление;
Напоминая, что эти конфигурации генератора являются точным способом, которым а также были определены в исходном двухпортовом, доказано, что решетка эквивалентна для этих двух случаев. Доказывается, что это так для всех случаев, учитывая, что все остальные входные и выходные условия могут быть выражены как линейная суперпозиция двух уже доказанных случаев.
Примеры
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/6/62/Bartlett_examples1.svg/550px-Bartlett_examples1.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/3/37/Bartlett_examples2.svg/700px-Bartlett_examples2.svg.png)
Можно использовать преобразование Бартлетта и наоборот; то есть преобразовать симметричную решетчатую сеть в некоторую другую симметричную топологию. Примеры, показанные выше, также можно было бы показать в обратном порядке. Однако, в отличие от приведенных выше примеров, результат не всегда физически реализуем с линейными пассивными компонентами. Это связано с тем, что существует вероятность, что обратное преобразование будет генерировать компоненты с отрицательными значениями. Отрицательные количества могут быть физически реализованы только с активными компонентами, присутствующими в сети.
Продолжение теоремы
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/9/90/Bartlett_impedance_scaling.svg/550px-Bartlett_impedance_scaling.svg.png)
Существует расширение теоремы Бартлетта, которое позволяет модифицировать симметричную сеть фильтров, работающую между выводами с одинаковым входным и выходным импедансом, для неравных сопротивлений источника и нагрузки. Это пример масштабирования импеданса в виде фильтра - прототипа . Симметричная сеть делится пополам по плоскости симметрии. Одна половина масштабируется по входному сопротивлению, а другая - по выходному сопротивлению. Форма отклика фильтра остается прежней. Это не соответствует сети согласования импедансов , импедансы, смотрящие на сетевые порты, не имеют никакого отношения к оконечным импедансам. Это означает, что сеть, разработанная по теореме Бартлетта, имея точно предсказанный отклик фильтра, также добавляет постоянное затухание в дополнение к отклику фильтра. В сетях согласования импеданса обычным критерием проектирования является максимизация передачи мощности. Выходной отклик имеет «ту же форму» относительно напряжения теоретически идеального генератора, управляющего входом. Это не то же самое по отношению к фактическому входному напряжению, которое обеспечивает теоретический идеальный генератор через его сопротивление нагрузки. [5] [6]
Постоянное усиление из-за разницы во входном и выходном импедансах определяется выражением;
Обратите внимание, что это может быть больше единицы, то есть возможно усиление напряжения, но всегда теряется мощность.
Рекомендации
- ^ Бартлетт, AC, "Расширение свойства искусственных линий", Phil. Mag. , том 4 , стр902, ноябрь 1927 г.
- ^ Belevitch, V , "Краткое изложение истории теории цепей", Труды IRE , том 50 , pp850, май 1962.
- ^ Vizmuller, P, RF Design Guide: системы, схемы и уравнения , С. 82-84, Artech House, 1995 ISBN 0-89006-754-6 .
- ^ Farago, PS, Введение в линейную сеть анализа , pp117-121, английские университеты Press Ltd The, 1961.
- ^ Guillemin, EA, Синтез пассивных сетей: теория и методы, соответствующие задачам реализации и аппроксимации , стр. 207, Krieger Publishing, 1977, ISBN 0-88275-481-5
- ^ Williams, AB, Taylor, FJ, Electronic Filter Design Handbook , 2nd ed. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1988.